Poligon: Perbedaan antara revisi

[[Berkas:Assorted polygons.svg|jmpl|Berbagai macam poligon|400x400px]]Dalam [[geometri]], '''poligon''' atau '''segi banyak''' adalah bangun datar yang digambarkan dengan jumlah terhingga dari [[Garis (geometri)|garis]] lurus yang terhubung, sehingga membentuk sebuah [[Rantairantai poligon|rantai poligonal]]al (atau sirkuit poligonal) yang tertutup.

Ruas garis dari sirkuit poligonal disebut sebagai [[Sisi (geometri)|sisi]]. Perpotongan dari dua sisi pada poligon dikenal sebagai [[titik pojoksudut]]. '''Segi-''n''''' adalah sebuah poligon yang mempunyai <math>n</math> sisi, contohnya, segi-3 ([[segitiga]]).

* Poligon [[poligon cembung|konveks]] atau [[poligon cembung|cembung]]: sebarang garis yang ditarik melalui poligon (dan tidak menyinggung sisi atau titik pojoksudut) akan bertemu ke batas poligon, tepatnya dua. Akibatnya, semua sudut dalam kurang dari 180°. Dengan kata lain, untuk sebarang ruas garis dengan titik akhir di batas poligon, hanya akan melewati titik dalam di sekitar titik akhir.

* [[Poligon sama sudut]]: semua sudut di titik pojoksudut adalah sama.

* '''[[Sudut dalam]]''' –: Jumlah dari sudut dalam segi-<math>n</math> sederhana sama dengan <math>(n-2) \times \pi</math> [[radian]] (atau dalam bentuk [[derajat (sudut)|derajat]], <math>(n-2) \times 180^\circ</math>). Ini dikarenakan sebarang segi-''<math>n</math>'' sederhana (poligon yang memiliki ''<math>n</math>'' sisi) dapat dipandang mempunyai <math>n-2</math> segitiga, sehingga jumlah dari masing-masing sudut sama dengan π radian atau 180 derajat. Ukuran dari sebarang sudut dalam dari segi-''<math>n</math>'' beraturan cembung bernilai <math>\left(1-\tfrac{2}{n}\right)\pi</math> radian atau <math>180-\tfrac{360}{n}</math> derajat. Sudut dalam dari [[poligon bintang]] beraturan pertama kali dipelajari oleh Poinsot. Pada makalah tersebut, Poinsot menjelaskan empat [[Polihedron Kepler–Poinsot|polihedron bintang beraturan]] sebagai berikut: untuk sebuah segi-<math>\tfrac{p}{q}</math> (sebuah segi-<math>p</math> dengan kepadatan pusat <math>q</math>), maka masing-masing sudut dalam bernilai <math>\tfrac{\pi(p-2q)}{p}</math> radian atau <math>\tfrac{180(p-2q)}{p}</math> derajat.<ref>{{cite book|last=Kappraff|first=Jay|year=2002|url=https://books.google.com/books?id=vAfBrK678_kC&pg=PA256&dq=star+polygon|title=Beyond measure: a guided tour through nature, myth, and number|publisher=World Scientific|isbn=978-981-02-4702-7|page=258|url-status=live}}</ref>

* '''[[Sudut luar]]''' –: Sudut luar adalah [[Sudut suplemen|suplemen]] dari sudut dalam. Ketika menggambar garis di suatu sisi segi-''<math>n</math>'' cembung, maka sudut "berputar" ke suatu titik pojoksudut yang merupakan sudut luar. Dengan menggambarnya di seluruh sisi poligon akan membentuk satu [[Putaran (geometri)|putaran]] penuh, sehingga jumlah sudut luar harus bernilai 360°. Argumen ini dapat diperumum untuk poligon sederhana cekung, jika sudut luar yang berputar ke arah berlawanan dikurangi dari total putaran. Dengan menggambarkannya di keliling segi-<math>n</math>, maka jumlah dari sudut luar (dalam artian, jumlah total yang berputar di titik pojoksudut) sama dengan kelipatan bilangan bulat <math>d</math> dari 360°, sebagai contoh: 720° untuk [[pentagram]] dan 0° untuk [[antiparallelogram]], dengan ''<math>d</math>'' adalah [[Densitas (politop)|densitas]] atau ''turning number'' dari poligon. Lihat pula [[orbit (dinamika)]].

Misalkan titik pojoksudut dari poligon dinyatakan sebagai <math>(x_0, y_0), (x_1, y_1), \ldots, (x_{n - 1}, y_{n - 1})</math>. Penggunaan notasi {{math|1=(''x_n'', ''y_n'') = (''x''₀, ''y''₀)}} juga akan dipakai.

