Bilangan alef: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
k Robot: Perubahan kosmetika |
k →Alef-nol: clean up |
||
(16 revisi perantara oleh 11 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{Tanpa referensi|date=November 2021}}[[Berkas:Aleph0.svg|
'''Bilangan alef''' ({{lang-en|aleph number}}) dalam [[teori himpunan]] (suatu bidang [[matematika]]) adalah suatu urutan bilangan yang digunakan untuk melambangkan [[bilangan kardinal|kardinalitas]] (atau ukuran) dari himpunan tak terhingga (''infinite set''). Dinamakan menurut simbol yang dipakai, yaitu [[abjad Ibrani|huruf Ibrani]] "[[alef]]" (<math>\aleph</math>).{{efn|
Dalam buku matematika lama, huruf alef dicetak terbalik secara tidak sengaja–misalnya, dalam Sierpiński (1958)<ref name=Sierpiński-1958>{{cite book |last=Sierpiński |first= Wacław |year=1958 |title=Cardinal and Ordinal Numbers |title-link=Cardinal and Ordinal Numbers |series=Polska Akademia Nauk Monografie Matematyczne |volume= 34 |publisher=Państwowe Wydawnictwo Naukowe |place=Warsaw, PL |mr=0095787}}
</ref>{{rp|page=402}} huruf alef muncul dengan cara yang benar keatas dan terbalik–sebagian karena matriks [[monotipe]] untuk alef salah dibangun dengan posisi cara yang salah.<ref>
{{cite book
|last1=Swanson |first1=Ellen
|last2=O'Sean |first2=Arlene Ann
|last3=Schleyer |first3=Antoinette Tingley
|year=1999 |orig-year=1979
|edition=updated
|title=Mathematics into type: Copy editing and proofreading of mathematics for editorial assistants and authors
|url=https://archive.org/details/mathematicsintot00swan |publisher=[[American Mathematical Society]]
|place=Providence, RI
|isbn=0-8218-0053-1
|mr=0553111
|page=[https://archive.org/details/mathematicsintot00swan/page/n22 16]
}}
</ref>
}}
Kardinalitas [[bilangan asli]] adalah <math>\aleph_0</math> (dibaca "alef-nol" (''aleph-null''), atau
Konsep ini berasal dari [[Georg Cantor]],<ref>{{cite web
|first=Jeff |last=Miller
|title=Earliest uses of symbols of set theory and logic
|website=jeff560.tripod.com
|url=http://jeff560.tripod.com/set.html
|access-date=2016-05-05
|postscript=;
}} who quotes
{{cite book
|author=Dauben, Joseph Warren
|date=1990
|title=Georg Cantor: His mathematics and philosophy of the infinite
|isbn=9780691024479
|url-access=registration
|url=https://archive.org/details/georgcantorhisma0000daub
|quote=Bilangan barunya layak mendapatkan sesuatu yang unik. ... Tidak ingin menciptakan simbol baru sendiri, ia memilih alef, huruf pertama dari alfabet Ibrani ... alef dapat dianggap mewakili awal yang baru ...
Bilangan alef berbeda dari [[Tak hingga|tak-hingga]] (∞) yang biasa ditemukan dalam aljabar dan [[kalkulus]]. Bilangan alef mengukur ukuran himpunan secara tak-hingga, di sisi lain pada umumnya didefinisikan sebagai [[limit (matematika)|limit]] ekstrim dari [[garis bilangan real]] (diterapkan ke [[fungsi (matematika)|fungsi]] atau [[urutan (matematika)|urutan]] yang "[[deret divergen|divergen]] ke tak hingga" atau "menambah tanpa batas"), atau titik ekstrim dari [[garis bilangan real diperluas]].
▲Konsep ini berasal dari [[Georg Cantor]], yang mendefinisikan pengertian kardinalitas dan menyadari bahwa himpunan tak terhingga dapat mempunyai kardinalitas yang berbeda.
== Alef-nol ==
<math>\aleph_0</math> adalah kardinalitas dari semua [[bilangan asli]], dan merupakan suatu [[bilangan transfinit|"bilangan transfinit" atau "kardinal tak
* himpunan semua bilangan [[pangkat dua|kuadrat]], himpunan semua bilangan [[Pangkat tiga|kubik]], himpunan semua bilangan [[eksponen|pangkat empat]], ...
