Kekisi lengkap: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tag: Pengembalian manual Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
k pembersihan kosmetika dasar |
||
| (4 revisi perantara oleh 4 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
Dalam [[matematika]], '''kisi lengkap''' adalah himpunan yang [[Infimum dan supremum|tersusun]] [[Himpunan berurutan sebagian|sebagian]] di mana ''semua'' himpunan bagian memiliki [[Infimum dan supremum|supremum]] (gabung) dan [[Infimum dan supremum|infimum]] (pertemuan). Kisi lengkap pada aplikasi dalam matematika dan [[ilmu komputer]]. Sebagai contoh khusus dari [[Kisi (order)|kisi]], dengan [[Teori order|teori urutan]] dan [[aljabar universal]].
Kisi kompleks tidak disamakan dengan [[urutan parsial kompleks]] ( ''CPO'' ), yang merupakan kelas umum dari urutan himpunan sebagian. Kisi kompleks spesifik adalah [[Aljabar Boolean kompleks|aljabar Boolean]] [[Aljabar kompleks Heyting|kompleks]] dan [[Lengkapi aljabar Heyting|aljabar Heyting kompleks]] ( ''lokal'' ).
Baris 6 ⟶ 5:
== Definisi formal ==
[[Himpunan berurutan sebagian|Himpunan sebagian sebagian]] ''(L,'' ≤) adalah ''kisi kompleks'' jika [[Himpunan bagian|bagian]] ''A'' dari ''L'' dari kedua [[Infimum dan supremum|infimum]] (juga disebut ''ketemu)'' dan [[Infimum dan supremum|supremum]] (juga disebut ''bergabung)'' di ( ''L'', ≤).
''Bertemu'' dilambangkan dengan <math>\bigwedge A</math>, dan ''bergabung'' oleh <math>\bigvee A</math>.
Perhatikan bahwa dalam kasus khusus di mana ''A'' adalah [[himpunan kosong]], pertemuan ''A'' akan menjadi [[Elemen terbesar|elemen]] ''L terbesar''. Demikian pula, gabungan dari himpunan kosong menghasilkan [[elemen terkecil]] . Karena definisi tersebut juga memastikan pertemuan dan gabungan biner, kisi kompleks membentuk kelas khusus [[Kisi (order)|kisi berbatas]].
Implikasi lebih lanjut dari definisi di atas dibahas dalam artikel tentang [[Kompleks (teori order)|sifat kompleks]] dalam teori urutan.
Baris 18 ⟶ 14:
=== Semikisi kompleks ===
Dalam teori urutan, pertemuan arbitrer dapat diekspresikan dalam bentuk gabungan arbitrer (untuk detailnya, lihat [[kompleks (teori order)]]). Maka, berarti untuk pertemuan atau gabungan untuk kelas dari kisi kompleks.
Maka, penulis menggunakan istilah ''complete [[Semikisi bertemu|meet-semilattice]]'' atau ''complete [[Semikisi gabungan|join-semilattice]]'' sebagai cara lain untuk merujuk ke kisi kompleks. Meskipun serupa pada objek, istilah tersebut memerlukan pengertian [[Homomorfisma|homomorfisme]] berbeda, seperti dijelaskan bagian morfisme di bawah ini.
Penulis tidak menggunakan perbedaan morfisme (terutama konsep dari "morfisme semikisi kompleks" ditentukan secara umum). Maka, ''meet-semilattices kompleks'' didefinisikan sebagai [[Semikisi bertemu|meet-semilattices]] merupakan [[Urutan parsial kompleks|pesanan parsial lengkap]] . Konsep tersebut adalah gagasan "kompleks" dari semikisi-pertemuan yang belum menjadi kisi (pada kenyataannya, hanya elemen teratas yang bisa dihilangkan). Diskusi ini juga ditemukan di artikel semikisi.
Baris 27 ⟶ 21:
=== Kisi bagian kompleks ===
Kisi bagian ''M'' dari kisi kompleks ''L'' disebut kisi bagian ''kompleks'' ''L'' jika untuk himpunan bagian ''A'' dari ''M'' elemen <math>\bigwedge A</math> dan <math>\bigvee A</math>, sebagai definisi dalam ''L'', maka dalam ''M.'' <ref>Burris, Stanley N., and H.P. Sankappanavar, H. P., 1981. ''[http://www.thoralf.uwaterloo.ca/htdocs/ualg.html A Course in Universal Algebra.]'' Springer-Verlag. {{ISBN|3-540-90578-2}} (A monograph available free online).</ref>
Jika di atas dikurangi sehingga hanya pertemuan tidak kosong dan gabungan ''L'', kisi bagian ''M'' disebut ''kisi bagian tertutup'' dari ''M.''
Baris 36 ⟶ 29:
* [[Himpunan pangkat|Himpunan daya]] dari [[Himpunan pangkat|himpunan]], diurutkan dengan [[Himpunan bagian|penyertaan]]. Supremum dari [[Gabungan (teori himpunan)|gabungan]] dan minimal dari [[Irisan (teori himpunan)|irisan]] himpunan bagian.
* [[Interval satuan]] [0,1] dan [[Garis bilangan real ekstensi|garis bilangan real]], dengan urutan total dikenal serta [[Infimum dan supremum|suprema]] dan [[Infimum dan supremum|infima biasa]]. Maka, himpunan dari total (dengan [[Urutan topologi|topologi]]) adalah [[Ruang kompak|kompak]] sebagai [[ruang topologi]] jika lengkap sebagai kisi.
