Wikipedia

Keragaman topologi: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnya
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
HsfBot (bicara | kontrib)
Bot
1.172.010 suntingan
k Bot: Perubahan kosmetika
k →top: clean up, added orphan tag
 
(6 revisi perantara oleh 5 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 1:
{{Orphan|date=Januari 2023}}
Dalam [[topologi]], sebuah cabang [[matematika]], sebuah '''keragaman topologi '''atau '''manifold topologi''' atau '''lipatan topologi''' adalah sebuah ruang topologi yang secara lokal mirip dengan ruang riil berdimensi ''n''. Keragaman topologi menyusun sebuah kelas penting dari ruang topologi dengan aplikasi di seluruh bidang matematika.
 
Sebuah ''keragaman'' dapat berarti keragamanDalam [[topologi]], atausebuah lebihcabang seringnya[[matematika]], sebuah '''keragaman topologi dengan'''atau struktur'''manifold tambahan.topologi''' Misalnya,atau [[keragaman'''lipatan diferensiabel]]topologi''' adalah keragamansebuah ruang topologi yang dilengkapisecara denganlokal strukturmirip diferensial.dengan Setiapruang keragamanriil memilikiberdimensi keragaman''n''. Keragaman topologi yangmenyusun mendasarinya,sebuah yangkelas bisapenting didapatkandari cukupruang topologi dengan melupakanaplikasi di strukturseluruh tambahanbidang padanyamatematika.
 
Sebuah ''keragaman'' dapat berarti keragaman topologi, atau lebih seringnya, sebuah keragaman topologi dengan struktur tambahan. Misalnya, [[keragaman diferensiabel]] adalah keragaman topologi yang dilengkapi dengan struktur diferensial. Setiap keragaman memiliki keragaman topologi yang mendasarinya, yang bisa didapatkan cukup dengan melupakan struktur tambahan padanya.
== Definisi Formal ==▼
Sebuah [[ruang topologi]] ''X'' disebut '''Euklidean lokal''' jika terdapat sebuah bilangan cacah tak negatif ''n'' sedemikian sehingga setiap titik di ''X'' memiliki [[ketetanggaan]] yang [[Homeomorfisme|homeomorfik]] dengan [[Ruang Euklides|ruang Euklidean]] '''E'''<sup>''n''</sup> (atau ruang '''R'''<sup>''n''</sup>, atau [[himpunan terbuka]] [[Keterhubungan|terhubung]] dari salah satu dari keduanya).<ref>The [//en.wiki-indonesia.club/wiki/Topology_(structure) topology] of '''E'''<sup>''n''</sup> is identical to the [//en.wiki-indonesia.club/wiki/Standard_topology standard topology] of '''R'''<sup>''n''</sup>, so these two spaces are not distinguished in topology. Also, any non-empty [//en.wiki-indonesia.club/wiki/Open_subset open subset] of '''E'''<sup>''n''</sup> contains an Euclidean [//en.wiki-indonesia.club/wiki/Open_ball open ball], which is homeomorphic to the entire space.</ref>▼
 
▲== Definisi Formalformal ==
Sebuah '''keragaman topologi''' adalah sebuah [[ruang Hausdorff]] yang secara lokal adalah Euklidean. Umumnya banyak penulis menambahkan persyaratan tambahan pada keragaman topologi. Lebih spesifiknya, banyak penulis menambahkan persyaratan [[parakompak]] atau [[terhitung kedua]].▼
▲Sebuah [[ruang topologi]]  ''X'' disebut '''Euklidean lokal'''  jika terdapat sebuah bilangan cacah tak negatif ''n''  sedemikian sehingga setiap titik di  ''X'' memiliki [[ketetanggaan]] yang [[Homeomorfisme|homeomorfik]] dengan  [[Ruang Euklides|ruang Euklidean]] '''E'''<sup>''n''</sup> (atau ruang  '''R'''<sup>''n''</sup>, atau [[himpunan terbuka]] [[Keterhubungan|terhubung]] dari salah satu dari keduanya).<ref>The [//en.wiki-indonesia.club/wiki/Topology_(structure) topology] of '''E'''<sup>''n''</sup> is identical to the [//en.wiki-indonesia.club/wiki/Standard_topology standard topology] of '''R'''<sup>''n''</sup>, so these two spaces are not distinguished in topology. Also, any non-empty [//en.wiki-indonesia.club/wiki/Open_subset open subset] of '''E'''<sup>''n''</sup> contains an Euclidean [//en.wiki-indonesia.club/wiki/Open_ball open ball], which is homeomorphic to the entire space.</ref>
 
▲Sebuah '''keragaman topologi'''  adalah sebuah [[ruang Hausdorff]] yang secara lokal adalah Euklidean. Umumnya banyak penulis menambahkan persyaratan tambahan pada keragaman topologi. Lebih spesifiknya, banyak penulis menambahkan persyaratan [[parakompak]] atau [[terhitung kedua]].
 
