Wikipedia

Grup selang-seling: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnya
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
Dedhert.Jr (bicara | kontrib)
16.350 suntingan
Tidak ada ringkasan suntingan
k clean up
 
(Satu revisi perantara oleh satu pengguna lainnya tidak ditampilkan)
Baris 1:
{{More footnotes|date=Desember 2020}}
{{Group theory sidebar |Finite}}
Dalam [[matematika]], '''grup selang-seling''' ({{Lang-en|Alternating group}}) adalah [[Grup (matematika) |grup]] dari [[permutasi genap]] dari [[himpunan hingga]]. Grup selang-seling pada himpunan elemen <math>n</math> disebut '''grup selang-seling derajat''' <math>n</math>, atau '''grup selang-seling pada huruf''' <math>n</math> dan dilambangkan dengan <math>\mathrm{A}_n</math> or <math>\operatorname{Alt}(n)</math>.
 
== Sifat dasar ==
Untuk <math>n > 1</math>, grup <math>\operatorname{A}_n</math> adalah [[subgrup komutator]] dari [[Grup simetrik|grup simetris]] <math>S_n</math> dengan [[Indeks subkelompok |indeks]] 2 dan karena itu memiliki <math>\frac{n!}{2}</math> elemen (dimana <math>!</math> melambangkan [[faktorial]]). Ini adalah [[kernel (aljabar) |kernel]] dari tanda tangan [[kehomomorfan grup]] <math>\sgn \colon S_n \to \{1, -1\} </math> dijelaskan di bawah [[grup simetrik]].
 
Grup <math>\mathrm{A}_n</math> adalah [[grup abelian | abelian]] [[jika dan hanya jika]] <math>n \le 3</math> dan [[grup sederhana | sederhana]] jika dan hanya jika <math>n = 3</math> atau <math>n \ge 5</math>.<!-- Catatan A3 sebenarnya adalah grup sederhana dari urutan 3. A1 dan A2 adalah grup urutan 1, jadi biasanya tidak disebut sederhana, dan A4 memiliki subgrup normal non-identitas yang tepat sehingga tidak sederhana. --> <math>\mathrm {A}_5</math> adalah [[grup sederhana]] takAbel terkecil, memiliki urutan 60, dan [[Grup terpecahkan|grup takterpecahkan]] terkecil.
 
Grup <math>\mathrm A_4</math> memiliki [[grup empat Klein]] <math>V</math> sebagai [[subgrup normal]] wajar, yaitu identitas dan transposisi ganda <math>\{(), (12)(34), (13)(24), (14,23)\}</math>, itulah kernel dari surjeksi <math>\mathrm A_4</math> ke <math>\mathrm A_3 = \mathrm Z_3</math>. Kita memiliki [[urutan persis]] <math>V \to \mathrm A_4 \to \mathrm A_3 = \mathrm Z_3</math>. Dalam [[Teori Galois]], peta ini, atau lebih tepatnya peta berpadanan <math>\mathrm S_4 \to \mathrm S_3</math>, berpadanan dengan mengasosiasikan [[Penyelesai Lagrange]] kubik ke kuartik, yang memungkinkan [[polinomial kuartik]] untuk diselesaikan dengan radikal, seperti yang ditetapkan oleh [[Lodovico Ferrari]].
Baris 15:
Contoh:
* Kedua [[permutasi]] <math>(123)</math> dan <math>(132)</math> tidak sekawan dalam <math>\mathrm A_3</math>, meskipun mereka memiliki bentuk siklus yang sama, dan oleh karena itu sekawan di <math>\mathrm S_3</math> .
*Permutasi (123) (45678) tidak sekawan dengan kebalikannya <math>(132)(48765)</math> pada <math>\mathrm A_8</math><sub> </sub>, meskipun kedua permutasi tersebut memiliki bentuk siklus yang sama, sehingga keduanya sekawan dalam <math>\mathrm S_8</math>.
 
