Poligon: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) |
|||
| (26 revisi perantara oleh 6 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
[[Berkas:Assorted polygons.svg|jmpl|Berbagai macam poligon|400x400px]]Dalam [[geometri]], '''poligon''' atau '''segi banyak''' adalah bangun datar yang digambarkan dengan jumlah terhingga dari [[Garis (geometri)|garis]] lurus yang terhubung, sehingga membentuk sebuah [[rantai poligon]]al (atau sirkuit poligonal) yang tertutup.
Ruas garis dari sirkuit poligonal disebut sebagai [[Sisi (geometri)|sisi]]. Perpotongan dari dua sisi pada poligon dikenal sebagai [[titik sudut]]. '''Segi-''n''''' adalah sebuah poligon yang mempunyai <math>n</math> sisi, contohnya, segi-3 ([[segitiga]]).
[[Poligon sederhana]] adalah sebuah poligon yang tidak saling berpotongan diri. Akan tetapi, para matematikawan seringkali hanya melibatkan rantai poligonal terbatas dari poligon sederhana, dan karena itu mereka seringkali mendefinisikannya sebagai poligon. Sebuah batas poligonal dapat diperbolehkan untuk berpotongan terhadap dirinya, sehingga mengakibatkan terbentuknya [[poligon bintang]] dan [[Daftar poligon berpotongan diri|poligon yang saling berpotongan diri]] lainnya.
Poligon merupakan contoh bangun dimensi dua dari [[politop]] yang lebih umum dalam sebarang dimensi. Banyak [[Poligon#Perumuman|perumumannya]] yang didefinisikan untuk tujuan lain.
== Etimologi ==
Kata ''
==
[[Berkas:Polygon types.svg|thumb|right|300px|Beberapa
=== Jumlah sisi ===
Poligon
=== Konveksitas dan non-konveksitas ===
Poligon dapat dicirikan
* Poligon [[poligon cembung|
*
* [[
* [[Poligon cekung
* [[Poligon berbentuk
* [[Daftar poligon yang berpotongan diri|Poligon tak berpotongan diri]]: batas poligon yang tidak memotong diri.
* [[Poligon
=== Kesetaraan dan simetri ===
* [[Poligon
* [[Poligon
* [[Poligon beraturan]]: sebuah poligon berarti mempunyai sudut dan sisi yang sama.
* [[Poligon
* [[Poligon
*
* Isotoksal: semua sisi berada di dalam [[orbit simetri]] yang sama. Poligon ini juga merupakan poligon singgung dan mempunyai sisi yang sama.
===
* [[Poligon rektilinear]]: sisi-sisi poligon bertemu di sudut siku-siku, dalam artian bahwa semua sudut dalam bernilai 90° atau 270°.
* [[Poligon monoton]] terhadap garis <math>L</math> yang diketahui: setiap garis [[Ortogonal (geometri)|ortogonal]] ke <math>L</math> memotong poligon setidaknya dua kali.
== Sifat-sifat dan rumus ==
=== Sudut ===
[[Berkas:Winkelsumme-polygon.svg|jmpl|Segi-<math>n</math> dibagi menjadi <math>n-2</math> segitiga.]]
