Titik (geometri): Perbedaan antara revisi

Konten dihapus Konten ditambahkan
Chobot (bicara | kontrib)
k r2.6.5) (bot Menambah: sn:Chimiso
InternetArchiveBot (bicara | kontrib)
Rescuing 1 sources and tagging 0 as dead.) #IABot (v2.0.9.3
 
(108 revisi perantara oleh 68 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 1:
{{disambiginfo|Titik (disambiguasi)}}Dalam [[geometri Euklides]], '''titik''' adalah suatu gagasan primitif yang memodelkan lokasi yang tepat di dalam [[Ruang Euklides|ruang]], serta tidak memiliki panjang, lebar, atau kedalaman.{{sfnp|Ohmer|1969|p=34–37}} Gagasan primitif pada konteks ini berarti bahwa suatu titik tidak dapat didefinisikan dalam objek yang didefinisikan sebelumnya, dalam artian bahwa titik hanya didefinisikan dengan beberapa [[aksioma]] yang harus terpenuhi. Titik dalam matematika yang modern lebih mengacu pada suatu [[Anggota (matematika)|anggota]] dari suatu [[Himpunan (matematika)|himpunan]] yang dikenal dengan sebutan [[Ruang (matematika)|ruang]].
Di dalam [[geometri]], [[topologi]], dan cabang-cabang matematika yang saling berkaitan, sebuah '''titik spasial''' menggambarkan objek yang spesifik di dalam ruang yang diberikan, yang tidak melibatkan [[volume]], [[luas]], [[panjang]], atau analog-analog lainnya pada [[dimensi]] yang lebih tinggi. Dengan demikian, titik adalah objek 0-dimensi. Karena sifatnya sebagai salah satu konsep geometri paling sederhana, ia sering digunakan di dalam satu bentuk atau bentuk lain sebagai konstituen dasar geometri, [[fisika]], [[gambar vektor]], dan banyak lapangan lainnya.
 
== '''Titik di dalam geometri Euclidean'''Euklides ==
[[Berkas:ACP_3.svg|thumbjmpl|SehimpunanSuatu himpunan berhingga dari titik-titk (biru) di dalam [[ruang euclidEuklides]] dua dimensi.]]
 
Titik, yang sering dipandang di dalam kerangka kerja [[geometri Euklides]], di mana ia adalahmerupakan salah satu objek yang paling mendasar. [[Euclid|Euklides]] mulanya mendefinisikan titik secara kabur, sebagai "objek yang taktidak memiliki bagian".{{sfnp|Heath|1956|p=153}} Di dalamDalam [[ruang EuclideanEuklides]] dua dimensi, titik dinyatakan olehsebagai [[pasangan terurut]], <math>\, (x,y)</math>,; bilangan, dipertama manapada bilanganpasangan pertama yangtersebut, menurut [[konvensi (norma)|konvensi]], menyatakan [[horizontal]] dan sering dituliskan sebagai <math>\, x</math>, dansementara bilangan kedua secara konvensi menyatakan [[vertikal]] dan sering dituliskan sebagai <math>\, y</math>. Gagasan ini mudah diperumum ke dalam ruang EuclidEuklides tiga dimensi, di manadengan titik dinyatakan oleh pasangan terurut ganda-rangkap tiga, <math>\, (x,y,z)</math>, dengan bilangan tambahan ketiga menyatakan kedalaman dan diwakilidinyatakan olehdengan <math>z</math>. PerumumumanPerumuman lebih lanjut dinyatakan olehdengan pasangan terurut ganda-rangkap <math>n</math>,<math>\, (a_1,a_2,...,a_n)</math>, di manadengan <math>n</math> adalah dimensi ruang tempat titik berada.{{sfnp|Silverman|1969|p=7}}
 
