Unit imajiner: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) aduh ini bukan masuk ke persamaan matematika |
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) Tidak ada ringkasan suntingan |
||
| (9 revisi perantara oleh pengguna yang sama tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
]]
'''Unit imajiner''' atau '''bilangan imajiner unit''' (<math>i</math>) adalah solusi untuk [[persamaan kuadrat]] <math>x</math><sup>2</sup> <math>+ 1 = 0</math>. Meskipun tidak ada [[bilangan riil]] dengan sifat ini, <math>i</math> dapat digunakan untuk memperluas bilangan riil menjadi [[bilangan kompleks]], bilangan yang menggunakan operasi [[penambahan]] dan [[perkalian]]; contoh sederhananya adalah <math>2 + 3i</math>.
Bilangan imajiner adalah konsep
== Definisi ==
{| class="wikitable" style="float: right; margin-left: 1em; text-align: center;"
! Nilai siklus perpangkatan dari {{mvar|i}}<br/>:
|-
|<math>...</math> (daerah yang berwarna biru<br/> menandakan pola berulang)
|-
|<math>i^{-3} = i</math>
|-
|<math>i^{-2} = -1</math>
|-
|<math>i^{-1} = -i</math>
|-
|style="background:#cedff2;" | '''<math>i^{0} = 1</math>'''
|-
|style="background:#cedff2;" | '''<math>i^{1} = i</math>'''
|-
|style="background:#cedff2;" | '''<math>i^{2} = -1</math>'''
|-
|style="background:#cedff2;" | '''<math>i^{3} = -i</math>'''
|-
|<math>i^{4} = 1</math>
|-
|<math>i^{5} = i</math>
|-
|<math>i^{6} = -1</math>
|-
|<math>...</math> (daerah yang berwarna biru<br/> menandakan pola berulang)
|}
Bilangan imajiner <math> i </math> didefinisikan hanya dengan menggunakan sifat bahwa akar kuadratnya adalah <math> -1 </math>:
<math display="block">i^2 = -1.</math>
Oleh karena itu, <math> i </math> dan <math> -i </math> sama-sama merupakan akar kuadrat dari <math> -1 </math>.
Operasi bilangan real dapat diperluas ke bilangan imajiner dan bilangan kompleks, dengan memperlakukan <math> i </math> sebagai kuantitas yang tidak diketahui saat memanipulasi ekspresi (dan menggunakan definisi untuk menggantikan <math>i^2</math> dengan −1). Perpangkatan dari <math> i </math> yang lebih tinggi dapat digantikan dengan <math> -i </math>, <math> 1 </math>, <math> i </math>, atau <math> -1 </math>:
<math display="block">
\begin{align}
i^3 &= i^2 i = (-1) i = -i \\
i^4 &= i^3 i = (-i) i = -(i^2) = -(-1) = 1 \\
i^5 &= i^4 i = (1) i = i.
\end{align}</math>
Hal ini dapat diperlakukan cara yang serupa untuk sebarang bilangan real tak nol:
<math display="block">i^0 = i^{1-1} = i^{1} i^{-1} = i^{1} \frac{1}{i} = i\frac{1}{i} = \frac{i}{i} = 1.</math>
Sebagai bilangan kompleks, <math> i </math> dapat dinyatakan dalam [[sistem koordinat Cartesius]] berdimensi dua sebagai <math> 0 + 1i </math>, yang terdiri dari nol buah komponen real dan satu buah komponen imajiner. Dalam [[bentuk polar]], <math> i </math> dapat dinyatakan sebagai <math>1\times e^{i\pi /2}</math> (atau cukup tulis <math>e^{i\pi /2}</math>), dengan [[nilai mutlak]] dari 1 dan [[Argumen (analisis kompleks)|argumen]] dari <math>\pi/2</math> radian (dan juga ditambahkan dengan sebarang kelipatan dari <math> 2\pi </math>). Dalam [[bilangan kompleks]], atau disebut bidang Argand, yang merupakan pandangan [[bidang Cartesius]] yang khusus, <math> i </math> adalah titik yang terletak dengan jarak 1 satuan dari titik asal di sepanjang [[sumbu imajiner]].
