Titik (geometri): Perbedaan antara revisi

▲== Titik di dalam geometri Euclidean ==

▲[[Berkas:ACP_3.svg|jmpl|Sehimpunan berhingga titik-titk (biru) di dalam [[ruang euclid]] dua dimensi.]]

▲Titik sering dipandang di dalam kerangka kerja [[geometri Euklides]], di mana ia adalah salah satu objek yang mendasar. [[Euclid]] mulanya mendefinisikan titik secara kabur, sebagai "yang tak memiliki bagian". Di dalam [[ruang Euclidean]] dua dimensi, titik dinyatakan oleh [[pasangan terurut]], <math>\, (x,y)</math>, bilangan, di mana bilangan pertama yang menurut [[konvensi (norma)|konvensi]] menyatakan [[horizontal]] dan sering dituliskan sebagai <math>\, x</math>, dan bilangan kedua secara konvensi menyatakan [[vertikal]] dan sering dituliskan sebagai <math>\, y</math>. Gagasan ini mudah diperumum ke dalam ruang Euclid tiga dimensi, di mana titik dinyatakan oleh pasangan terurut ganda-tiga, <math>\, (x,y,z)</math>, dengan bilangan tambahan ketiga menyatakan kedalaman dan diwakili oleh z. Perumumuman lebih lanjut dinyatakan oleh pasangan terurut ganda-n,<math>\, (a_1,a_2,...,a_n)</math> di mana n adalah dimensi ruang tempat titik berada.

▲Banyak objek yang dibangun di dalam geometri Euclid terdiri dari [[tak hingga]] banyaknya kumpulan titik-titik yang sesuai dengan aksioma-aksioma tertentu. Hal ini biasanya dinyatakan oleh [[himpunan (matematika)|himpunan]] titik-titik; misalnya, [[garis (geometri)|garis]] adalah himpunan tak hingga banyaknya titik-titik yang berbentuk <math>\, L = \lbrace (a_1,a_2,...a_n)|a_1c_1 + a_2c_2 + ... a_nc_n = d \rbrace </math>, di mana <math>\, c_1</math> melalui <math>\, c_n</math> dan <math>\, d</math> adalah konstanta dan n adalah dimensi ruang. Juga terdapat konstruksi-konstruksi serupa yang mendefinisikan [[bidang (geometri)|bidang]], [[ruas garis]], dan konsep-konsep lainnya yang saling berkaitan.

▲Meskipun gagasan tentang titik secara umum dipandang fundamental di dalam geometri dan topologi arus utama, tetapi terdapat beberapa sistem yang mendahuluinya, misalnya [[geometri nonkomutatif]] dan [[topologi bebas titik]]. “Ruang bebas titik” (atau ruang tanpa titik) didefinisikan bukan sebagai [[himpunan (matematika)|himpunan]], tetapi masing-masing melalui beberapa struktur ([[C*-aljabar|aljabar]] atau [[aljabar Heyting lengkap|logika]]) yang seperti ruang fungsi yang familiar pada himpunan itu: masing-masing sebuah aljabar dari [[fungsi kontinu]] atau [[aljabar himpunan]]. Lebih persisnya, struktur yang memperumum ruang familiar dari [[fungsi]] menurut suatu cara di mana operasi “mengambil nilai pada titik ini” dapat didefinisikan.