Identitas Jacobi: Perbedaan antara revisi

[[Produk silang]] <math>a\times b</math> dan [[aljabar Lie|operasi braket Lie]] <math>[a,b]</math> keduanya memenuhi identitas Jacobi. Dalam [[mekanika analitik]], identitas Jacobi menggunakan [[tanda kurung Poisson]]. Dalam [[mekanika kuantum]], digunakan oleh operasi [[Komutator#Teori gelanggang|komutator]] dengan [[ruang Hilbert]] dan ekuivalen dalam [[formulasiperumusan ruang fase]] mekanika kuantum oleh [[braketkurung Moyalsiku]] Moyal.

:<math>x \times (y \times z) \ +\ z \times (x \times y) \ +\ y \times (z \times x)\ =\ 0 \quad \forall\ {x,y,z}\in A.</math>.

== Bentuk braketkurung siku komutator ==

Contoh informatif paling sederhana dari [[aljabar Lie]] digunakan gelanggang (asosiatif) <math>n\times n</math> matriks sebagai gerakan sangat kecil dari ruang vektor berdimensi-''n''. Operasi × ​​adalahadalah [[komutator]], yang mengukur kegagalan komutatif dalam perkalian matriks. Alih <math>X\times Y</math> sebagai notasi braketkurung siku Lie digunakan:

Lebih umum, jika '''A''' adalah aljabar asosiatif dan ''<math>V''</math> adalah subruang dari '''A''' yang ditutup di bawah operasi braketkurung siku: <math>[X,Y]=XY-YX</math> sebagai ''<math>V''</math> untuk semua <math>X,Y\in V</math>, identitas Jacobi tetap menggunakan ''V''.<ref>{{harvnb|Hall|2015}} Contoh 3.3</ref> Maka, jika operasi biner <math>[X,Y]</math> memenuhi identitas Jacobi dikatakan bahwa seolah-olah diberikan oleh <math>XY-YX</math> dalam beberapa aljabar asosiatif meskipun sebenarnya tidak didefinisikan seperti itu.

Jika <math>[X,Z]</math> adalah aksitindakan dari gerakan kecil ''X'' dengan ''Z'', dapat dinyatakan sebagai:

| AksiTindakan <math> ''Y'' </math> diikuti oleh ''<math> X'' </math> sebagai operasi <math>[X,[Y,\cdot\ ] ]</math>, minusdikurangi aksitindakan <math> ''X'' </math> diikuti oleh ''<math> Y'' </math> sebagai operasi <math>([Y,[X,\cdot\ ] ]</math>, sama dengan aksitindakan <math>[X,Y]</math> sebagai operasi <math>[ [X,Y],\cdot\ ]</math>.|sign=|source=}}

Lihat pula [[BraketKurung siku Lie bidang vektor]] dan [[rumus Baker–Campbell–Hausdorff]]

Contoh umum dari identitas Jacobi berasal dari perkalian braketkurung siku <math>[x,y]</math> dengan [[aljabar Lie]] dan [[gelanggang Lie]]. Identitas Jacobi ditulis sebagai:

: <math>[x,[y,z]] + [z,[x,y]] + [y,[z,x]] = 0.</math>.

Karena perkalian braketkurung siku adalah [[antikomutatif|antisimetris]], identitas Jacobi sebagai dua reformulasi yang setara. Mendefinisikan [[representasi adjoin dari aljabar Lie|operasi adjoin]] <math>\operatorname{ad}_x: y \mapsto [x,y]</math> sebagai:

:<math>\operatorname{ad}_x[y,z]=[\operatorname{ad}_xy,z]+[y,\operatorname{ad}_xz].</math>.

Dengan demikian, identitas Jacobi untuk aljabar Lie menyatakan bahwa aksitindakan elemen pada aljabar adalah [[turunan (aljabar abstrak)|turunan]]. Bentuk identitas Jacobi digunakan untuk mendefinisikan pengertian [[aljabar Leibniz]].

Penataan ulang lain menunjukkan bahwa identitas Jacobi setara dengan identitas berikut antara operator representasiwakilan adjoin:

Di sana, braketkurung siku di sisi kiri adalah operasi dari aljabar asli, tanda kurung di sebelah kanan adalah komutator dari komposisi operator, dan identitas menyatakan bahwa <math>\mathrm{ad}</math> peta untuk setiap elemen ke aksitindakan adjoin adalah [[aljabar Lie homomorfisme]].

[[Komutator# Identitas (teori grup)|Identitas Hall-WittHall–Witt]] adalah identitas analog untuk operasi [[komutator]] dalam [[grup (matematika)|grup]].

Identitas berikut mengikuti dari antikomutativitas dan identitas Jacobi dan berlaku dalam aljabar Lie arbitrarisembarang:<ref>{{cite arXiv

: <math>[x,[y,[z,w]]] + [y,[x,[w,z]]] + [z,[w,[x,y]]] + [w,[z,[y,x]]] = 0.</math>.

* [[Identitas daya Jacobi super]]

[[Kategori:Aljabar non-asosiatiftakasosiatif]]