Luas: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
k ←Suntingan 114.79.52.97 (bicara) dibatalkan ke versi terakhir oleh Reindra |
k →Luas dalam [[kalkulus]]: clean up |
||
| (48 revisi perantara oleh 23 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{Infobox physical quantity
| name = Luas
| unit = [[Meter persegi]] [m<sup>2</sup>]
| basequantities = 1 [[Meter|m]]<sup>2</sup>
| symbols = ''A''
}}
'''Luas''' atau '''keluasan''' ({{Lang-en|area}}) adalah besaran yang menyatakan [[ukuran]] dua [[dimensi]] (dwigatra) suatu bagian [[permukaan]] yang dibatasi dengan jelas, biasanya suatu daerah yang dibatasi oleh [[kurva]] tertutup. '''Luas permukaan''' menyatakan luasan permukaan suatu benda padat tiga dimensi (trigatra). Dalam aplikasi, luas permukaan [[bumi]], yang dipakai dalam pengukuran lahan dan merupakan suatu luasan permukaan, kerap dianggap sebagai luas dua dimensi [[bidang datar]] apabila luasan itu tidak terlalu besar relatif terhadap luas permukaan total bumi.
== Satuan luas ==
{{Bagian tanpa referensi|date=Desember 2021}}
[[Satuan]] luas pokok menurut [[SI (satuan ukur)|Sistem Internasional]] adalah [[meter persegi]], sedangkan menurut [[sistem Imperial]] adalah [[kaki persegi]]. Ukuran yang berlaku nasional dan internasional bersifat eksak, sedangkan yang dipakai secara lokal dapat agak bervariasi. Untuk satuan lainnya yang biasa dipakai sehari-hari dapat dilihat di bawah.
=== Ukuran internasional dan nasional ===
* [[meter persegi]] (m<sup>2</sup>)
* [[are]] = ''tumbuk'' (di [[Jambi]]) = 100 meter persegi = 100 sentiare (ca)
* [[hektare]] (ha) = 100 are = 10.000 meter persegi
* [[kilometer persegi]] (km<sup>2</sup>) = 100 hektare = 10 000 are = 1.000.000 meter persegi
* [[kaki (ukuran)|kaki]] persegi = 144 (= 12 × 12) [[inci]] persegi = 0
* [[yard]] (ela) persegi = 9 (= 3 × 3) kaki persegi = 0
* [[ekar]] (lebih dikenal di [[Malaysia]]) = ''acre'' = 10 [[Rantai (ukuran)|rantai]] persegi (= satu ''[[furlong]]'' dikalikan satu rantai = 4.840 yard persegi = 43.560 kaki persegi = 4.046,856 422 4 meter persegi
* [[mil persegi]] = 640 ekar = 2,589 988 110 336 kilometer persegi
Baris 59 ⟶ 32:
* ''kesuk'' (di Jawa Mataraman), bervariasi dari 1.000 meter persegi hingga 1/6 hektare.
* ''rakit'' ([[Pantura]] Jawa) ≈ 1.000 meter persegi
* rantai (sebenarnya rantai persegi, dipakai di perkebunan [[Pulau
== Sejarah ==
{{Periksa terjemahan|en|Area#History}}
=== Luas lingkaran ===
Pada abad ke-5 SM, [[Hippocrates dari Chios]] adalah orang pertama yang menunjukkan bahwa luas cakram (daerah yang dikelilingi lingkaran) sebanding dengan kuadrat diameternya, sebagai bagian dari [[Kuadratur (matematika)|kuadratur]] dari [[Garis pada Hippocrates]],<ref name="heath">{{citation|first=Thomas L.|last=Heath|authorlink=Thomas Little Heath|title=Manual Matematika Yunani|publisher=Courier Dover Publications|year=2003|isbn=978-0-486-43231-1|pages=121–132|url=https://books.google.com/books?id=_HZNr_mGFzQC&pg=PA121|url-status=live|archiveurl=https://web.archive.org/web/20160501215852/https://books.google.com/books?id=_HZNr_mGFzQC&pg=PA121|archivedate=2016-05-01}}</ref> tetapi tidak mengidentifikasi [[konstanta proporsionalitas]]. [[Eudoxus dari Cnidus]], juga pada abad ke-5 SM, juga menemukan bahwa luas sebuah cakram sebanding dengan radius kuadratnya.<ref>{{cite book|last=Stewart|first=James|year=2003|url=https://archive.org/details/singlevariableca00stew/page/3|title=Variabel tunggal transendental awal kalkulus.|location=Toronto ON|publisher=Brook/Cole|isbn=978-0-534-39330-4|edition=5th.|page=[https://archive.org/details/singlevariableca00stew/page/3 3]|quote=However, by indirect reasoning, Eudoxus (fifth century B.C.) used exhaustion to prove the familiar formula for the area of a circle: <math>A= \pi r^2.</math>|url-status=live}} <!--Kutipan ini mungkin berlebihan. Saya belum bisa memastikan bahwa dia menemukan formula yang sebenarnya, tetapi mungkin hanya proporsionalitas antara A dan r-kuadrat.--></ref>