Sebarang poligon memiliki banyak sudut yang sama dengan banyaknya sisi. Masing-masing sudut di poligon memiliki beberapa sudut. Dua sudut yang terpenting, di antaranya:
* [[Sudut dalam]]: Jumlah dari sudut dalam segi-<math>n</math> sederhana sama dengan <math>(n-2) \times \pi</math> [[radian]] (atau dalam bentuk [[derajat (sudut)|derajat]], <math>(n-2) \times 180^\circ</math>). Ini dikarenakan sebarang segi-''<math>n</math>'' sederhana (poligon yang memiliki ''<math>n</math>'' sisi) dapat dipandang mempunyai <math>n-2</math> segitiga, sehingga jumlah dari masing-masing sudut sama dengan π radian atau 180 derajat. Ukuran dari sebarang sudut dalam dari segi-''<math>n</math>'' beraturan cembung bernilai <math>\left(1-\tfrac{2}{n}\right)\pi</math> radian atau <math>180-\tfrac{360}{n}</math> derajat. Sudut dalam dari [[poligon bintang]] beraturan pertama kali dipelajari oleh Poinsot. Pada makalah tersebut, Poinsot menjelaskan empat [[Polihedron Kepler–Poinsot|polihedron bintang beraturan]] sebagai berikut: untuk sebuah segi-<math>\tfrac{p}{q}</math> (sebuah segi-<math>p</math> dengan kepadatan pusat <math>q</math>), maka masing-masing sudut dalam bernilai <math>\tfrac{\pi(p-2q)}{p}</math> radian atau <math>\tfrac{180(p-2q)}{p}</math> derajat.<ref>{{cite book|last=Kappraff|first=Jay|year=2002|url=https://books.google.com/books?id=vAfBrK678_kC&pg=PA256&dq=star+polygon|title=Beyond measure: a guided tour through nature, myth, and number|publisher=World Scientific|isbn=978-981-02-4702-7|page=258|url-status=live}}</ref>
* [[Sudut luar]]: Sudut luar adalah [[Sudut suplemen|suplemen]] dari sudut dalam. Ketika menggambar garis di suatu sisi segi-''<math>n</math>'' cembung, maka sudut "berputar" ke suatu titik sudut yang merupakan sudut luar. Dengan menggambarnya di seluruh sisi poligon akan membentuk satu [[Putaran (geometri)|putaran]] penuh, sehingga jumlah sudut luar harus bernilai 360°. Argumen ini dapat diperumum untuk poligon sederhana cekung, jika sudut luar yang berputar ke arah berlawanan dikurangi dari total putaran. Dengan menggambarkannya di keliling segi-<math>n</math>, maka jumlah dari sudut luar (dalam artian, jumlah total yang berputar di titik sudut) sama dengan kelipatan bilangan bulat <math>d</math> dari 360°, sebagai contoh: 720° untuk [[pentagram]] dan 0° untuk [[antiparallelogram]], dengan ''<math>d</math>'' adalah [[Densitas (politop)|densitas]] atau ''turning number'' dari poligon. Lihat pula [[orbit (dinamika)]].
=== Luas ===
Misalkan titik sudut dari poligon dinyatakan sebagai <math>(x_0, y_0), (x_1, y_1), \ldots, (x_{n - 1}, y_{n - 1})</math>. Penggunaan notasi {{math|1=(''x<sub>n</sub>'', ''y<sub>n</sub>'') = (''x''<sub>0</sub>, ''y''<sub>0</sub>)}} juga akan dipakai.
==== Poligon sederhana ====
{{Main|Rumus tali sepatu}}[[Berkas:Polygon vertex labels.svg|thumb|320px|right|Koordinat dari poligon non-cembung.]]
Jika poligon tidak berpotongan
<math display="block">A = \frac{1}{2} \sum_{i = 0}^{n - 1}( x_i y_{i + 1} - x_{i + 1} y_i) </math>
dengan <math>x_n = x_0</math> dan <math>y_n = y_0</math>. Luas dari poligon tersebut juga dapat menggunakan [[determinan]]<math display="block">16 L^{2} = \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=0}^{n-1} \begin{vmatrix} Q_{i,j} & Q_{i,j+1} \\
Q_{i+1,j} & Q_{i+1,j+1} \end{vmatrix} , </math>
dengan <math> Q_{i,j} </math> adalah jarak kuadrat di antara titik <math>(x_i, y_i)</math> dan <math>(x_j, y_j).</math><ref>B.Sz. Nagy, L. Rédey: Eine Verallgemeinerung der Inhaltsformel von Heron. Publ.