== Sifat ==
=== Akar kuadrat dan akar kubik ===
{{multiple image
|direction = horizontal
|align = right
|total_width = 500
|image1 = Imaginary2Root.svg
|caption1 = Dua buah akar kuadrat dari <math> i </math> dalam bidang kompleks
|image2 = Imaginary3Root.svg
|caption2 = Tiga buah akar kubik dari <math> i </math> dalam bidang kompleks
}}
Sama seperti semua bilangan kompleks tak nol, <math> i </math> mempunyai dua buah akar kuadrat, yaitu {{efn|Cara mencari akar kuadrat dari <math> i </math> adalah dengan menyelesaikan persamaan <math display=inline>(x+iy)^{2}=i</math> dengan {{mvar|x}} dan {{mvar|y}} adalah parameter real yang akan dicari; persamaan tersebut sama saja dengan menulis <math>x^{2} + 2ixy - y^{2} = i.</math> Karena bagian riil dan imajiner selalu terpisah, maka suku-suku di persamaan dapat disusun menjadi <math>x^{2} - y^{2} + 2ixy = 0 + i.</math> Dengan menyamakan koefisien dan memisahkan bagian riil dan imajiner, maka didapatkan sistem dari dua persamaan:
<math display=block>\begin{align}
x^{2} - y^{2} &= 0 \\[3mu]
2xy &= 1.
\end{align}</math>
Dengan mensubstitusi <math>y=\tfrac12x^{-1}</math> ke persamaan pertama, maka didapatkan
<math display="block"> x^{2} - \tfrac14x^{-2} = 0 \implies 4x^4 = 1.</math>
Karena <math> x </math> bilangan riil, maka persamaan ini mempunyai dua buah solusi riil untuk <math> x </math>. yaitu <math>x=\tfrac{1}{\sqrt{2}}</math> dan <math>x=-\tfrac{1}{\sqrt{2}}</math>. Dengan mensubstitusikan hasil tersebut ke persamaan <math>2xy = 1</math>, maka didapatkan hasil yang sama untuk <math> y </math>. Dengan demikian, akar kuadrat dari <math> i </math> adalah <math>\tfrac{1}{\sqrt{2}} + \tfrac{1}{\sqrt{2}}i</math> dan <math>-\tfrac{1}{\sqrt{2}}-\tfrac{1}{\sqrt{2}}i</math>.{{r|toronto}}}}
<math display="block"> \pm \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i \right) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} (1 + i). </math>
Dengan menguadratkan kedua ekspresi tersebut, akan menghasilkan:
<math display="block">
\begin{align}
\left( \pm \frac{\sqrt{2}}2 (1 + i) \right)^2 \ & = \left( \pm \frac{\sqrt{2}}2 \right)^2 (1 + i)^2 \ \\
& = \frac{1}{2} (1 + 2i + i^2) \\
& = \frac{1}{2} (1 + 2i - 1) \ \\
& = i.
\end{align}
</math>
Dengan mengakarkuadratkan kedua ruas, akan didapatkan
<math display="block"> \sqrt{i} = \frac{\sqrt{2}}2 (1 + i).</math>
Tiga buah akar kubik dari <math> i </math> adalah:{{r|zill}}
<math display="block">\left( -i, \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} \right).</math>
Sama seperti semua [[Akar kesatuan|akar dari 1]], semua akar dari <math> i </math> adalah titik sudut [[poligon beraturan]] yang terletak di dalam [[lingkaran satuan]] di bidang kompleks.
== Catatan ==
{{reflist|group="lower-alpha"}}
== Rujukan ==
{{reflist|refs=
<ref name=boas>{{cite book
|last1 = Boas |first1=Mary L.
|title = Mathematical Methods in the Physical Sciences
|date = 2006
|edition = 3
|publisher = Wiley
|location = New York [u.a.]
|isbn = 0-471-19826-9
|url = https://archive.org/details/mathematicalmeth00boas_097
|url-access = limited
|page = [https://archive.org/details/mathematicalmeth00boas_097/page/n68 49]}}</ref>
<ref name=toronto>{{cite web
|website = University of Toronto Mathematics Network
|title = What is the square root of <math> i </math>?
|access-date = 26 Maret 2007
|url = http://www.math.utoronto.ca/mathnet/questionCorner/rootofi.html}}</ref>
<ref name=zill>{{cite book
|last = Zill |first = Dennis G.
|last2 = Shanahan |first2 = Patrick D.
|url = https://www.worldcat.org/oclc/50495529
|title = A first course in complex analysis with applications
|date = 2003
|publisher = Jones and Bartlett
|isbn = 0-7637-1437-2
|location = Boston
|pages = 24-25
|oclc = 50495529}}</ref>
}}
[[Kategori:Bilangan kompleks]]
| |||