Selanjutnya, Buku I [[Euclid's Elements|Euclid's ''Elements'']] membahas persamaan luas antara gambar dua dimensi. Ahli matematika [[Archimedes]] menggunakan perkakas [[geometri Euklides]] untuk menunjukkan bahwa luas di dalam lingkaran sama dengan luas [[segitiga siku-siku]] yang alasnya memiliki panjang keliling lingkaran dan yang tingginya sama dengan jari-jari lingkaran, dalam bukunya ''[[Pengukuran Lingkaran]]''. (Kelilingnya 2{{pi}}''r'', dan luas segitiga adalah setengah alas dikalikan tinggi, menghasilkan luas {{pi}}''r''<sup>2</sup> untuk disk.) Archimedes mendekati nilai π (dan karenanya luas lingkaran radius-satuan) dengan [[Luas disk#
Metode penggandaan#Archimedes|metode penggandaannya]], di mana dia menuliskan segitiga biasa dalam lingkaran dan mencatat luasnya, lalu gandakan jumlah sisinya untuk menghasilkan [[segi enam]] yang teratur, kemudian berulang kali menggandakan jumlah sisi karena luas poligon semakin dekat dan dekat dengan lingkaran (dan lakukan hal yang sama dengan [[poligon berbatas]].
Ilmuwan Swiss [[Johann Heinrich Lambert]] pada tahun 1761 membuktikan bahwa [[pi|π]], rasio luas lingkaran terhadap radius kuadratnya, adalah [[bilangan irasional|irasional]], artinya itu tidak sama dengan hasil bagi dari dua bilangan bulat apa pun.<ref name="Arndt">{{cite book|last=Arndt|first=Jörg|last2=Haene l|first2=Christoph|year=2006|url=https://books.google.com/?id=QwwcmweJCDQC&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false|title=Pi Unleashed|publisher=Springer-Verlag|isbn=978-3-540-66572-4 <!--isbn only volume 1-->|ref=harv|accessdate=2013-06-05}} Terjemahan bahasa Inggris oleh Catriona dan David Lischka.</ref> Pada tahun 1794, ahli matematika Prancis [[Adrien-Marie Legendre]] membuktikannya π<sup>2</sup> tidak rasional; ini juga membuktikan bahwa π tidak rasional.<ref>{{citation|first=Howard|last=Eves|title=An Introduction to the History of Mathematics|edition=6th|year=1990|publisher=Saunders|isbn=978-0-03-029558-4|page=121}}</ref> Pada tahun 1882, ahli matematika Jerman [[Ferdinand von Lindemann]] membuktikan bahwa π adalah [[bilangan transendental|transendental]] (bukan solusi dari [[persamaan polinomial]] dengan koefisien rasional), mengkonfirmasikan dugaan yang dibuat oleh [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]] dan Euler.<ref name="Arndt" />{{rp|p. 196}}
=== Luas segitiga ===
[[Heron dari Aleksandria|Heron (atau Hero) dari Aleksandria]] menemukan apa yang dikenal sebagai [[rumus Heron]] untuk luas segitiga dalam segi sisinya, dan bukti dapat ditemukan dalam bukunya, ''Metrica'', yang ditulis sekitar tahun 60 Masehi. Telah disarankan bahwa [[Archimedes]] mengetahui rumus tersebut lebih dari dua abad sebelumnya,<ref>{{cite book|author=Heath, Thomas L.|year=1921|title=A History of Greek Mathematics (Vol II)|publisher=Oxford University Press|pages=321–323}}</ref> dan karena ''Metrica'' adalah kumpulan pengetahuan matematika yang tersedia di dunia kuno, ada kemungkinan rumus tersebut mendahului referensi yang diberikan dalam pekerjaan itu.<ref>{{MathWorld|urlname=HeronsFormula|title=Rumus Heron}}</ref>
Pada tahun 499 [[Aryabhata]], seorang [[matematikawan]]-[[astronom]] hebat dari zaman klasik [[matematika India]] dan [[astronomi India]], menyatakan luas segitiga sebagai satu-setengah alas kali tinggi di ''[[Aryabhatiya]]'' (bagian 2.6).