* himpunan semua [[eksponen|pangkat sempurna]], himpunan semua [[eksponen|pangkat prima]],
* himpunan semua [[bilangan genap]], himpunan semua [[bilangan ganjil]],
* himpunan semua [[bilangan prima]], himpunan semua [[bilangan komposit]],
* himpunan semua [[bilangan bulat]],
* himpunan semua [[bilangan rasional]],
* himpunan semua [[
* himpunan semua [[
* himpunan semua [[
* himpunan semua [[
* himpunan semua [[
:{1, 3, 5, 7, 9, ..., 2, 4, 6, 8, 10, ...}
Jika [[aksioma pilihan terhitung]] (versi yang lebih lemah dari [[aksioma pilihan]]) berlaku, maka <math>\aleph_0</math> lebih kecil dari kardinal tak hingga lainnya.
== Alef-satu ==
<math>\aleph_1</math> adalah kardinalitas dari himpunan semua [[bilangan ordinal]] yang terhitung, disebut '''ω<sub>1</sub>''' atau (kadang-kadang) '''Ω'''. '''ω<sub>1</sub>''' sendiri adalah suatu bilangan ordinal yang lebih besar dari semua bilangan ordinal yang terhitung, sehingga merupakan suatu [[
'''ω<sub>1</sub>''' is actually a useful concept, if somewhat exotic-sounding. An example application is "closing" with respect to countable operations; e.g., trying to explicitly describe the [[sigma-algebra|σ-algebra]] generated by an arbitrary collection of subsets (see e. g. [[Borel hierarchy]]). This is harder than most explicit descriptions of "generation" in algebra ([[vector space]]s, [[group theory|group]]s, etc.) because in those cases we only have to close with respect to finite operations—sums, products, and the like. The process involves defining, for each countable ordinal, via [[transfinite induction]], a set by "throwing in" all possible countable unions and complements, and taking the union of all that over all of '''ω<sub>1</sub>'''.
-->
== Hipotesis
{{main|
{{see also|
[[Kardinalitas]] suatu himpunan [[bilangan real]] ([[
:<math>2^{\aleph_0}=\aleph_1.</math>
Baris 47 ⟶ 80:
== Alef-ω ==
Secara konvensional, bilangan ordinal tak terhingga terkecil dilambangkan dengan ω, dan bilangan kardinal <math>\aleph_\omega</math> merupakan batas atas terkecil dari
:<math>\left\{\,\aleph_n
di antara bilangan-bilangan alef.
<!--
Baris 53 ⟶ 86:
-->
== Alef-α untuk α umum ==
Untuk mendefinisikan <math>\aleph_\alpha</math> bagi bilangan ordinal sembarang <math>\alpha</math>, perlu didefinisikan [[
Maka bilangan-bilangan alef dapat didefinikan sebagai berikut:
Baris 64 ⟶ 97:
:<math>\aleph_{\lambda} = \bigcup_{\beta < \lambda} \aleph_\beta.</math>
Ordinal awal tak terhingga ke-α ditulis <math>\omega_\alpha</math>. Kardinalitasnya ditulis <math>\aleph_\alpha</math>. Lihat [[
<!--
Dalam ZFC, fungsi <math>\aleph</math> adalah suatu [[
== Titik tetap omega==
Untuk setiap ordinal α ada
:<math>\alpha\leq\omega_\alpha.</math>
Dalam banyak kasus <math>\omega_{\alpha}</math> secara sempit lebih besar dari α. Contohnya, ini benar untuk setiap ordinal penerus α.--> <!--There are, however, some limit ordinals which are [[fixed point (mathematics)|fixed point]]s of the omega function, because of the [[fixed-point lemma for normal functions]]. The first such is the limit of the sequence
:<math>\omega,\ \omega_\omega,\ \omega_{\omega_\omega},\ \ldots.</math>
Baris 79 ⟶ 112:
== Peranan aksioma pilihan ==
Kardinalitas suatu [[bilangan ordinal]] tak terhingga adalah sebuah bilangan alef. Setiap bilangan alef adalah kardinalitas sejumlah bilangan ordinal. Yang terkecil di antaranya adalah [[
<!--
Each [[finite set]] is well-orderable, but does not have an aleph as its cardinality.
Baris 100 ⟶ 133:
<!-- [[he:אלף 0]] - this article is about aleph 0 specifically, not about aleph numbers. As of 2012-9-2- there is no page on hewiki that is a suitable interwiki target for this article, see talk page. -->
{{Authority control}}
{{DEFAULTSORT:Bilangan alef}}
[[Kategori:
[[Kategori:Matematika]]
|