Selanjutnya, ''keragaman ''berarti sebuah keragaman topologi. Sebuah ''keragaman-n ''berarti sebuah keragaman topologi sedemikian sehingga setiap titik memiliki ketetanggaan yang homeomorfik dengan R^n.
Baris 14 ⟶ 16:
=== Keragaman-n ===
 
* Ruang  '''R'''<sup>''n''</sup> adalah prototipe keragaman''-n''.
* Setiap [[Discrete space|ruang diskrit]] adalah sebuah keragaman berdimensi-0.
* [[Lingkaran]] adalah sebuah keragaman-1 yang kompak.
Baris 23 ⟶ 25:
=== Keragaman proyektif ===
 
* [[Ruang proyektif]]  atas bilangan  [[Bilangan real|riil]], [[Bilangan kompleks|kompleks]], atau [[Kuaternion|quaternion]]  adalah keragaman-keragaman yang kompak.
** Ruang proyektif riil '''RP'''<sup>''n''</sup>  adalah sebuah keragaman berdimensi-''n''.
** Ruang proyektif kompleks  '''CP'''<sup>''n''</sup>  adalah sebuah keragaman berdimensi-''2n''.
** Ruang proyektif quaternion '''HP'''<sup>''n''</sup>  adalah sebuah keragaman berdimensi-''4n''.
* Keragaman yang terkait dengan ruang proyektif misalnya [[Grassmanian]], [[keragaman bendera]], dan [[keragaman Stiefel]].
 
=== Keragaman-keragaman lain ===
 
* [[Ruang lensa]]  adalah sebuah kelas keragaman yang merupakan [[Quotient space (topology)|ruang bagi]] (''quotient space'') dari bola berdimensi ganjil.
* [[Grup Lie]] adalah keragaman yang dilengkapi dengan sebuah struktur grup.
* Setiap himpunan terbuka dari sebuah keragaman-''n'' adalah sebuah keragaman-''n'' dengan [[topologi subruang]].
Baris 37 ⟶ 39:
=== Konstruksi ===
 
* Jika ''M'' adalah keragaman''-m''  dan ''N'' adalah keragaman-''n'', [[perkalian langsung]] ''M''&#x20;&#xD7;&#x20; × ''N'' adalah keragaman-(''m''+''n'').
* [[Gabungan lepas]] dari sebuah keluarga keragaman-''n'' adalah sebuah keragaman-''n''  (setiap potong harus memiliki dimensi yang sama).
* [[Penjumlahan terhubung]] (''connected sum'') dari dua keragaman-''n'' menghasilkan sebuah keragaman-''n'' juga.
 
== Sifat-sifat ==
Sifatnya yaitu Euklidean secara lokal terjaga oleh [[homeomorfisme lokal]]. Artinya, jika ''X''  adalah Euklidean lokal berdimensi ''n'' dan ''f''<span> </span>: ''Y'' &#x2192;→ ''X'' adalah homeomorfisme lokal, maka ''Y'' juga Euklidean lokal berdimensi-''n''. Lebih eksplisitnya, sifat Euklidean lokal merupakan [[sifat topologi]].
 
