Integral Lebesgue: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif

← Revisi sebelumnya

Konten dihapus Konten ditambahkan

VisualTeks wiki

Revisi per 4 Agustus 2018 09.59 sunting Akuindo (bicara \| kontrib) 43.786 suntingan Tidak ada ringkasan suntingan ← Revisi sebelumnya		Revisi terkini sejak 22 Januari 2023 19.23 sunting balikkan Arya-Bot (bicara \| kontrib) Bot, Pengecualian blokir IP 261.428 suntingan k →‎top: clean up, added underlinked tag Tag: AWB
(7 revisi perantara oleh 6 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 1: {{Underlinked\|date=Januari 2023}} {{gabung\|Integrasi Lebesgue-Stieltjes}} ~~{{split\|A}}~~ [[Berkas:Integral-area-under-curve.svg\|thumb\|The integral of a positive function can be interpreted as the area under a curve.\|alt=\|261x261px]] {{Kalkulus\|Integral}} Dalam matematika modern, '''Integral Lebesgue''' suatu konsep integral. Baris 7 ⟶ 9: === Ruang ukuran === Integral Lebesgue dapat definisikan untuk fungsi pada suatu [[Ukuran (matematika)\|ruang ukuran]] <math> ( X , \Sigma , \mu ) </math>. === Integral dari fungsi sederhana === '''Fungsi karakteristik''' <math> \chi _A : X \rightarrow \{ 0 , 1 \} </math> untuk himpunan <math> A \subseteq X </math> adalah :<math> \chi _A (x) = \begin{cases} 1 & \mathrm{jika} \; x \in A \\ 0 & \mathrm{jika} \; x \not \in A \end{cases} . </math> Suatu fungsi <math> \phi : X \rightarrow \mathbb{R} </math> tersebut '''fungsi sederhana''', jika :<math> \phi = \sum _{i=1} ^n \alpha _i \chi _{A _i} </math> untuk <math> \alpha _1 , \ldots , \alpha _n \in \mathbb{R} </math>, <math> A _1 , \ldots , A _n \in \Sigma </math> dan <math> n \in \mathbb{N} </math>. Kita mendefinisikan integral Lebesgue dari fungsi sederhana <math> \phi = \sum _{i=1} ^n \alpha _i \chi _{A _i} </math> sebagai :<math> \int _X \phi\, d \mu = \sum _{i=1} ^n \, \alpha _i \mu ( A _i ) . </math> === Integral dari fungsi tak negatif === Misalnya <math> f : ( X , \Sigma ) \rightarrow ( \mathbb{R} , \mathcal{B} ( \mathbb{R} ) ) </math> suatu fungsi terukur dan tak negatif, di mana <math> \mathcal{B} ( \mathbb{R} ) </math> aljabar σ Borel. Maka, mendefinisikan integralnya sebagai :<math> \int _X f \, d \mu = \sup \left\{ \int _X \phi \, d \mu : \phi \text{ sederhana, } 0 \leq \phi \leq f \right\} . </math> Perhatikan bahwa <math> \int _X f \, d \mu \in [ 0 , \infty ] </math>. === Integral dari fungsi terukur sembarang === Misalnya <math> f : ( X , \Sigma ) \rightarrow ( \mathbb{R} , \mathcal{B} ( \mathbb{R} ) ) </math> suatu fungsi terukur. Selanjutnya fungsi tak negatif <math> f ^+ </math> dan <math> f^- </math> adalah didefinisikan tik demi tik sebagai <math> f ^+ = \max \{ f , 0 \} </math> dan <math> f ^- = \max \{ - f , 0 \} </math>. Perhatikan bahwa <math> f = f ^+ - f ^- </math> dan <math> \| f \| = f ^+ + f ^- </math>. Baris 36 ⟶ 38: == Sifat-sifat dasar == * Integral itu linear, yaitu jika <math> \alpha , \beta \in \mathbb{R} </math> dan <math> f, g </math> fungsi terintegralkan, maka <math> \alpha f + \beta g </math> juga terintegralkan dengan :<math> \int _X \alpha f + \beta g \, d \mu = \alpha \int _X f \, d \mu + \beta \int _X g \, d \mu . </math> * Integral itu monoton, yaitu jika <math> f ,g </math> fungsi terintegralkan dan <math> f \leq g </math>, maka :<math> \int _X f \, d \mu \leq \int _X g \, d \mu . </math> {{Authority control}} [[Kategori:Matematika]]