Aljabar universal: Perbedaan antara revisi

Dalam aljabar universal, sebuah '''aljabar''' (atau '''aljabar [[Struktur (logika matematika)|struktur]]''') adalah [[himpunan (matematika)|himpunan]] ''A'' bersama dengan kumpulan operasi pada ''A''. '''''n''-[[ariti|ary]] [[operasi (matematika)|operasi]]''' pada ''A'' adalah [[fungsi (matematika)|fungsi]] yang membutuhkan '' n '' elemen '' A '' dan mengembalikan satu elemen '' A ''. Jadi, operasi 0-ary (atau '' operasi nullari '') dapat direpresentasikan secara sederhana sebagai elemen '' A '', atau '' [[Konstanta (matematika)|konstanta]] '', sering dilambangkan dengan surat seperti '' a ''. Operasi 1-ari (atau '' [[operasi uner]] '') hanyalah fungsi dari '' A '' hingga '' A '', sering dilambangkan dengan simbol yang ditempatkan di depan argumennya, seperti ~''x''. Operasi 2-ary (atau '' [[operasi biner]] '') sering dilambangkan dengan simbol yang ditempatkan di antara argumennya, seperti '' x '' ∗ '' y ''. Operasi '' [[ariti]] '' yang lebih tinggi atau tidak ditentukan biasanya dilambangkan dengan simbol fungsi, dengan argumen ditempatkan dalam tanda kurung dan dipisahkan dengan koma, seperti ''f''(''x'',''y'',''z'') atau ''f''(''x''₁,...,''x''_''n''). Beberapa peneliti mengizinkan operasi [[infiniter]], seperti <math>\textstyle\bigwedge_{\alpha\in J} x_\alpha</math> di mana '' J '' adalah [[himpunan indeks]] tak terhingga, sehingga mengarah ke teori aljabar [[kisi kompleks]]. Maka, salah satu cara untuk membicarakan aljabar adalah dengan menyebutnya sebagai [[Garis Besar struktur aljabar#Jenis struktur aljabar | Aljabar Jenis Tertentu]] <math>\Omega</math>, dimana <math>\Omega</math> adalah urutan bilangan asli yang mewakili aritas operasi aljabar.

Setelah operasi ditentukan, sifat aljabar selanjutnya ditentukan oleh [[aksioma]], yang dalam aljabar universal sering mengambil bentuk [[Identitas (matematika) #Logika dan aljabar universal | identitas]], atau '''hukum persamaan.''' Contohnya adalah aksioma [[asosiatif]] untuk operasi biner, yang diberikan oleh persamaan '' x '' ∗ ('' y '' ∗ '' z '') = ('' x '' ∗ '' y '') ∗ '' z ''.

* [[Hubungan finiter | hubungan]] selain persamaan, khususnya [[pertidaksamaan (matematika)|pertidaksamaan]], keduanya {{nowrap|''a'' ≠ ''b''}} dan [[Teori order|relasi order]]

(Beberapa penulis juga menggunakan aksioma "[[Penutupan (matematika) | penutupan]]" bahwa '' x '' ∗ '' y '' milik '' A '' setiap kali '' x '' dan '' y '' lakukan, tapi di sini ini sudah tersirat dengan merumuskan biner ∗.

* [[Ruang vektor]] di atas bidang tetap dan [[modul (matematika) | modul]] di atas gelanggang tetap adalah aljabar universal. Ini memiliki penjumlahan biner dan keluarga operator perkalian skalar unary, satu untuk setiap elemen bidang atau gelanggang.

Contoh aljabar relasional termasuk [[semikisi]], [[kisi (urutan) | kisi]], dan [[Aljabar Boolean]].

* [[Teorema isomorfisme]], yang mencakup teorema isomorfisme [[Grup (matematika) | grup]], [[Gelanggang (matematika) | gelanggang]], [[Modul (matematika) | modul]], dll.

* [[Varietas (aljabar universal)#Teorema Birkhoff|Teorema HSP Birkhoff]], yang menyatakan bahwa kelas aljabar adalah [[ragam (aljabar universal) | ragam]] jika dan hanya jika ditutup di bawah gambar homomorfik, subaljabar, dan produk langsung sembarang.

Secara khusus, aljabar universal dapat diterapkan untuk mempelajari [[monoid]], [[gelanggang (aljabar) | gelanggang]], dan [[kisi (urutan) | kisi]]. Sebelum aljabar universal muncul, banyak teorema (terutama [[teorema isomorfisme]]) telah dibuktikan secara terpisah di semua kelas ini, tetapi dengan aljabar universal, mereka dapat dibuktikan sekali dan untuk selamanya untuk setiap jenis sistem aljabar.

Aljabar universal menyediakan bahasa alami untuk [[masalah kepuasan kendala | masalah kepuasan kendala (CSP)]]. CSP merujuk ke kelas penting dari masalah komputasi yang diberi aljabar relasional {{mvar | A}} dan eksistensial [[kalimat (logika matematika) | kalimat]] <math>\varphi</math> di atas aljabar ini, pertanyaannya adalah mencari tahu apakah <math>\varphi</math> bisa dipenuhi di {{mvar | A}}. Aljabar {{mvar | A}} sering kali diperbaiki, sehingga {{math|CSP_''A''}} mengacu pada masalah yang instansinya hanya kalimat eksistensial <math>\varphi</math>.

Sebagai contoh, masalah [[mewarnai grafik | '' n ''-warna]] dapat dinyatakan sebagai CSP dari aljabar <math>\big(\{0,1,\dots,n-1\}, \neq\big)</math>, i.e. sebuah aljabar dengan elemen <math> n </math> dan satu relasi, pertidaksamaan.

Dugaan dikotomi (dibuktikan pada April 2017) menyatakan bahwa jika {{mvar | A}} adalah aljabar berhingga, maka {{math|CSP_''A''}} bisa berupa [[P (kompleksitas) | P]] atau [[kompleks-NP]].<ref>{{cite arXiv | last = Zhuk | first = Dmitriy | title = The Proof of CSP Dichotomy Conjecture | eprint = 1704.01914 | date = 2017 | class = cs.cc}}</ref>

Karya awal Whitehead berusaha untuk menyatukan [[kuaternion]] (karena Hamilton), [[Aljabar Eksterior#Sejarah | Ausdehnungslehre]], dan aljabar logika Boole. Whitehead menulis dalam bukunya:

Pada periode antara 1935 dan 1950, sebagian besar makalah ditulis sesuai dengan yang disarankan oleh makalah Birkhoff, berhubungan dengan [[Objek bebas | aljabar bebas]], kesesuaian dan kisi subaljabar, dan teorema homomorfisme. Meskipun perkembangan logika matematika telah memungkinkan penerapan aljabar, hal itu terjadi dengan lambat; hasil yang diterbitkan oleh [[Anatoly Maltsev]] pada tahun 1940-an tidak diketahui karena perang. Kuliah Tarski di tahun 1950 [[Kongres Internasional Matematikawan]] di Cambridge mengantarkan periode baru di mana aspek model-teori dikembangkan, terutama oleh Tarski sendiri, serta C.C. Chang, [[Leon Henkin]], [[Bjarni Jónsson]], [[Roger Lyndon]], dan lainnya.

* [[Klon (aljabar) | Klon]]