Math. Debrecen 1, 42–50 (1949)</ref><ref>{{cite web|last=Bourke|first=Paul|date=Juli 1988|title=Calculating The Area And Centroid Of A Polygon|url=http://www.seas.upenn.edu/~sys502/extra_materials/Polygon%20Area%20and%20Centroid.pdf|work=|publisher=|archive-url=https://web.archive.org/web/20120916104133/http://www.seas.upenn.edu/~sys502/extra_materials/Polygon%20Area%20and%20Centroid.pdf|archive-date=2012-09-16|dead-url=yes|accessdate=6 Feb 2013}}</ref>
Luas bertanda bergantung pada orde dari titik sudut dan orde dari [[orientasi (ruang vektor)|orientasi]] bidang. Secara umum, orientasi bernilai positif didefinisikan dengan memutar (ke lawan arah jarum jam) yang memetakan sumbu-<math>x</math> positif ke sumbu-<math>y</math> positif. Luas bertanda akan positif jika titik sudut diorde ke lawan arah jarum jam (dalam artian, berdasarkan orientasi bernilai positif), dan begitupula untuk kebalikannya, sehingga dengan demikian, rumus untuk luas poligon benar dalam [[nilai absolut|nilai mutlak]]. Rumus ini umum dikenal sebagai [[rumus tali sepatu]] atau ''surveyor's formula'' ({{Lang-id|rumus surveyor}}).<ref>{{cite journal|author=Bart Braden|year=1986|title=The Surveyor's Area Formula|url=http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma063.pdf|journal=The College Mathematics Journal|volume=17|issue=4|pages=326–337|doi=10.2307/2686282|archive-url=https://web.archive.org/web/20121107190918/http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma063.pdf|archive-date=2012-11-07}}</ref>
Luas <math>A</math> dari poligon sederhana juga dapat dihitung jika diketahui panjang sisi <math>a_1,a_2,\dots,a_n</math> dan [[sudut luar]] <math>\theta_1,\theta_2,\dots,\theta_n</math>, dari
<math display="block">A = \frac12 (a_1[a_2 \sin(\theta_1) + a_3 \sin(\theta_1 + \theta_2) + \cdots + a_{n-1} \sin(\theta_1 + \theta_2 + \cdots + \theta_{n-2})]
{} + a_2[a_3 \sin(\theta_2) + a_4 \sin(\theta_2 + \theta_3) + \cdots + a_{n-1} \sin(\theta_2 + \cdots + \theta_{n-2})]
{} + \cdots + a_{n-2}[a_{n-1} \sin(\theta_{n-2})]).</math>
Rumus ini dijelaskan oleh Lopshits pada tahun 1963.<ref name="lopshits">{{cite book|author=A.M. Lopshits|year=1963|title=Computation of areas of oriented figures|publisher=D C Heath and Company: Boston, MA|url-status=live}}</ref>
Jika poligon dapat digambarkan di sebuah kisi yang berjarak sama, sehingga semua titik sudut adalah titik kisi, maka [[teorema Pick]] memberikan rumus sederhana untuk luas poligon berdasarkan jumlah titik kisi di dalam maupun di batas poligon, yang mengatakan: luas poligon sama dengan jumlah titik bilangan bulat di dalam poligon ditambah dengan setengah dari jumlah titik bilangan bulat di batas poligon, yang kemudian dikurangi 1.
Setiap poligon dengan keliling <math>p</math> dan luas <math>A</math>'','' berlaku [[pertidaksamaan isoperimetrik]] <math>p^2 > 4\pi A</math>.<ref>[http://forumgeom.fau.edu/FG2002volume2/FG200215.pdf Dergiades, Nikolaos, "An elementary proof of the isoperimetric inequality", ''Forum Mathematicorum'' 2, 2002, 129–130.]</ref>
Untuk dua poligon sederhana yang luasnya sama, [[teorema Bolyai–Gerwien]] mengatakan bahwa poligon pertama dapat dipotong menjadi potongan poligonal yang dapat disatukan kembali untuk membentuk poligon kedua.<!--Panjang sisi poligon secara umum tidak menentukan luasnya.<ref>Robbins, "Polygons inscribed in a circle," ''American Mathematical Monthly'' 102, June–July 1995.</ref> Akan tetapi, jika poligon berupa siklik, maka sisinya yang menentukan luas.<ref>{{cite journal|last=Pak|first=Igor|authorlink=Igor Pak|doi=10.1016/j.aam.2004.08.006|issue=4|journal=[[Advances in Applied Mathematics]]|mr=2128993|pages=690–696|title=Area poligon siklik: kemajuan terbaru pada dugaan Robbins|volume=34|year=2005|arxiv=math/0408104}}</ref> Jadi, luas terbesar di antara semua <math>n</math>-gon jika panjang sisinya diketahui adalah poligon siklik, dan luas terbesar di antara semua <math>n</math>-gon jika kelilingnya diketahui adalah poligon beraturan (and therefore cyclic).<ref>Chakerian, G. D. "A Distorted View of Geometry." Ch. 7 in ''Mathematical Plums'' (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979: 147.</ref>-->