* [[Bilangan bulat]] non-negatif, diurutkan berdasarkan [[
* Subgrup dari grup tertentu dalam inklusi. (Sementara [[Infimum dan supremum|infimum]] adalah potongan teori-himpunan biasa, [[Infimum dan supremum|supremum]] dari himpunan subgrup adalah subgrup ''dihasilkan'' dari satuan teori-himpunan dari subgrup, bukan satuan teori-himpunan). Jika ''e'' adalah identitas dari ''G'', maka grup trivial { ''e'' } adalah subgrup [[Himpunan berurutan sebagian|minimum]] dari ''G'', sedangkan subgrup [[Himpunan berurutan sebagian|maksimum]] adalah grup ''G''.
* Submodul [[Modul (matematika)|modul]], diurutkan berdasarkan penyertaan. Supremum dari jumlah submodul dan infimum oleh persimpangan.
Baris 55 ⟶ 48:
* <math>f\left(\bigwedge A\right) = \bigwedge\{f(a)\mid a\in A\}</math> dan
* <math>f\left(\bigvee A\right) = \bigvee\{f(a)\mid a\in A\}</math>
untuk himpunan bagian ''A'' dari ''L.'' Fungsi [[Fungsi monotonik|monotonik]] menjadi homomorfisme kompleks sebenarnya jauh lebih spesifik. Untuk alasan, akan berguna untuk mempertimbangkan pengertian morfisme lemah, hanya diperlukan untuk mempertahankan gabungan ([[Kategori (matematika)|kategori]] '''Sup''') atau semua pertemuan (kategori '''Inf'''), merupakan kondisi yang tidak setara. Gagasan tersebut dianggap sebagai homomorfisme meet-semilattices lengkap atau complete join-semilattices.
Baris 62 ⟶ 55:
Seperti biasa, konstruksi [[objek bebas]] bergantung pada kelas morfisme yang dipilih. Maka pertimbangkan dulu fungsi semua gabungan (yaitu adjoin yang lebih rendah dari koneksi Galois), karena kasus ini lebih sederhana dari situasi untuk homomorfisme kompleks. Menggunakan terminologi yang disebutkan di atas, ini bisa disebut sebagai ''join-semilattice kompleks bebas''.
Menggunakan definisi standar dari [[aljabar universal]], kisi kompleks bebas di atas himpunan pembangkit ''S'' adalah kisi kompleks ''L'' dengan fungsi ''i'' : ''S'' → ''L'', sehingga fungsi ''f'' dari ''S'' ke himpunan yang mendasari beberapa kisi kompleks M dapat ''difaktorkan secara unik'' melalui morfisme ''f'' ° dari ''L'' ke ''M.'' Dinyatakan secara berbeda, untuk elemen ''s'' dari ''S'' bahwa ''f'' ( ''s'' ) = ''f'' ° ( ''i'' ( ''s'' )) dan ''f'' ° adalah morfisme dengan sifat. Pada dasarnya sama dengan funktor dari kategori himpunan dan fungsi ke kategori kisi lengkap dan fungsi menjaga gabungan yang [[Funktor adjoin|dibiarkan berdampingan]] dengan [[funktor fogetful]] dari kisi lengkap ke
▲Menggunakan definisi standar dari [[aljabar universal]], kisi kompleks bebas di atas himpunan pembangkit ''S'' adalah kisi kompleks ''L'' dengan fungsi ''i'' : ''S'' → ''L'', sehingga fungsi ''f'' dari ''S'' ke himpunan yang mendasari beberapa kisi kompleks M dapat ''difaktorkan secara unik'' melalui morfisme ''f'' ° dari ''L'' ke ''M.'' Dinyatakan secara berbeda, untuk elemen ''s'' dari ''S'' bahwa ''f'' ( ''s'' ) = ''f'' ° ( ''i'' ( ''s'' )) dan ''f'' ° adalah morfisme dengan sifat. Pada dasarnya sama dengan funktor dari kategori himpunan dan fungsi ke kategori kisi lengkap dan fungsi menjaga gabungan yang [[Funktor adjoin|dibiarkan berdampingan]] dengan [[funktor fogetful]] dari kisi lengkap ke set yang mendasarinya.
Kisi kompleks bebas dalam pengertian dapat dibuat dengan: kisi kompleks yang dihasilkan oleh beberapa himpunan ''S'' [[Himpunan daya|pangkat]] 2 <sup>''S''</sup>, yaitu himpunan dari semua himpunan bagian ''S'', diurutkan berdasarkan [[Himpunan bagian|penyertaan]] himpunan bagian. Satuan yang digunakan ''i:'' ''S'' → 2 <sup>''S''</sup> memetakan setiap elemen ''s'' dari ''S'' ke tunggal himpunan ''{s}.'' Diketahui pemetaan ''f'' di atas, fungsi ''f'' °: 2 <sup>S</sup> → ''M'' ditentukan oleh
<math>f^\circ (X) = \bigvee \{ f(s) | s \in X \}</math>
Pertimbangan pula menghasilkan konstruksi bebas untuk morfisme pertemuan, bukan gabungan (yaitu sambungan atas dari sambungan Galois). Maka, [[Dualitas (teori order)|menggandakan]] dari objek bebas sebagai rangkaian pangkat yang diurutkan dengan inklusi terbalik, sehingga himpunan union menyediakan operasi meet, dan fungsi ''f'' ° didefinisikan dalam istilah meet, bukan join. Hasil dari konstruksi ini dapat disebut ''pertemuan semilattice lengkap bebas''. Kita juga harus memperhatikan bagaimana konstruksi gratis ini memperluas yang digunakan untuk mendapatkan [[Semikisi|semilattice bebas]], di mana kita hanya perlu mempertimbangkan himpunan hingga.
Baris 77 ⟶ 67:
== Lihat pula ==
* [[Kisi (order)|Kisi (urutan)]]
== Referensi ==
<references />
[[Kategori:Operasi prnutupan]]
[[Kategori:Teori kisi]]
| |||