Keragaman mewarisi banyak sifat dari ruang Euklidean. Spesifiknya, mereka adalah [[kompak secara lokal]], [[terhubung secara lokal]], [[terhitung pertama]], [[dapat disusutkan secara lokal]], dan [[dapat dimetrisasi secara lokal]]. Karena merupakan sebuah ruang Hausdorff yang kompak secara lokal, keragaman merupakan [[ruang Tychonoff]].
Baris 48 ⟶ 50:
Menambahkan persyaratan Hausdorff dapat membuat beberapa sifat adalah setara untuk sebuah keragaman. Misalnya,kita bisa menunjukkan untuk sebuah keragaman Hausdorff, gagasan [[kekompakan-σ]] dan [[terhitung kedua]] adalah setara. Keragaman Hausdorff adalah ruang Hausdorff yang kompak lokal, sehingga ia (sepenuhnya) [[Ruang reguler|reguler]].<ref>Topospaces subwiki, [http://topospaces.subwiki.org/wiki/Locally_compact_Hausdorff_implies_completely_regular Locally compact Hausdorff implies completely regular]</ref> Misalkan ruang ''X'' adalah kompak-σ. Maka ia adalah [[Lindelöf]] dan karena Lindelöf + reguler mengimplikasikan sifat parakompak, ''X'' adalah dapat dimetrisasi (metrisable). Tapi untuk sebuah ruang yang metrisable, terhitung-kedua bertepatan dengan sifat Lindelöf, jadi ''X'' adalah terhitung kedua. Sebaliknya, jika X adalah keragaman terhitung-kedua Hausdorff, maka ia pasti kompak-σ.<ref>Stack Exchange, [http://math.stackexchange.com/questions/57348/hausdorff-locally-compact-and-second-countable-is-sigma-compact Hausdorff locally compact and second countable is sigma-compact]</ref>
 
Sebuah keragaman tidak perlu untuk terhubung, tapi setiap keragaman ''M'' adalah [[gabungan lepas]] dari beberapa keragaman terhubung. Keragaman-keragaman ini hanyalah [[komponen terhubung]] dari ''M'', yang dimana hanyalah merupakan [[himpunan terbuka]] karena keragaman adalah terhubung secara lokal. Karena ia terhubung secara lokal, sebuah keragaman merupakan terhubung lintas  [[jika dan hanya jika]]  ia terhubung secara topologi. Dari sini dapat diketahui bahwa komponen terhubung lintas adalah sama dengan komponen terhubung.
 
=== Aksioma Hausdorff ===
Baris 56 ⟶ 58:
 
=== Aksioma keterhitungan dan kekompakan ===
Sebuah keragaman dapat [[dimetrisasi]] (metrisabel)[[Dimetrisasi|<nowiki/>]]  jika dan hanya jika ia merupakan [[parakompak]]. Karena metrisabilitas merupakan sifat yang penting bagi sebuah ruang topologi, adalah hal yang umum untuk menambahkan sifat parakompak dalam definisi keragaman. Bagaimanapun juga, keragaman yang tidak parakompak umumnya dianggap sebagai [[patologis]]. Sebuah contoh dari keragaman yang tak parakompak diberikan oleh [[garis panjang]]. Keragaman yang parakompak biasanya memiliki sifat topologi seperti [[ruang metrik]]. Lebih tepatnya, mereka adalah terhitung ke-6 (T6).
 
Keragaman juga seringkalisering kali diharuskan untuk [[Terhitung kedua|terhitung-kedua]]. Syarat ini diperlukan supaya keragaman dapat disisipkan dalam ruang Euklidean dimensi berhingga. Untuk sembarang keragaman, sifat terhitung-kedua, Lindelof, dan kompak-σ adalah setara.
 
Setiap keragaman terhitung-kedua merupakan parakompak, tetapi tidak sebaliknya. Meski demikian, kebalikannya hampir benar: sebuah keragaman parakompak merupakan terhitung kedua jika dan hanya jika ia memiliki jumlah [[komponen terhubung]] yang [[terhitung]]. Khususnya, sebuah keragaman terhubung adalah parakompak jika dan hanya jika ia merupakan terhitung-kedua. Setiap keragaman terhitung-kedua adalah [[dapat dipisahkan]] (separabel) dan [[parakompak]]. Lebih jauh lagi, jika sebuah keragaman adalah dapat dipisahkan dan parakompak maka ia juga terhitung-kedua.
Baris 65 ⟶ 67:
 
=== Dimensi ===
Melalui [[ketetapan domain]], sebuah keragaman-''n'' tidak bisa juga berupa keragaman-''m'' untuk  ''n'' &#x2260;≠ ''m''. The dimension of a non-empty ''n''-manifold is ''n''.
Being an ''n''-manifold is a topological property, meaning that any topological space homeomorphic to an ''n''-manifold is also an ''n''-manifold.
 
Sebuah keragaman berdimensi-1 sering disebut [[kurva]]  sedangkan sebuah keragaman berdimensi-2 sering disebut sebagai [[permukaan]]. Keragaman dengan dimensi yang lebih tinggi biasanya cukup disebut dengan keragaman-''n''.
 
== Catatan kaki ==
{{reflist}}
{{Commonscat|Mathematical manifolds}}
 
[[Kategori:Topologi]]
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Keragaman_topologi"