==== Poligon beraturan ====
Terdapat banyak rumus khusus yang dipakai untuk luas [[poligon beraturan]]. Sebagai contoh, luas poligon beraturan dirumuskan dengan menggunakan jari-jari <math>r</math> (atau lebih tepatnya, [[apotema]]) dari [[lingkaran dalam]] dan keliling poligon<math display="block">A = \frac{1}{2} \cdot p \cdot r.</math>Luas segi-<math>n</math> beraturan dengan jari-jari <math>R</math> dari [[lingkaran luar]] dapat dinyatakan dengan menggunakan trigonometri:<ref>[https://www.mathopenref.com/polygonregularareaderive.html Area of a regular polygon - derivation] from Math Open Reference.</ref><ref>Sebuah poligon beraturan yang mempunyai jumlah sisi yang tak terhingga merupakan sebuah lingkaran:<math display="block">\lim_{n \to +\infty} R^2 \cdot \frac{n}{2} \cdot \sin \frac{2\pi}{n} = \pi \cdot R^2.</math></ref><math display="block">A = R^2 \cdot \frac{n}{2} \cdot \sin \frac{2\pi}{n} = R^2 \cdot n \cdot \sin \frac{\pi}{n} \cdot \cos \frac{\pi}{n}</math>Luas segi-<math>n</math> beraturan di dalam lingkaran berjari-jari satuan, dengan sisi <math>s</math> dan sudut dalam <math>\alpha</math>, juga dapat dinyatakan dengan menggunakan trigonometri:<math display="block">A = \frac{ns^{2}}{4}\cot \frac{\pi}{n} = \frac{ns^{2}}{4}\cot\frac{\alpha}{n-2} = n \cdot \sin \frac{\alpha}{n-2} \cdot \cos \frac{\alpha}{n-2}.</math><!--
<!--====Self-intersecting====
The area of a [[Complex polygon|self-intersecting polygon]] can be defined in two different ways, giving different answers:
Baris 106 ⟶ 84:
* Considering the enclosed regions as point sets, we can find the area of the enclosed point set. This corresponds to the area of the plane covered by the polygon or to the area of one or more simple polygons having the same outline as the self-intersecting one. In the case of the cross-quadrilateral, it is treated as two simple triangles.{{citation needed|date=February 2019}}-->
===
<math display="block">C_x = \frac{1}{6 A} \sum_{i = 0}^{n - 1} (x_i + x_{i + 1}) (x_i y_{i + 1} - x_{i + 1} y_i), </math><math display="block">C_y = \frac{1}{6 A} \sum_{i = 0}^{n - 1} (y_i + y_{i + 1}) (x_i y_{i + 1} - x_{i + 1} y_i).</math>
Pada kedua rumus tersebut, nilai bertanda dari luas <math>A</math> harus digunakan.<!--For [[triangle]]s ({{math|1=''n'' = 3}}), the centroids of the vertices and of the solid shape are the same, but, in general, this is not true for {{math|''n'' > 3}}. The [[centroid]] of the vertex set of a polygon with {{mvar|n}} vertices has the coordinates
:<math>c_x=\frac 1n \sum_{i = 0}^{n - 1}x_i,</math>
:<math>c_y=\frac 1n \sum_{i = 0}^{n - 1}y_i.</math>-->
== Perumuman ==
Gagasan dari poligon diperumum melalui berbagai cara. Ada beberapa perumuman dari poligon yang lebih penting, di antaranya:
* [[Poligon bola]] adalah poligon yang mempunyai sirkuit dari busur lingkaran besar (yakni, sisi) dan titik sudut pada permukaan bola. Hal ini memungkinkan [[digon]], poligon yang hanya memiliki dua sisi dan dua titik sudut, yang tidak mungkin dilakukan pada bidang datar. Poligon bola memainkan peran penting dalam [[kartografi]] (pembuatan peta) dan dalam [[konstruksi Wythoff]] dari [[polihedron seragam]].
* [[Poligon pencong]] tidak terletak di bidang datar, melainkan di garis zigzag dalam dimensi tiga atau lebih. [[Poligon Petrie]] dari politop beraturan adalah contoh yang terkenal.