Luas bertanda bergantung pada orde dari titik pojoksudut dan orde dari [[orientasi (ruang vektor)|orientasi]] bidang. Secara umum, orientasi bernilai positif didefinisikan dengan memutar (ke lawan arah jarum jam) yang memetakan sumbu-<math>x</math> positif ke sumbu-<math>y</math> positif. Luas bertanda akan positif jika titik pojoksudut diorde ke lawan arah jarum jam (dalam artian, berdasarkan orientasi bernilai positif), dan begitupula untuk kebalikannya, sehingga dengan demikian, rumus untuk luas poligon benar dalam [[nilai absolut|nilai mutlak]]. Rumus ini umum dikenal sebagai [[rumus tali sepatu]] atau ''surveyor's formula'' ({{Lang-id|rumus surveyor}}).<ref>{{cite journal|author=Bart Braden|year=1986|title=The Surveyor's Area Formula|url=http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma063.pdf|journal=The College Mathematics Journal|volume=17|issue=4|pages=326–337|doi=10.2307/2686282|archive-url=https://web.archive.org/web/20121107190918/http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma063.pdf|archive-date=2012-11-07}}</ref>

<math display="block">A = \frac12 ( a_1[a_2 \sin(\theta_1) + a_3 \sin(\theta_1 + \theta_2) + \cdots + a_{n-1} \sin(\theta_1 + \theta_2 + \cdots + \theta_{n-2})]

{} + \cdots + a_{n-2}[a_{n-1} \sin(\theta_{n-2})] ).</math>

Jika poligon dapat digambarkan di sebuah kisi yang berjarak sama, sehingga semua titik pojoksudut adalah titik kisi, maka [[teorema Pick]] memberikan rumus sederhana untuk luas poligon berdasarkan jumlah titik kisi di dalam maupun di batas poligon, yang mengatakan: luas poligon sama dengan jumlah titik bilangan bulat di dalam poligon ditambah dengan setengah dari jumlah titik bilangan bulat di batas poligon, yang kemudian dikurangi 1.

Dengan menggunakan konvensi yang sama untuk koordinat titik pojoksudut seperti di bagian sebelumnya, koordinat dari pusat massa dari poligon sederhana padat dirumuskan sebagai

* [[Poligon bola]] adalah poligon yang mempunyai sirkuit dari busur lingkaran besar (yakni, sisi) dan titik pojoksudut pada permukaan bola. Hal ini memungkinkan [[digon]], poligon yang hanya memiliki dua sisi dan dua titik pojoksudut, yang tidak mungkin dilakukan pada bidang datar. Poligon bola memainkan peran penting dalam [[kartografi]] (pembuatan peta) dan dalam [[konstruksi Wythoff]] dari [[polihedron seragam]].

* [[Politop abstrak|Poligon abstrak]] adalah [[himpunan terurut parsial]] aljabar yang mewakili berbagai elemen (seperti sisi, titik pojoksudut, dsb.) serta keterhubungannya. Sebuah poligon geometri real dikatakan sebagai ''realisasi'' dari poligon abstrak iring.

Kata ''poligon'' diambil dari [[bahasa Latin]] ''polygōnum'', bahasa Yunani πολύγωνον (''polygōnon/polugōnon'', yang berarti "sudut banyak". Pemberian nama pada masing-masing poligon disesuaikan dengan jumlah sisi, dan gabungan dari [[awalan bilangan]] dalam [[bahasa Yunani]] dan akhiran -gon, sebagai contoh ''[[pentagon|]]''pentagon'']] (mempunyai lima sisi), ''[[dodekagon|]]''dodekagon'']] (mempunyai dua belas sisi). Akan tetapi, terdapat pengecualian untuk penamaan tersebut seperti ''[[nonagon]]''.

Poligon yang mempunyai jumlah sisi yang lebih dari 20 dan kurang dari 100 dinamakan dengan menggunakan awalan kata nama.<ref name="namingpolygons2">{{cite book|last=Salomon|first=David|date=2011|url=https://books.google.com/books?id=DX4YstV76c4C&pg=PA90|title=The Computer Graphics Manual|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-85729-886-7|pages=88–90}}</ref> Kata "kai" dapat dipakai untuk segi-13 dan poligon yang lebih tinggi darinya. Penggunaan kata "kai" dipakai oleh [[Johannes Kepler|Kepler]], dan kemudian [[John H. Conway|Conway]] memperkenalkan penggunaan kata tersebut untuk menjelaskan awalan bilangan yang digabungkan dalam penamaan [[polihedron kuasiberaturan]].<ref name="drmath">{{cite web|title=Naming Polygons and Polyhedra|url=http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.polygon.names.html|work=Ask Dr. Math|publisher=The Math Forum – DrexelForum–Drexel University|access-date=3 May 2015}}</ref> Meskipun demikian, banyak sumber yang tidak memakai kata tersebut.

[[Berkas:Fotothek df tg 0003352 Geometrie %5E^ Dreieck %5E^ Viereck %5E^ Vieleck %5E^ Winkel.jpg|jmpl|Gambar bersejarah tentang poligon (1699)]]