Bilangan alef: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Bulandari27 (bicara | kontrib) Tidak ada ringkasan suntingan Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
k →Alef-nol: clean up |
||
| (2 revisi perantara oleh 2 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{Tanpa referensi|date=November 2021}}[[Berkas:Aleph0.svg|jmpl|ka|150px|Alef-nol (''aleph-null''), [[bilangan kardinal]] [[tak hingga|tak terhingga]] terkecil]]
'''Bilangan alef''' ({{lang-en|aleph number}}) dalam [[teori himpunan]] (suatu bidang [[matematika]]) adalah suatu urutan bilangan yang digunakan untuk melambangkan [[bilangan kardinal|kardinalitas]] (atau ukuran) dari himpunan tak terhingga (''infinite set''). Dinamakan menurut simbol yang dipakai, yaitu [[abjad Ibrani|huruf Ibrani]] "[[alef]]" (<math>\aleph</math>).{{efn|
Dalam buku matematika lama, huruf alef dicetak terbalik secara tidak
</ref>{{rp|page=402}} huruf alef muncul dengan cara yang benar keatas dan
{{cite book
|last1=Swanson |first1=Ellen
Baris 39:
}}</ref> yang mendefinisikan pengertian kardinalitas dan menyadari bahwa himpunan tak terhingga dapat mempunyai kardinalitas yang berbeda.
Bilangan alef berbeda dari [[Tak hingga|tak-hingga]] (∞) yang biasa ditemukan dalam aljabar dan [[kalkulus]]. Bilangan alef mengukur ukuran himpunan secara tak-hingga, di sisi lain pada umumnya didefinisikan sebagai [[limit (matematika)|limit]] ekstrim dari [[garis bilangan real]] (diterapkan ke [[fungsi (matematika)|fungsi]] atau [[urutan (matematika)|urutan]] yang "[[deret divergen|divergen]] ke tak hingga" atau "menambah tanpa batas"), atau titik ekstrim dari [[garis bilangan real diperluas]].
== Alef-nol ==
Baris 56:
* himpunan semua [[himpunan bagian]] hingga dari semua himpunan yang dapat terhitung sebagai tak hingga.
Ordinal tak hingga ini: <math>\,\omega\;,</math> <math>\,\omega+1\;,</math> <math>\,\omega\,\cdot2\,,\,</math> <math>\,\omega^{2}\,,</math> <math>\,\omega^{\omega}\,</math> dan [[Bilangan Epsilon|ε<math>\,\varepsilon_{0}\,</math>]] adalah salah satu [[Himpunan takhingga|himpunan tak hingga]] yang terhitung.<ref>{{Citation | last1=Jech | first1=Thomas | title=Set Theory | publisher= [[Springer-Verlag]]| location=Berlin, New York | series=Springer Monographs in Mathematics | year=2003}}</ref> Misalnya, barisan (dengan [[ordinalitas]] ω·2) dari semua bilangan bulat ganjil positif diikuti oleh semua bilangan bulat genap positif
:{1, 3, 5, 7, 9, ..., 2, 4, 6, 8, 10, ...}
Baris 72:
{{main|Hipotesis kontinum}}
{{see also|Bilangan beth}}
[[Kardinalitas]] suatu himpunan [[bilangan real]] ([[cardinality of the continuum|kardinalitas continuum]]) adalah <math>2^{\aleph_0}</math>. Tidak dapat ditentukan dari ZFC ([[Zermelo–Fraenkel set theory|teori himpunan Zermelo-Fraenkel]] dengan [[axiom of choice|aksioma pilihan]]) di mana bilangan ini tepat masuk dalam hierarki bilangan alef, tetapi menuruti ZFC bahwa [[hipotesis]] kontinum , ekuivalen dengan persamaan identitas
:<math>2^{\aleph_0}=\aleph_1.</math>
| |||