* [[Apeirogon]] adalah sebuah poligon yang mempunyai barisan tak hingga dari sisi dan sudut. Barisan tersebut tidak tertutup tetapi tidak punyai titik akhir, sebab barisan tersebut secara tak langsung memperluas ke dua arah.
* [[Apeirogon pencong]] adalah sebuah poligon yang mempunyai barisan tak hingga dari sisi dan sudut yang tidak terletak di sebuah bidang datar.
* [[Politop kompleks|Poligon kompleks]] adalah sebuah [[konfigurasi (politop)|konfigurasi]] yang mirip seperti poligon biasa. Yang membedakannya adalah poligon ini berada di [[bidang kompleks]] dari dua dimensi [[bilangan real]] dan dua dimensi [[bilangan imajiner]].
* [[Politop abstrak|Poligon abstrak]] adalah [[himpunan terurut parsial]] aljabar yang mewakili berbagai elemen (seperti sisi, titik sudut, dsb.) serta keterhubungannya. Sebuah poligon geometri real dikatakan sebagai ''realisasi'' dari poligon abstrak iring.
* [[Polihedron]] adalah benda padat dimensi tiga yang dibatasi oleh muka poligonal datar, mirip seperti poligon dalam dimensi dua yang dibatasi oleh sisi, Bentuk yang korespondensi dalam dimensi empat atau lebih disebut sebagai [[politop]].<ref>Coxeter (3rd Ed 1973)</ref>
==
Kata ''poligon'' diambil dari [[bahasa Latin]] ''polygōnum'', bahasa Yunani πολύγωνον (''polygōnon/polugōnon'', yang berarti "sudut banyak". Pemberian nama pada masing-masing poligon disesuaikan dengan jumlah sisi, dan gabungan dari [[awalan bilangan]] dalam [[bahasa Yunani]] dan akhiran -gon, sebagai contoh ''[[pentagon]]'' (mempunyai lima sisi), ''[[dodekagon]]'' (mempunyai dua belas sisi). Akan tetapi, terdapat pengecualian untuk penamaan tersebut seperti ''[[nonagon]]''.
Penamaan ini juga dilakukan tanpa menggunakan kata serapan dari bahasa Latin maupun bahasa Yunani. Pemberian nama pada masing-masing poligon ditulis dari kata "segi-" dan jumlah sisi melalui angka. Sebagai contoh, ''[[segitiga]]'' (mempunyai tiga sisi), ''[[segi empat]]'' (mempunyai empat sisi).
Untuk bilangan yang lebih besar, [[matematikawan]] biasanya menulis dengan menggunakan notasi numerik, atau dalam artian menggunakan [[angka]]. Sebagai contoh, segi-17 (atau segi tujuh belas) dan segi-257.
{| class="wikitable"
|-
!Penamaan dengan menggunakan kata awalan "segi-"
! Penamaan dengan menggunakan kata serapan !! Jumlah sisi
|-
| -
| [[henagon]] (atau monogon) || 1
|-
| -
| [[digon]] || 2
|-
|[[segitiga]]
| trigon || 3
|-
|
| tetragon |-
|
| pentagon |-
|[[segi enam]]
| [[heksagon]] (atau seksagon) || 6
|-
|[[segi tujuh]]
|[[Segi tujuh|heptagon]] (atau septagon) || 7
|-
|[[segi delapan]]
|[[Segi delapan|oktagon]]|| 8
|-
|[[segi sembilan]]
|[[Segi sembilan|nonagon]] (atau [[enneagon]]) || 9
|-
|[[segi sepuluh]]
|[[Segi sepuluh|dekagon]]|| 10
|-
|segi sebelas
| [[hendekagon]] atau undekagon || 11
|-
|segi dua belas
| [[dodekagon]] atau (duodekagon)|| 12
|-
| rowspan="19" |
| [[tridekagon]] atau triskaidekagon || 13
|-
| [[tetradekagon]] atau
|-
| [[pentadekagon]] (atau
|-
| [[heksadekagon]] atau
|-
| [[heptadekagon]] atau
|-
| [[oktadekagon]] atau
|-
| [[enneadekagon]] (atau
|-
| [[ikosagon]] || 20
Baris 180 ⟶ 171:
| [[tetrakontagon]] ||40
|-
|
|-
|
|-
|
|-
|
|-
|
|-
|
|-
|
|-
|
|-
| [[
|}
Poligon yang mempunyai jumlah sisi yang lebih dari 20 dan kurang dari 100 dinamakan dengan menggunakan awalan kata nama.<ref name="namingpolygons2">{{cite book|last=Salomon|first=David|date=2011|url=https://books.google.com/books?id=DX4YstV76c4C&pg=PA90|title=The Computer Graphics Manual|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-85729-886-7|pages=88–90}}</ref> Kata "kai" dapat dipakai untuk segi-13 dan poligon yang lebih tinggi darinya. Penggunaan kata "kai" dipakai oleh [[Johannes Kepler|Kepler]], dan kemudian [[John H. Conway|Conway]] memperkenalkan penggunaan kata tersebut untuk menjelaskan awalan bilangan yang digabungkan dalam penamaan [[polihedron kuasiberaturan]].<ref name="drmath">{{cite web|title=Naming Polygons and Polyhedra|url=http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.polygon.names.html|work=Ask Dr. Math|publisher=The Math Forum–Drexel University|access-date=3 May 2015}}</ref> Meskipun demikian, banyak sumber yang tidak memakai kata tersebut.
