Bilangan alef: Perbedaan antara revisi

{{Tanpa referensi|date=November 2021}}[[Berkas:Aleph0.svg|jmpl|ka|150px|Alef-nol (''aleph-null''), [[bilangan kardinal]] [[tak hingga|tak terhingga]] terkecil]]

'''Bilangan alef''' ({{lang-en|aleph number}}) dalam [[teori himpunan]] (suatu bidang [[matematika]]) adalah suatu urutan bilangan yang digunakan untuk melambangkan [[bilangan kardinal|kardinalitas]] (atau ukuran) dari himpunan tak terhingga (''infinite set''). Dinamakan menurut simbol yang dipakai, yaitu [[abjad Ibrani|huruf Ibrani]] "[[alef]]" (<math>\aleph</math>).{{efn|

Kardinalitas [[bilangan asli]] adalah <math>\aleph_0</math> (dibaca "alef-nol" (''aleph-null''), atau kadangkalakadang kala dalam [[bahasa Inggris]] juga disebut ''aleph-naught'' atau ''aleph-zero''). Kardinalitas berikutnya yang lebih besar adalah "alef-satu" (''aleph-one'') <math>\aleph_1</math>, kemudian <math>\aleph_2</math> dan seterusnya. Jika terus dilanjutkan, dimungkinkan untuk mendefinisikan suatu [[bilangan kardinal]] <math>\aleph_\alpha</math> untuk setiap [[bilangan ordinal]] α, sebagaimana dinyatakan di bawahdibawah.

<math>\aleph_0</math> adalah kardinalitas dari semua [[bilangan asli]], dan merupakan suatu [[bilangan transfinit|"bilangan transfinit" atau "kardinal tak terhinggahingga"]]. Himpunan semua [[bilangan ordinal]] finit, dinamakan '''ω''' atau '''ω₀''', mempunyai kardinalitas <math>\aleph_0</math>. Suatu himpunan mempunyai kardinalitas <math>\aleph_0</math> [[jika dan hanya jika]] bilangan itu [[:en:countably infinite|terhitung sebagai tak terhinggahingga]], yaitu, ada [[:en:bijection|bijeksi]] (kesesuaian satu lawan satu) di antaranya dan bilangan-bilangan asli. Contoh-contoh himpunan semacam itutersebut adalah:

* himpunan semua [[:en:algebraic number|bilangan aljabar]],

* himpunan semua [[:en:computable number|bilangan komputabel]],

* himpunan semua [[:en:definable number|bilangan definabel]],

* himpunan semua [[:en:string (computerilmu sciencekomputer)|string]] [[biner]] dengan panjang finithingga, dan

* himpunan semua [[subsethimpunan bagian]] finithingga dari semua himpunan yang dapat terhitung sebagai tak terhinggahingga.

TheseOrdinal tak infinitehingga ordinalsini: ω<math>\,\omega\;,</math> ω<math>\,\omega+1\;,</math> ω.2<math>\,\omega\,\cdot2\,,\,</math> ω<supmath>\,\omega^{2}\,,</supmath>, ω<supmath>ω\,\omega^{\omega}\,</supmath> anddan [[OrdinalBilangan numberEpsilon|ε<submath>\,\varepsilon_{0}\,</submath>]] areadalah amongsalah thesatu countably[[Himpunan infinitetakhingga|himpunan setstak hingga]] yang terhitung.<ref>{{Citation | last1=Jech | first1=Thomas | title=Set Theory | publisher= [[Springer-Verlag]]| location=Berlin, New York | series=Springer Monographs in Mathematics | year=2003}}</ref> For exampleMisalnya, the sequencebarisan (withdengan [[ordinalityordinalitas]] ω.·2) ofdari semua allbilangan positivebulat oddganjil integerspositif followeddiikuti byoleh allsemua positivebilangan evenbulat integersgenap positif

isadalah anurutan ordering of the sethimpunan (withdengan cardinalitykardinalitas <math>\aleph_0</math>) ofdari positivebilangan integersbulat positif.

