Sifat pembatalan: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Membuat halaman baru Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
k clean up |
||
| (6 revisi perantara oleh 2 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{About|perpanjangan 'pembalikan' dalam [[aljabar abstrak]]|pembatalan suku-suku dalam [[persamaan]] atau dalam [[aljabar dasar]]|pembatalan}}
{{More citations needed|date=
Dalam [[matematika]], pengertian dari '''pembatal''' adalah
== Sifat ==
Sifat-sifat diantaranya adalah:
* Unsur
* Unsur <math>a</math> pada magma <math>(M, *)</math> memiliki '''sifat pembatalan ruas kanan''' jika untuk semua <math>b</math> dan <math>c</math> pada <math>M</math>, <math>b * a = c * a</math> selalu menyiratkan <math>b = c</math>.
* Unsur <math>a</math> dalam magma <math>(M, *)</math> memiliki '''sifat pembatalan kedua ruas''' jika keduanya adalah pembatalan ruas kiri dan ruas kanan.
* Magma
* Unsur
== Interpretasi ==
▲Magma {{nowrap | (''M'', ∗)}} memiliki properti pembatalan kiri (atau pembatalan kiri) jika semua ''a'' di magma dibiarkan pembatalan, dan definisi serupa berlaku untuk sifat pembatalatif kanan atau pembatal dua sisi.
Untuk mengatakan bahwa unsur <math>a</math> dalam magma <math>(M, *)</math> adalah pembatal-kiri, artinya fungsinya <math>g \colon x \mapsto a * x</math> adalah [[injektif]].<ref>{{cite book |last1=Warner |first1=Seth |title=Modern Algebra Volume I |date=1965 |publisher=Prentice-Hall, Inc. |location=Englewood Cliffs, NJ |page=50}}</ref> Bahwa fungsi <math>g</math> adalah injeksi menyiratkan bahwa diberikan beberapa persamaan bentuk <math>a * x = b</math>, di mana satu-satunya yang tidak diketahui adalah <math>x</math>, hanya ada satu kemungkinan nilai ''<math>x</math>'' memenuhi persamaan. Lebih tepatnya, kita dapat mendefinisikan suatu fungsi <math>f</math>, kebalikan dari <math>g</math>, sehingga untuk semua <math>x</math>'', '' <math>f(g(x)) = f(a * x) = x</math>. Dengan kata lain, untuk semua <math>x</math> dan <math>y</math> pada <math>M</math>, jika <math>a * x = a * y</math>, maka <math>x = y</math>.<ref>{{cite book |last1=Warner |first1=Seth |title=Modern Algebra Volume I |date=1965 |publisher=Prentice-Hall, Inc. |location=Englewood Cliffs, NJ |page=48}}</ref>
== Contoh monoid pembatalan dan semigrup ==
▲Unsur yang dapat dibalik kiri adalah pembatal-kiri, dan analog untuk kanan dan dua sisi.
Bilangan bulat positif (sama-sama taknegatif) membentuk sebuah pembatal [[semigrup]] terhadap penambahan. Bilangan bulat taknegatif membentuk pembatalan [[monoid]] di bawah penambahan.
Faktanya, semigrup atau monoid bebas mana pun mematuhi hukum pembatalan, dan secara umum, suatu semigrup atau monoid yang membenamkan ke dalam grup (seperti yang dengan jelas ditunjukkan dalam contoh di atas) akan mematuhi hukum pembatalan.
▲Misalnya, setiap [[kuasigrup]], dan dengan demikian setiap [[grup (matematika)|grup]], bersifat pembatal.
Dalam nada yang berbeda, (subgrup dari) semigrup perkalian unsur dari [[Gelanggang (matematika)|gelanggang]] yang bukan pembagi nol (yang hanya merupakan himpunan dari semua unsur bukan nol jika cincin yang dimaksud adalah [[Ranah (teori gelanggang)|ranah]], seperti bilangan bulat) memiliki sifat pembatalan. Perhatikan bahwa ini tetap valid.
== Struktur aljabar takmembatalkan ==
Meskipun hukum pembatalan berlaku untuk penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian [[bilangan real]] dan [[bilangan kompleks]] (dengan pengecualian tunggal perkalian dengan [[0 (bilangan)|nol]] dan pembagian nol dengan bilangan lain), ada sejumlah struktur aljabar di mana hukum pembatalan tidak sah.