{| class="wikitable" style="vertical-align:center;"
|- style="text-align:center;"
! colspan="2" rowspan="2" | Angka
! ''dan''
! colspan="2" | Angka
! Imbuhan
|-
! rowspan="9" | -kai-
| 1
| -hena-
! rowspan="9" | -gon
|-
| 20 || icosa- || 2 || -di-
Baris 231 ⟶ 218:
|-
| 90 || enneaconta- || 9 || -ennea-
|}
== Sejarah ==
[[Berkas:Fotothek df tg 0003352 Geometrie ^ Dreieck ^ Viereck ^ Vieleck ^ Winkel.jpg|jmpl|Gambar bersejarah tentang poligon (1699)]]
Poligon telah lama dikenal sejak zaman dahulu. Poligon beraturan dipelajari orang [[Yunani kuno]]. [[Pentagram]], sebuah poligon beraturan non-[[cembung]] ([[poligon bintang]]), ditemukan di [[krater]] Aristophonus, sebuah wadah yang ditemukan Caere, dan saat ini berada di [[Museum Capitolini]].<ref>{{citation|title=A History of Greek Mathematics, Volume 1|first=Sir Thomas Little|last=Heath|author-link=Thomas Little Heath|publisher=Courier Dover Publications|year=1981|isbn=978-0-486-24073-2|page=162|url=https://books.google.com/books?id=drnY3Vjix3kC&pg=PA162}}. Reprint of original 1921 publication with corrected errata. Heath uses the Latinized spelling "Aristophonus" for the vase painter's name.</ref><ref>[http://en.museicapitolini.org/collezioni/percorsi_per_sale/museo_del_palazzo_dei_conservatori/sale_castellani/cratere_con_l_accecamento_di_polifemo_e_battaglia_navale Cratere with the blinding of Polyphemus and a naval battle] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20131112080845/http://en.museicapitolini.org/collezioni/percorsi_per_sale/museo_del_palazzo_dei_conservatori/sale_castellani/cratere_con_l_accecamento_di_polifemo_e_battaglia_navale|date=2013-11-12}}, Castellani Halls, Capitoline Museum, accessed 2013-11-11. Terdapat dua pentagram yang terlihat di dekat pusat gambar.</ref>
Kajian tentang poligon non-cembung dimulai oleh [[Thomas Bradwardine]] yang hidup pada abad ke-14.<ref>Coxeter, H.S.M.; ''Regular Polytopes'', 3rd Edn, Dover (pbk), 1973, p.114</ref>
Pada tahun 1952, [[Geoffrey Colin Shephard]] memperumum gagasan tentang poligon bidang kompleks, dengan masing-masing dimensi [[Bilangan riil|real]] disertai dengan dimensi [[Bilangan imajiner|imaginer]], untuk membangun [[Politipe kompleks|poligon kompleks]].<ref>Shephard, G.C.; "Regular complex polytopes", ''Proc. London Math. Soc.'' Series 3 Volume 2, 1952, pp 82-97</ref>
{{Clear}}
== Referensi ==
{{Reflist}}
| |||