Sebuah formula yang setara dengan Heron ditemukan oleh orang Cina secara terpisah dari orang Yunani. Itu diterbitkan pada 1247 di ''Shushu Jiuzhang'' ("[[Risalah Matematika dalam Sembilan Bagian]]"), ditulis oleh [[Qin Jiushao]].
=== Luas segiempat ===
Pada abad ke-7 M, [[Brahmagupta]] mengembangkan rumus yang sekarang dikenal sebagai [[rumus Brahmagupta]], untuk luas [[segiempat siklik]] ([[segiempat]] [[angka tertulis|tertulis]] dalam lingkaran) dalam hal sisi-sisinya. Pada tahun 1842, ahli matematika Jerman [[Carl Anton Bretschneider]] dan [[Karl Georg Christian von Staudt]] secara independen menemukan rumus, dikenal sebagai [[rumus Bretschneider]], untuk luas segiempat mana pun.
=== Luas poligon umum ===
Pengembangan [[Sistem koordinat Kartesius|Koordinat Kartesius]] oleh [[René Descartes]] pada abad ke-17 memungkinkan pengembangan [[rumus tali sepatu|rumus surveyor]] untuk luas poligon dengan lokasi [[puncak (geometri)|titik]] yang diketahui oleh [[Gauss]] pada abad ke-19.
=== Luas ditentukan menggunakan kalkulus ===
Perkembangan [[kalkulus integral]] di akhir abad ke-17 menyediakan alat yang nantinya dapat digunakan untuk menghitung luas yang lebih rumit, seperti luas [[Elips#Luas|elips]] dan [[luas permukaan]] dari berbagai objek tiga dimensi melengkung.
== Definisi formal ==
{{Lihat pula|Ukuran Jordan}}
Pendekatan untuk mendefinisikan apa yang dimaksud dengan "luas" adalah melalui aksioma . "Luas" dapat didefinisikan sebagai fungsi dari kumpulan <math>M</math> dari gambar bidang jenis khusus (disebut himpunan terukur) ke himpunan [[bilangan real]], yang memenuhi sifat berikut:
* Untuk semua <math>S</math> dalam ''<math>M</math>,'' <math>a(S) \ge 0</math>.
* Jika ''<math>S</math>'' dan <math>T</math> berada di ''<math>M</math>'', maka <math>S \cup T</math> dan <math>S \cap T</math>. Dan juga, <math>a(S \cup T) = a(S) + a(T) - a(S \cap T)</math>.
* Jika ''<math>S</math>'' dan ''<math>T</math>'' berada di ''<math>M</math>'' dengan <math>S \subseteq T</math>, maka <math>T - S</math> berada di <math>M</math> dan <math>a(T-S) = a(T) - a(S)</math>''.''
* Jika himpunan ''<math>S</math>'' dalam ''<math>M</math>'' dan ''<math>S</math>'' kongruen dengan ''T'' maka ''T'' juga dalam ''M'' dan ''a ( S ) = a ( T )''.
* Setiap persegi panjang <math>R</math> adalah di ''<math>M</math>''. Jika persegi panjang memiliki panjang <math>h</math> dan lebarnya <math>k</math> maka <math>a(R) = hk</math>.
* Misalkan <math>Q</math> adalah himpunan yang tertutup antara dua daerah langkah ''<math>S</math>'' dan <math>T</math>. Sebuah daerah langkah dibentuk dari gabungan hingga persegi panjang damping yang terletak di basis umum, yaitu <math>S \subseteq Q \subseteq T</math>. Jika ada bilangan tunggal <math>c</math> sehingga <math>a(S) \le c \le a(T)</math> untuk semua daerah langkah ''<math>S</math>'' dan <math>T</math>, maka <math>a(Q) = c</math>.