== Hubungan dengan grup simetrik ==
Baris 58:
* <math>\mathrm A_4</math> isomorfik untuk <math>\operatorname{PSL}_2 (3)</math><ref name="Robinson-p78">Robinson (1996), [{{Google books|plainurl=y|id=lqyCjUFY6WAC|page=78|text=PSL}} p. 78]</ref> and [[grup simetrik]]
*dari [[simetri tetrahedrai]] kiral
* <math>\mathrm A_5</math> isomorfik untuk <math>\operatorname{PSL}_2 (4)</math>, <math>\operatorname{PSL}_2 (5)</math>, dan kelompok simetri kiral [[simetri icosahedral|simetri ikosahedral]]. (Lihat<ref name="Robinson-p78" /> untuk isomorfisme taklangsung dari <math>\operatorname {PSL} _{2}(\mathrm F_5) \to \mathrm A_5</math> menggunakan klasifikasi grup sederhana berorde 60, dan [[Grup linear proyektif#Aksi pada poin p |di sini]] untuk bukti langsung).
* <math>\mathrm A_6</math> isomorfik untuk <math>\operatorname{PSL}_2 (9)</math> dan <math>\operatorname{PSp}_4 (2)^\prime</math>.
* <math>\mathrm A_8</math> isomorfik untuk <math>\operatorname{PSL}_4 (2)</math>.
 
Lebih jelasnya, <math>\mathrm A_3</math><sub> </sub> isomorfik bagi [[grup siklik]] <math>\mathrm Z_3</math>, dan <math>\mathrm A_0</math>, <math>\mathrm A_1</math>, dan <math>\mathrm A_2</math><sub> </sub> isomorfik ke [[grup trivial]] (yang juga <math>\operatorname{SL}_1(q) = \operatorname{PSL}_1(q)</math> untuk <math>q</math>).
<!-- Bagian ini memiliki beberapa kesalahan, beri komentar hingga diperbaiki. A4 tidak sempurna, SL (4,2) = PSL (4,2) = A8 bukan penutup Schur dari A8 -->
<!--
Baris 71:
== Contoh <math>\mathrm S_4</math> dan <math>\mathrm A_4</math> ==
{| style="margin:auto;" cellspacing="0" cellpadding="0"
| style="padding:0 1em" |[[Berkas:Symmetric group 4; Cayley table; numbers.svg|thumb|350px|[[Tabel Cayley]] dari [[grup simetrik]] <math>\mathrm S_4</math><br><br>[[Paritas permutasi |Permutasi ganjil]] diberi warna:<br>[[Transposisi (matematika) |Transposisi]] dalam warna hijau dan [[Siklus dan titik tetap |siklus-4]] dalam warna jingga]]
| style="padding:0 1em" |
| style="padding:0 1em" |[[Berkas:Symmetric group 4; Cayley table; numbers.svg|thumb|350px|[[Tabel Cayley]] dari [[grup simetrik]] <math>\mathrm S_4</math><br><br>[[Paritas permutasi |Permutasi ganjil]] diberi warna:<br>[[Transposisi (matematika) |Transposisi]] dalam warna hijau dan [[Siklus dan titik tetap |siklus-4]] dalam warna jingga
 
 
Subgrup:<br>[[Berkas:Klein four-group; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,7,16,23).svg|70px|Klein empat grup]]<br>[[Berkas:Cyclic group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,3,4).svg|60px|Grup siklik Z3]] [[Berkas:Cyclic group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,8,12).svg|60px|Grup siklik Z3]] [[Berkas:Cyclic group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,11,19).svg|60px|Grup siklik Z3]] [[Berkas:Cyclic group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,15,20).svg|60px|Grup siklik Z3]]]]
Baris 80 ⟶ 79:
{| style="margin:auto;" cellspacing="0" cellpadding="0"
|+ '''[[Grafik siklus (aljabar)|Grafik siklus]]'''
|- align=center valign=top
|style="padding:0 1em"|[[Berkas:GroupDiagramMiniC3.svg|200px]]<BRbr><math>\mathrm A_3 = \mathrm Z_3</math> (urutan 3)
|style="padding:0 1em"|[[Berkas:GroupDiagramMiniA4.svg|200px]]<BRbr><math>\mathrm A_4</math> (urutan 12)
|style="padding:0 1em"|[[Berkas:GroupDiagramMiniA4xC2.png|200px]]<BRbr><math>\mathrm A_4 \times \mathrm Z_2</math> (urutan 24)
|- align=center valign=top
|style="padding:0 1em"|[[Berkas:GroupDiagramMiniD6.svg|200px]]<BRbr><math>\mathrm S_3 = \operatorname{Dih}_3</math> (urutan 6)
|style="padding:0 1em"|[[Berkas:Symmetric group 4; cycle graph.svg|200px]]<BRbr><math>\mathrm S_4</math> (urutan 24)
|style="padding:0 1em"|[[Berkas:Alternating group 4; cycle graph; subgroup of S4.svg|200px]]<BRbr><math>\mathrm A_4</math> di <math>\mathrm S_4</math> di kiri
|}
 
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Grup_selang-seling"