Identitas Bézout: Perbedaan antara revisi

Diberikan bilangan bulat taknol <math>a</math> dan <math>b</math>, dan misalkan <math>S=\{ax+by \mid x,y\in\mathbb{Z} \text{ dan } ax+by>0\}.</math> Himpunan <math>S</math> tidak kosong karena berisi <math>a</math> ataupun <math>-a</math> (dengan <math>x = \pm 1</math> dan <math>y = 0</math>). Karena <math>S</math> adalah himpunan [[Bilangan asli|bilangan bulat positif]] takkosong, <math>S</math> memiliki anggota minimum <math>d = as + bt</math>, berdasarkan ''[[well-ordering principle]]''. Untuk membuktikan bahwa <math>d</math> adalah faktor persekutuan terbesar dari <math>a</math> dan <math>b</math>, maka harus dibuktikan bahwa <math>d</math> adalah [[pembagi]] persekutuan dari <math>a</math> dan <math>b</math>, dan bahwa untuk sebarang pembagi persekutuan lainnya <math>c</math>, maka <math>c \le d</math>.

Identitas Bézout dapat diperluas menjadi dua bilangan bulat atau lebih: jika<math display="block">\operatorname{FPB}(a_1, a_2, \ldots, a_n) = d,</math>maka akan terdapat bilangan bulat <math>x_1, x_2, \ldots, x_n</math> sehingga <math>d = a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n</math> memiliki sifat berikut bahwa <math>d</math> adalah bilangan bulat positif terkecil dari bentuk tersebut, serta setiap bilangan dari rumus tersebu merupakan kelipatan <math>d</math>.

Karena [[Akar polinomial|akar]] dari dua polinomial merupakan akar-akar dari faktor persekutuan terbesarnya, identitas Bézout dan [[teorema dasar aljabar]] mengimplikasikan hasil berikut: Untuk polinomial univariat {{mvar|f}} dan {{mvar|g}} dengan koefisien di suatu lapangan, terdapat polinomiial <math>a</math> dan <math>b</math> sehingga {{math|1=''af'' + ''bg'' = 1}} jika dan hanya jika {{mvar|f}} dan {{mvar|g}} tidak memiliki akar di sebarang [[medanlapangan tertutup secara aljabar]] (biasanya di medanlapangan [[bilangan kompleks]]).

{{cite book|author=Claude Gaspard Bachet (sieur de Méziriac)|title=Problèmes plaisants & délectables qui se font par les nombres|edition=2nd|location=Lyons, France|publisher=Pierre Rigaud & Associates|year=1624|pages= 18–33|url=http://www.bsb-muenchen-digital.de/~web/web1008/bsb10081407/images/index.html?digID=bsb10081407&pimage=38&v=100&nav=0&l=de|title=Problèmes plaisants & délectables qui se font par les nombres|location=Lyons, France|publisher=Pierre Rigaud & Associates|edition=2nd|pages=18–33}} Di halaman-halaman ini, Bachet membuktikan (tanpa persamaan) "Proposisi XVIII. Deux nombres premiers entre eux estant donnez, treuver le moindre multiple de chascun d’iceux, surpassant de l’unité un multiple de l’autre." (Mengingat dua bilangan [yang] relatif prima, temukan kelipatan terendah dari masing-masing [sedemikian rupa sehingga] satu kelipatan melebihi yang lain dengan satu kesatuan (1).) Masalah ini, (yaitu, <math>ax - by = 1)</math>, adalah kasus khususistimewa dari persamaan Bézout, persamaan dantersebut digunakan oleh Bachet untuk menyelesaikan masalah yang munculditemukan padadi halaman 199 ff.