Sifat di atas dapat dibuktikan bahwa fungsi luas benar-benar ada.<ref name=Moise>{{cite book|last=Moise|first=Edwin|title=Elementary Geometry from an Advanced Standpoint|url=https://archive.org/details/elementarygeomet0000mois|url-access=registration|accessdate=15 Juli 2012|tahun=1963|publisher= Addison-Wesley Pub. Co.|isbn=|page=}}</ref>
== Rumus ==
=== Rumus poligon ===
{{utama|Poligon}}
Untuk poligon takberpotongan-diri (sederhana), [[koordinat kartesius]] <math>(x_i, y_i)</math> dengan <math>i = 0,1,\dots,n-1</math> dan ''n''-[[Verteks (geometri)|verteks]]<nowiki/>nya diketahui, luas tersebut diberikan oleh [[Rumus tali sepatu|rumus surveyor]]
:<math>A = \frac{1}{2} \left| \sum_{i = 0}^{n - 1}( x_i y_{i + 1} - x_{i + 1} y_i) \right|</math>
di mana ketika <math>i = n - 1</math>, maka <math>i+1</math> dinyatakan sebagai modulus <math>n</math> dan mengacu ke 0.
=== Lingkaran ===
{{utama|Luas lingkaran}}
[[Berkas:CircleArea.svg|jmpl|ka|alt=A circle divided into many sectors can be re-arranged roughly to form a parallelogram|Sebuah [[lingkaran]] yang membentuk bagian-bagian menjadi persegi panjang.]]
Diberikan <math>r</math> adalah [[jari-jari]] pada sebuah lingkaran. Lingkaran tersebut memotong menjadi bagian yang sama besar (seperti pada gambar di samping). Setiap bagian yang dipotong mirip seperti segitiga. Bila disusun menjadi persegi panjang, maka didapati tingginya adalah jari-jari lingkaran.dan panjangnya adalah keliling lingkaran, <math>\pi r</math>. Maka, didapati luas pada lingkaran:<ref name=":1">{{Cite book|last=Salamah|first=Umi|date=2015|title=Berlogika dengan Matematika untuk Kelas VIII SMP dan MTs|isbn=978-979-018-702-3|pages=130|url-status=live}}</ref>
: <math> L = \pi r^2 </math>
:
=== Luas dalam [[kalkulus]] ===
{{utama|Kalkulus}}
[[Berkas:Integral as region under curve.svg|jmpl|alt=A diagram showing the area between a given curve and the x-axis|Integral dapat ditinjau sebagai mengukur luas di bawah kurva, yang didefinisikan oleh <math>f(x)</math>a antara dua titik (yaitu <math>a</math> dan <math>b</math>).]]
[[Berkas:Areabetweentwographs.svg|jmpl|alt=A diagram showing the area between two functions|Luas antara dua grafik dapat dievaluasi dengan menghitung selisih antara integral dari dua fungsi.]]
* Luas antara kurva bernilai positif dan sumbu horizontal, diukur antara dua nilai a dan b (b didefinisikan sebagai lebih besar dari dua nilai) pada sumbu horizontal, diberikan oleh integral dari a ke b dari fungsi yang mewakili kurva:<ref name=MathWorld/>
:<math> A = \int_a^{b} f(x) \, dx.</math>
* Luas antara grafik dua fungsi sama dengan integral dari satu fungsi , f ( x ), minus integral dari fungsi lainnya, g ( x ):<math> A = \int_a^{b} ( f(x) - g(x) ) \, dx, </math> where <math> f(x) </math> adalah kurva dengan nilai y yang lebih besar.
