Ukuran (matematika): Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Membalikkan revisi 21671369 oleh 175.158.38.133 (bicara) Tag: Pembatalan Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan. Tag: VisualEditor Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Tugas pengguna baru Disarankan: tambahkan pranala |
||
| (Satu revisi perantara oleh satu pengguna lainnya tidak ditampilkan) | |||
Baris 3:
[[Berkas:Measure illustration.png|ka|jmpl|Ukuran dapat dibayangkan sebagai pasangan antara himpunan dan bilangan positif. Digambarkan di sini sifat monoton, di mana himpunan bagian berukuran lebih kecil]]
Dalam [[matematika]], '''ukuran''' adalah pemetaan yang menghubungkan [[himpunan bagian]] tertentu dengan suatu nilai, yang dianggap sebagai ukuran dari himpunan bagian tersebut. Ukuran dapat dipahami sebagai perumiman dari konsep seperti "panjang", "luas" dan "volume". Konsep ukuran ini penting untuk dapat dengan benar mendefinisikan integral dari suatu fungsi secara umum. Ukuran adalah konsep yang penting dalam [[Analisis matematis|analisis]] dan [[teori peluang]]. Teori ukuran adalah cabang [[analisis real]] yang menginvestigasi aljabar σ, ukuran, fungsi ukuran dan integral.▼
Gagasan mengenai teori ukuran sudah ada semenjak zaman Yunani kuno, ketika Archimeder hendak menghitung nilai eksak luas lingkaran. Tetapi teori ukuran sendiri baru berkembang di abad ke-20. Perintis dari teori ukuran adalah [[Henri Lebesgue]], [[Georg Cantor]], [[Émile Borel]], [[Constantin Carathéodory]] and [[Alfred Haar]]. Henri Lebesgue mengembangkan ukuran Lebesgue dan [[integral Lebesgue]] dalam <math>\mathbb{R}^{n}</math>. Georg Cantor dan Émile Borel kemudian mengidentifikasi besaran terukur dan besaran Borel. Constantin Carathéodory mendefinisikan dimensi eksternal dan konstruksi Carathéodory. Alfred Haar dikenal untuk ukuran Haar, konsep yang serupa dengan ukuran Lebesgue di grup topologis.▼
▲Dalam [[matematika]], '''ukuran''' adalah pemetaan yang menghubungkan himpunan bagian tertentu dengan suatu nilai, yang dianggap sebagai ukuran dari himpunan bagian tersebut. Ukuran dapat dipahami sebagai perumiman dari konsep seperti "panjang", "luas" dan "volume". Konsep ukuran ini penting untuk dapat dengan benar mendefinisikan integral dari suatu fungsi secara umum. Ukuran adalah konsep yang penting dalam [[Analisis matematis|analisis]] dan [[teori peluang]]. Teori ukuran adalah cabang analisis real yang menginvestigasi aljabar σ, ukuran, fungsi ukuran dan integral.
▲Gagasan mengenai teori ukuran sudah ada semenjak zaman Yunani kuno, ketika Archimeder hendak menghitung nilai eksak luas lingkaran. Tetapi teori ukuran sendiri baru berkembang di abad ke-20. Perintis dari teori ukuran adalah [[Henri Lebesgue]], [[Georg Cantor]], [[Émile Borel]], [[Constantin Carathéodory]] and [[Alfred Haar]]. Henri Lebesgue mengembangkan ukuran Lebesgue dan integral Lebesgue dalam <math>\mathbb{R}^{n}</math>. Georg Cantor dan Émile Borel kemudian mengidentifikasi besaran terukur dan besaran Borel. Constantin Carathéodory mendefinisikan dimensi eksternal dan konstruksi Carathéodory. Alfred Haar dikenal untuk ukuran Haar, konsep yang serupa dengan ukuran Lebesgue di grup topologis.
== Definisi ==
Misalkan <math> ( X, \Sigma ) </math> adalah suatu ruang terukur, dengan <math> X </math> suatu himpunan dan <math> \Sigma </math> suatu [[aljabar sigma|aljabar σ]] pada <math> X </math>.
Fungsi <math> \mu: \Sigma \rightarrow [0, + \infty] </math> disebut sebagai '''ukuran''' pada <math> ( X, \Sigma ) </math>, jika memenuhi sifat-sifat:
* ''Non-[[
:: <math> \mu(A) \geq 0</math>
Baris 25 ⟶ 22:
* ''Aditivitas terhitung'' atau aditivitas-σ: jika <math>A_1\,</math>, <math>A_2\,</math>, <math>A_3\,</math>, ... adalah suatu barisan terhitung dari himpunan saling lepas pasang-demi-pasang yang termuat dalam <math>\Sigma</math>, maka
::<math>\mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) = \sum_{i=1}^\infty \mu(A_i).</math>
Anggota dari <math> \Sigma </math> disebut '''himpunan terukur''', dan <math> ( X, \Sigma, \mu ) </math> disebut '''ruang ukuran'''.
Baris 68 ⟶ 65:
Untuk dimensi <math>\mu, \nu \colon \mathcal{A} \to [0,\infty]</math> di ruang ukur <math>(\Omega, \mathcal{A})</math> sebagai berikut:
Misalkan [[σ-aljabar#σ-operator
# Untuk <math>E \in \mathcal{E}</math> dengan <math>\mu(E) = \nu(E)</math>, dengan <math>\mu|_{\mathcal{E}} = \nu|_{\mathcal{E}}</math>, dan
# Urutan <math>(E_n)_{n\in\N}</math> dari himpunan <math>\mathcal{E}</math> dengan <math>\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n = \Omega</math> dan <math>\mu(E_n) = \nu(E_n) < \infty</math> für alle <math>n \in \N</math>.
| |||