Banyak objek yang dibangun di dalam geometri EuclidEuklides terdiri dari [[tak hingga|tak berhingga]] banyaknya kumpulan titik-titik yang sesuai dengan aksioma-aksioma tertentu. Hal ini biasanya dinyatakan oleh [[himpunan (matematika)|himpunan]] titik-titik; misalnya, [[garis (geometri)|garis]] adalah himpunan tak hingga banyaknya titik-titik yang berbentuk <math display="block">\, L = \lbrace (a_1,a_2,...a_n)|a_1c_1 + a_2c_2 + ... a_nc_n = d \rbrace, </math>, di manadengan <math>\, c_1</math> melalui <math>\, c_n</math> dan <math>\, d</math> adalah konstanta, danserta <math>n</math> adalah dimensi ruang. Juga terdapat konstruksi-konstruksi serupa yang mendefinisikan [[bidang (geometri)|bidang]], [[ruas garis]], dan konsep-konsep lainnya yang saling berkaitan.{{sfnp|de Laguna|1922}}
 
== Geometri tanpa titik ==
Selain mendefinisikan titik dan konstruksi yang berkaitan dengan titik, Euclid juga mempostulatkan gagasan kunci tentang titik; dia mengaku bahwa dua titik sembarang dapat dihubungkan oleh sebuah garis lurus. Ini dapat dengan mudah diperiksa di bawah perluasan modern geometri Euklides, dan menyisakan dampak-dampak pada introduksinya, mengizinkan konstruksi hampir semua konsep geometri tentang waktu. Tetapi, postulat Euclid tentang titik tidak pernah lengkap, tidak pula definitif, karena dia kadang-kadang mengasumsikan fakta tentang titik yang tidak mengikuti secara langsung aksioma-aksiomanya, misalnya pengurutan titik-titik pada garis atau keujudan titik-titik tertentu. Meskipun demikian, perluasan modern sistem ini berhasil menghilangkan anggapan-anggapan ini.
Titik sudah dianggap merupakan gagasan yang fundamental dalam [[geometri]] dan [[topologi]]. Meskipun demikian, terdapat beberapa cabang yang tidak menggunakan gagasan titik, seperti [[geometri nonkomutatif]] (''noncommutative geometry'') dan [[topologi bebas titik]] (''pointless topology''). “Ruang bebas titik” (''pointfree space'') atau "ruang tanpa titik" (''pointless space'') tidak didefinisikan sebagai [[himpunan (matematika)|himpunan]], melainkan didefinisikan melalui beberapa struktur ([[C*-aljabar|aljabar]] atau [[aljabar Heyting lengkap|logika]]) yang terlihat seperti ruang fungsi yang terkenal pada himpunan tersebut, yaitu aljabar dari [[fungsi kontinu]] atau [[aljabar himpunan]]. Lebih tepatnya, struktur tersebut memperumum ruang yang terkenal dari [[fungsi]] menurut suatu cara di mana operasi “mengambil nilai pada titik tersebut” dapat didefinisikan.{{sfnp|Gerla|1985}}
 
== Titik di dalam cabang-cabang matematika ==
Suatu titik di dalam [[topologi umum]] didefinisikan sebagai anggota dari himpunan bagian dari [[ruang topologi]].
 
Meskipun gagasan tentang titik secara umum dipandang fundamental di dalam geometri dan topologi arus utama, tetapi terdapat beberapa sistem yang mendahuluinya, misalnya [[geometri nonkomutatif]] dan [[topologi bebas titik]]. “Ruang bebas titik” (atau ruang tanpa titik) didefinisikan bukan sebagai [[himpunan (matematika)|himpunan]], tetapi masing-masing melalui beberapa struktur ([[C*-aljabar|aljabar]] atau [[aljabar Heyting lengkap|logika]]) yang seperti ruang fungsi yang familiar pada himpunan itu: masing-masing sebuah aljabar dari [[fungsi kontinu]] atau [[aljabar himpunan]]. Lebih persisnya, struktur yang memperumum ruang familiar dari [[fungsi]] menurut suatu cara di mana operasi “mengambil nilai pada titik ini” dapat didefinisikan.
 