* Luas yang dibatasi oleh fungsi r = r (θ) yang dinyatakan dalam koordinat polar adalah:<ref name=MathWorld/>
:<math>A = {1 \over 2} \int r^2 \, d\theta. </math>
* Luas tertutup oleh kurva parametrik <math>\vec u(t) = (x(t), y(t)) </math> dengan titik akhir <math> \vec u(t_0) = \vec u(t_1) </math> diberikan oleh garis [[integral]]:
::<math> \oint_{t_0}^{t_1} x \dot y \, dt = - \oint_{t_0}^{t_1} y \dot x \, dt = {1 \over 2} \oint_{t_0}^{t_1} (x \dot y - y \dot x) \, dt </math> ( Lihat [[teorema Green]] ) atau komponen <math>z</math> dari:<math>{1 \over 2} \oint_{t_0}^{t_1} \vec u \times \dot{\vec u} \, dt.</math>
=== Daerah yang dibatasi antara dua fungsi kuadrat ===
Untuk menemukan luas yang dibatasi antara dua [[fungsi kuadrat]], kita kurangi satu dari yang lain untuk menuliskan perbedaannya sebagai
:<math>f(x)-g(x)=ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)</math>
di mana <math>f(x)</math> adalah batas atas kuadratik dan <math>g(x)</math> adalah batas bawah kuadratik. Dapat menentukanm diskriminan dari <math>f(x) - g(x)</math> sebagai <ref>{{cite book|title=Matematika|url=https://books.google.com/books?id=NFkVfrZBqpUC&pg=PA51|publisher=PT Grafindo Media Pratama|isbn=978-979-758-477-1|pages=51–|url-status=live|archiveurl=https://web.archive.org/web/20170320100900/https://books.google.com/books?id=NFkVfrZBqpUC&pg=PA51|archivedate=2017-03-20}}</ref><ref>{{cite book|title=Get Success UN +SPMB Matematika|url=https://books.google.com/books?id=uwqvITs8OaUC&pg=PA157|publisher=PT Grafindo Media Pratama|isbn=978-602-00-0090-9|pages=157–|url-status=live|archiveurl=https://web.archive.org/web/20161223115304/https://books.google.com/books?id=uwqvITs8OaUC&pg=PA157|archivedate=2016-12-23}}</ref>
:<math>A=\frac{\Delta\sqrt{\Delta}}{6a^2}=\frac{a}{6}(\beta-\alpha)^3,\qquad a\neq0.</math>
Rumus dii atas tetap valid jika salah satu fungsi pembatas adalah linear, bukan kuadratik.
== Rumus luas ==
[[Berkas:Area.svg|Contoh-contoh bangun dua dimensi|jmpl]]
Luas suatu [[bangun dua dimensi]] dapat dihitung dengan menggunakan elemen satuan luas berupa [[persegi]] (atau bentuk lain) yang diketahui ukurannya. Luas bangun yang akan diukur merupakan jumlah elemen satuan luas yang menutupinya. Untuk bangun-bangun yang memiliki keteraturan terdapat [[rumus]]-rumus yang dapat digunakan bergantung pada [[karakteristik]] bangun [[dua dimensi]] yang dimaksud.
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|+
|-
! Bentuk
! Rumus luas
! Variabel
|-
| [[Bujur sangkar]]/Persegi
| <math>s^2\!</math>
| [[sisi]] (''s'')
|-
| [[Persegi panjang]]
| <math>p l\!</math>
| [[panjang]] (''p''), [[lebar]] (''l'')
|-
| [[Lingkaran]]
| <math>\pi r^2\!</math>
| [[jari-jari]] (''r'')
|-
| [[Segitiga]]
| <math> \frac{at}{2}\!</math>
| [[alas]] (''a''), [[tinggi]] (''t'')
|-
| [[Jajar genjang]]
| <math> at\!</math>
| [[alas]] (''a''), [[tinggi]] (''t'')
|-
| [[Trapesium]]
| <math> \frac{(a+b)t}{2}\!</math>
| [[alas]] atas (''a''), [[alas]] bawah (''b''), [[tinggi]] (''t'')
|-
| [[Belah ketupat]]
| <math> \frac{d_1 d_2}{2}\!</math>
| [[diagonal]] (''d<sub>1</sub>'' & ''d<sub>2</sub>'')
|-
| [[Layang-layang]]
| <math> \frac{d_1 d_2}{2}\!</math>
| [[diagonal]] (''d<sub>1</sub>'' & ''d<sub>2</sub>'')
|-
| [[Elips]]
| <math>\pi ab\!</math>
| [[jari-jari]] datar (''a''), [[jari-jari]] tegak (''b'')
|-
| Luas daerah (dibutuhkan [[kalkulus]])
| <math>\int_a^b A(h) \,\mathrm{d}h</math>
|
|}
== Lihat pula ==
* [[Luas lingkaran]], yang melibatkan luas pada sebuah [[lingkaran]].
* [[Luas permukaan]]
== Referensi ==
{{reflist}}
{{bangun}}
[[Kategori:
[[Kategori:
[[Kategori:Besaran turunan]]
| |||