Segiempat garis singgung: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) Tidak ada ringkasan suntingan |
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) Tidak ada ringkasan suntingan |
||
| (4 revisi perantara oleh pengguna yang sama tidak ditampilkan) | |||
Baris 7:
<math display="block"> a + c = b + d = \frac{a + b + c + d}{2}. </math>
Sebaliknya, jumlah panjang sisi <math display="inline"> a + c = b + d </math> di sebuah segiempat cembung harus tangensial.<ref>{{
== Luas ==
=== Luas tanpa menggunakan trigonometri ===
Luas dari segiempat garis singgung dirumuskan sebagai
<math display="block"> r \cdot s,</math>
dengan <math> s </math> adalah [[semiperimeter]] dan <math> r </math> adalah jari-jari lingkaran dalam. Rumus lainnya untuk luas dari segiempat adalah{{
<math display="block">\frac{1}{2}\sqrt{p^2q^2-(ac-bd)^2},</math>
dengan <math> p </math> dan <math> q </math> adalah garis diagonal, serta <math> a, b, c, d </math> adalah sisi-sisi dari segiempat garis singgung.
Luas dari segiempat garis singgung juga dapat dinyatakan hanya dengan diketahui keempat panjang garis singgung <math> e, f, g, h </math>{{
<math display="block"> \sqrt{(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)}.</math>
=== Luas dengan menggunakan trigonometri ===
Luas dari segiempat garis singgung dapat diketahui dengan menggunakan panjang sisi <math> a, b, c, d </math> beserta dua buah sudut hadapan<ref>{{harvnb|Durell|Robson|2003|p=28–30}}; {{harvnb|Siddons|Hughes|1929|p=203}}; {{harvnb|Grinberg|2008|p=11}}; {{harvnb|Yiu|1998|p=156–157}}.</ref>
<math display="block">\sqrt{abcd} \sin \frac{A+C}{2} = \sqrt{abcd} \sin \frac{B+D}{2}.</math>
Untuk diketahui panjang sisinya, luasnya akan maksimum ketika segiempat adalah [[segiempat siklik|siklik]] dan [[segiempat bisentrik|''bicentric'']]. Oleh karena itu, luas dari segiempat garis singgung adalah <math display="inline"> \sqrt{abcd} </math> sebab sudut hadapannya adalah [[sudut suplementer|suplementer]]. Rumus ini dapat dibuktikan dengan cara lain menggunakan [[kalkulus]].{{sfn|Hoyt|1986}}
Rumus lain untuk luas dari segiempat garis singgung <math> ABCD </math> yang melibatkan dua sudut hadapan adalah{{sfn|Grinberg|2008|p=19}}
<math display="block"> \left(IA\cdot IC+IB\cdot ID\right)\sin\frac{A+C}{2} </math>
dengan <math> I </math> adalah pusat lingkaran dalam.
Terlebih lagi, luasnya dapat dinyatakan menggunakan dua sisi yang berdampingan dan dua sudut hadapan sebagai{{sfn|Durell|2003|p=28–30}}
<math display="block"> ab\sin{\frac{B}{2}}\csc{\frac{D}{2}}\sin \frac{B+D}{2}.</math>
== Catatan kaki ==
== Referensi ==
{{refbegin|30em}}
▲{{reflist|refs=
|last1 = Andreescu | first1 = Titu
|last2 = Enescu | first2 = Bogdan
|title = Mathematical Olympiad Treasures
|publisher = Birkhäuser
|year = 2006}}.
|pages = 64–68}}.</ref>▼
|last1 = Durell |first1 = C.V.
|last2 = Robson |first2 = A.
|title = Advanced Trigonometry
|publisher = Dover reprint
|year = 2003}}.
|pages = 28–30}}.</ref>▼
|last = Grinberg |first = Darij
|url = http://www.cip.ifi.lmu.de/~grinberg/CircumRev.pdf
|title = Circumscribed quadrilaterals revisited
* {{citation
|last = Hoyt |first = John P.
|journal = [[American Mathematical Monthly]]
|title = Maximizing the Area of a Trapezium
|volume = 93 |number = 1
|year = 1986
|doi = 10.2307/2322549}}.
* {{citation
|last = Josefsson |first=Martin
|journal = Forum Geometricorum
Baris 46 ⟶ 76:
|year = 2010}}.</ref>
|last = Josefsson |first = Martin
|journal = Forum Geometricorum
Baris 53 ⟶ 83:
|url = http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201108.pdf
|volume = 11
|year = 2011}}.
* {{citation
|last1 = Siddons |first1 = A.W.
|last2 = Hughes |first2 = R.T.
|title = Trigonometry
|publisher = Cambridge Univ. Press
|year = 1929}}.
* {{citation
|last = Yiu |first = Paul
|title = Euclidean Geometry
|url = http://math.fau.edu/Yiu/EuclideanGeometryNotes.pdf
|year = 1998}}.
{{refend}}
[[Kategori:Jenis-jenis segiempat]]
| |||