<!-- [[Vektor (spasial) | vektor]] [[perkalian titik]] mungkin adalah contoh yang paling sederhana. Dalam hal ini, untuk vektor bukan nol yang berubah-ubah '''a''', produk {{nowrap|1='''a''' ⋅ '''b'''}} bisa sama dengan perkalian titik lainnya {{nowrap|1='''a''' ⋅ '''c'''}} even if {{nowrap|'''b''' ≠ '''c'''}}. Hal ini terjadi karena perkalian titik berhubungan dengan sudut antara dua vektor serta besarnya, dan perubahan yang satu dapat, pada dasarnya, mengimbangi yang lain untuk menghasilkan perkalian yang sama untuk uneq.
Untuk alasan yang sama-->[[Perkalian silang]] dari dua vektor <!--juga--> tidak mematuhi hukum pembatalan. Jika <math>\mathbf a \times \mathbf b = \mathbf a \times \mathbf c</math>, maka ini tidak mengikuti bahwa <math>\mathbf b = \mathbf c</math> bahkan jika <math>\mathbf a \ne 0</math>.
<!-- Namun, jika '' keduanya '' '''a'''·'''b'''='''a'''·'''c''' ''dan'' '''a'''×'''b'''='''a'''×'''c''', kemudian salah satu '' dapat '' menyimpulkan itu '''b'''='''c'''. Ini karena untuk hasil perkalian titik dan persilangan sama secara bersamaan, maka keduanya '''a'''·('''b'''-'''c''') ''dan'' '''a'''x('''b'''-'''c''') harus nol oleh [[hukum distributif]]. Ini berarti bahwa sinus dan cosinus dari sudut antara '' 'a' '' dan ('''b'''-'''c''') harus nol, yang tidak mungkin karena sin<sup>2</sup>x+cos<sup>2</sup>x is ''identically'' 1.-->
[[Perkalian matriks]] juga tidak selalu mematuhi hukum pembatalan. Jika <math>\mathbf A \mathbf B = \mathbf A \mathbf C</math> dan <math>\mathbf{A} \ne 0</math>, maka salah satunya harus menunjukkan bahwa matriks <math>\mathbf A</math> ''terbalikkan'' (yaitu memiliki <math>\det( \mathbf A) \ne 0</math>, dimana <math>\det</math> berarti [[determinan]]) sebelum salah satunya dapat menyimpulkan <math>\mathbf B = \mathbf C</math>. Jika <math>\det( \mathbf A) = 0</math>, maka <math>\mathbf{B}</math> mungkin tidak sama dengan <math>\mathbf C</math>, karena [[matriks (matematika)|matriks]] persamaan <math>\mathbf A \mathbf X = \mathbf B</math> tidak akan memiliki penyelesaian tunggal untuk matriks <math>\mathbf{A}</math> takterbalikkan.
Perhatikan juga bahwa jika <math>\mathbf A \mathbf B = \mathbf C \mathbf A</math> dan <math>\mathbf{A} \ne 0</math> dan matriks <math>\mathbf A</math> adalah terbalikkan (yaitu memiliki <math>\det( \mathbf A )\ne 0</math>), itu belum tentu benar <math>\mathbf B = \mathbf C</math>. Pembatalan hanya bekerja untuk persamaan <math>\mathbf A \mathbf B = \mathbf A \mathbf C</math> dan <math>\mathbf B \mathbf A = \mathbf C \mathbf A</math> (asalkan matriks itu <math>\mathbf A</math> adalah ''terbalikkan'') dan bukan untuk persamaan <math>\mathbf A \mathbf B = \mathbf C \mathbf A</math> dan <math>\mathbf B \mathbf A = \mathbf A \mathbf C</math>.
== Lihat pula ==
* [[Grup Grothendieck]]
* [[
* [[
* [[
== Referensi ==
{{Reflist}}
{{DEFAULTSORT:
[[Kategori:Aljabar
[[Kategori:Sifat operasi biner]]
[[Kategori:Sifat unsur aljabar]]
[[fr:Loi de composition interne#Réguliers et dérivés]]
| |||