== Lihat pula ==
Baris 22 ⟶ 18:
* [[Titik puncak (singularitas)|Titik puncak]]
* [[Singularitas|Titik singular]]
 
== Catatan ==
{{Reflist|colwidth=30em}}
 
== Referensi ==
{{refbegin}}
{{div col|colwidth=30em}}
*{{cite journal
|last = de Laguna |first = T. |author-link = Theodore de Laguna
|year = 1922
|title = Point, line and surface as sets of solids,
|journal = The Journal of Philosophy
|volume = 19
|issue = 17
|pages = 449–461.
|jstor = 2939504
|doi = 10.2307/2939504}}
*{{cite book
|last = Gerla
|first = G
|year = 1995
|contribution-url = http://www.dmi.unisa.it/people/gerla/www/Down/point-free.pdf
|contribution = Pointless Geometries
|editor1-last = Buekenhout
|editor1-first = F.
|editor2-last = Kantor
|editor2-first = W
|title = Handbook of Incidence Geometry: Buildings and Foundations
|publisher = North-Holland
|page = 1015–1031.
|access-date = 2023-02-26
|archive-date = 2011-07-17
|archive-url = https://web.archive.org/web/20110717210751/http://www.dmi.unisa.it/people/gerla/www/Down/point-free.pdf
|dead-url = yes
}}
*{{cite book
|last = Heath |first = Thomas L.
|author-link = Thomas Little Heath
|title = The Thirteen Books of Euclid's Elements
|volume = 1
|edition = 2nd
|year = 1956
|publisher = Dover Publications
|location = New York
|isbn = 0-486-60088-2
|url = https://archive.org/details/thirteenbooksofe00eucl
}}
*{{cite book
|last = Silverman |first = Richard A.
|title = Modern Calculus and Analytic Geometry
|url = https://books.google.com/books?id=DcWHAwAAQBAJ&pg=PA7
|year = 1969
|publisher = Macmillan}}
{{div col end}}
{{refend}}
 
== Pranala luar ==
* [http://www.mathopenref.com/point.html Definisi Titik] dengan applet interaktif
* [http://www.mathopenref.com/tocs/pointstoc.html Halaman definisi titik], dengan animasi interaktif yang juga berguna di dalam suasana ruang kelas. Math Open Reference
{{bangun}}
 
{{Authority control}}
 
[[Kategori:Geometri]]
[[Kategori:Matematika]]
 
[[af:Punt (meetkunde)]]
[[als:Punkt (Geometrie)]]
[[ar:نقطة (هندسة)]]
[[ast:Puntu (xeometría)]]
[[az:Nöqtə (riyaziyyat)]]
[[be-x-old:Пункт (геамэтрыя)]]
[[bg:Точка (геометрия)]]
[[br:Poent (geometriezh)]]
[[ca:Punt (geometria)]]
[[ckb:خاڵ (ئەندازە)]]
[[cs:Bod]]
[[cv:Пăнчă (геометри)]]
[[da:Punkt]]
[[de:Punkt (Geometrie)]]
[[el:Σημείο]]
[[en:Point (geometry)]]
[[eo:Punkto]]
[[es:Punto (geometría)]]
[[et:Punkt (matemaatika)]]
[[eu:Puntu (geometria)]]
[[fa:نقطه (هندسه)]]
[[fi:Piste (geometria)]]
[[fr:Point (géométrie)]]
[[gan:點]]
[[he:נקודה (גאומטריה)]]
[[hr:Točka (geometrija)]]
[[hu:Pont (geometria)]]
[[io:Pinto]]
[[it:Punto (geometria)]]
[[ja:点 (数学)]]
[[jv:Titik (géomètri)]]
[[kk:Нүкте (геометрия)]]
[[ko:점 (기하)]]
[[ku:Xal]]
[[la:Punctum (mathematica)]]
[[lt:Taškas]]
[[lv:Punkts (ģeometrija)]]
[[mk:Точка (геометрија)]]
[[nds:Punkt (Geometrie)]]
[[nl:Punt (wiskunde)]]
[[no:Punkt]]
[[pl:Punkt (geometria)]]
[[pt:Ponto (matemática)]]
[[ro:Punct (geometrie)]]
[[ru:Точка (геометрия)]]
[[sc:Puntu]]
[[simple:Point (geometry)]]
[[sk:Bod (geometria)]]
[[sl:Točka (geometrija)]]
[[sn:Chimiso]]
[[sr:Тачка (геометрија)]]
[[sv:Punkt (matematik)]]
[[ta:புள்ளி]]
[[th:จุด (เรขาคณิต)]]
[[uk:Точка]]
[[vec:Ponto]]
[[vi:Điểm (hình học)]]
[[yi:פונקט (געאמעטריע)]]
[[zh:点]]