<math>\aleph_1</math> adalah kardinalitas dari himpunan semua [[bilangan ordinal]] yang terhitung, disebut '''ω₁''' atau (kadang-kadang) '''Ω'''. '''ω₁''' sendiri adalah suatu bilangan ordinal yang lebih besar dari semua bilangan ordinal yang terhitung, sehingga merupakan suatu [[:en:uncountable set|himpunan tak terhitung]]. Jadi, <math>\aleph_1</math> berbeda dari <math>\aleph_0</math>. Definisi <math>\aleph_1</math> menyiratkan (dalam ZF, [[:en:Zermelo–Fraenkel set theory|teori himpunan Zermelo–Fraenkel]] ''tanpa'' aksioma pilihan) bahwa tidak ada bilangan ordinal antara <math>\aleph_0</math> dan <math>\aleph_1</math>.<!-- If the [[axiom of choice]] (AC) is used, it can be further proved that the class of cardinal numbers is [[totally ordered]], and thus <math>\aleph_1</math> is the second-smallest infinite cardinal number. Using AC we can show one of the most useful properties of the set '''ω₁''': any countable subset of '''ω₁''' has an upper bound in '''ω₁'''. (This follows from the fact that a countable union of countable sets is countable, one of the most common applications of AC.) This fact is analogous to the situation in <math>\aleph_0</math>: every finite set of natural numbers has a maximum which is also a natural number, and [[Union (set theory)#Finite unions|finite unions]] of finite sets are finite.

== Hipotesis continuumkontinum ==

{{main|ContinuumHipotesis hypothesiskontinum}}

{{see also|bilanganBilangan beth}}

[[Kardinalitas]] suatu himpunan [[bilangan real]] ([[:en:cardinality of the continuum|kardinalitas continuum]]) adalah <math>2^{\aleph_0}</math>. Tidak dapat ditentukan dari ZFC ([[:en:Zermelo–Fraenkel set theory|teori himpunan Zermelo-Fraenkel]] dengan [[:en:axiom of choice|aksioma pilihan]]) di mana bilangan ini tepat masuk dalam hierarki bilangan alef, tetapi menuruti ZFC bahwa [[hipotesis]] continuum (''continuum hypothesis''),kontinum '''CH''', ekuivalen dengan persamaan identitas

:<math>\left\{\,\aleph_n : n\in\left\{\,0,1,2,\dots\,\right\}\,\right\}</math>

Untuk mendefinisikan <math>\aleph_\alpha</math> bagi bilangan ordinal sembarang <math>\alpha</math>, perlu didefinisikan [[:en:successor cardinal|operasi kardinal penerus]], yang diberikan pada setiap bilangan kardinal ρ bilangan kardinal ρ{{sup|+}} berikutnya yang lebih besar dalam [[:en:well-order|urutan teratur]] (jika [[:en:axiom of choice|aksioma pilihan]] masih dipertahankan, inilah bilangan kardinal lebih besar berikutnya).

Ordinal awal tak terhingga ke-α ditulis <math>\omega_\alpha</math>. Kardinalitasnya ditulis <math>\aleph_\alpha</math>. Lihat [[:en:initial ordinal|ordinal awal]].

Dalam ZFC, fungsi <math>\aleph</math> adalah suatu [[:en:bijection|bijeksi]] antara bilangan-bilangan ordinal dan kardinal tak terhingga.<ref>{{PlanetMath | urlname=AlephNumbers | title=aleph numbers | id=5710}}</ref>

Kardinalitas suatu [[bilangan ordinal]] tak terhingga adalah sebuah bilangan alef. Setiap bilangan alef adalah kardinalitas sejumlah bilangan ordinal. Yang terkecil di antaranya adalah [[:en:initial ordinal|ordinal awal]]nya. Setiap himpunan yang kardinalitasnya adalah suatu bilangan alef adalah [[:en:equinumerous|ekuinumeral]] dengan suatu bilangan ordinal dan karenanya dapat tertata baik (''well-orderable'').