Teorema Rolle: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tidak ada ringkasan suntingan Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
Roniyronron (bicara | kontrib) Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan. |
||
(8 revisi perantara oleh 4 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
[[Berkas:Rolle's theorem.svg|px|ka]]
Dalam [[kalkulus]], '''
== Versi standar ==
Bila sebuah fungsi [[bilangan riil|riil]] {{Math|''f''}} [[fungsi kontinu|kontinu]] pada selang tertutup {{Math|[''a'',
:<math>f'(c) = 0.\,</math>
Versi
==
Contoh berikut mengilustrasikan perumuman dari teorema Rolle: Misalkan terdapat fungsi kontinu bilangan riil {{Math|''f''}} di selang tertutup {{Math|[''a'', ''b'']}} dengan {{Math|1=''f''(''a'') = ''f''(''b'')}}. Bila, untuk setiap {{Math|''x''}} di selang terbuka {{Math|(''a'', ''b'')}}, dengan limit kanan<math display="block">f'(x+):=\lim_{h \to 0^+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>dan limit kiri<math display="block">f'(x-):=\lim_{h \to 0^-}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>ada di suatu garis bilangan riil yang diperluas <math>[-\infty,\infty]</math>, maka ada suatu bilangan {{Math|''c''}} pada selang terbuka {{Math|(''a'', ''b'')}} sehingga salah satu dari dua limit <math>f'(c+)</math> dan <math>f'(c-)</math>lebih besar dari sama dengan 0 dan yang lainnya lebih kecil dari sama dengan 0 (di garis bilangan riil yang diperluas). Bila limit kiri dan kanan sama untuk setiap ''{{Math|''x''}}'', maka limit ini sama pada khususnya untuk {{Math|''c''}}. Jadi turunan {{Math|''f''}} ada pada {{Math|''c''}} dan sama dengan nol.
=== Komentar ===▼
▲# Bila ''f'' adalah cekung atau cembung, maka turunan kiri atau kanan ada pada setiap titik dalam, sehingga kedua limit di atas ada dan merupakan bilangan riil
{{cite book
|last = Artin
Baris 36 ⟶ 20:
|others = trans. Michael Butler
|title = The Gamma Function
|url = https://archive.org/details/gammafunction00arti_501
|origyear = 1931
|year = 1964
|publisher = [[Holt, Rinehart and Winston]]
|pages = [https://archive.org/details/gammafunction00arti_501/page/n9 3]–4 }}
▲::<math>f'(x-) \le f'(x+) \le f'(y-),\qquad x < y.</math>
Berdasarkan asumsi, diketahui bahwa {{Math|''f''}} kontinu di {{Math|[''a'', ''b'']}}, dan menurut [[teorema nilai ekstrem]], {{Math|''f''}} mencapai nilai maksimum maupun minimumnya di {{Math|[''a'', ''b'']}}. Bila keduanya tercapai di titik batas {{Math|[''a'', ''b'']}}, maka {{Math|''f''}} adalah [[fungsi konstan]] di {{Math|[''a'', ''b'']}}, dan turunannya akan sama dengan nol pada setiap titik di {{Math|(''a'', ''b'')}}. Misalkan bila nilai maksimum diperoleh di [[titik dalam]] {{Math|''c''}} di selang {{Math|(''a'', ''b'')}} (argumen untuk nilai minimumnya mirip, seperti pada <math>-f</math>), maka dapat diperiksa limit kanan dan kiri. Untuk suatu {{Math|''h''}} bilangan real sehingga {{Math|''c'' + ''h''}} ada di {{Math|[''a'', ''b'']}}, nilai {{Math|''f''(''c'' + ''h'')}} lebih kecil atau sama dengan {{Math|''f''(''c'')}}, sebab {{Math|''f''}} mencapai nilai maksimumnya di {{Math|''c''}}. Karena itu, untuk setiap {{Math|''h'' > 0}},<math display="block">\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\le0,</math>dan karena itu,<math display="block">f'(c+):=\lim_{h\searrow0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\le0,</math>dengan limit tersebut ada berdasarkan asumsi, yang bisa saja menuju ke negatif tak terhingga. Hal ini juga berlaku sama untuk sebaliknya, yakni: untuk setiap {{Math|''h'' < 0}}, tanda pertidaksamaan tersebut berbalik arah karena penyebutnya bernilai negatif. Dengan demikian, didapatkan bahwa<math display="block">\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\ge0,</math>dan karena itu<math display="block">f'(c-):=\lim_{h\nearrow0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\ge0,</math>dengan limit tersebut bisa saja menuju ke positif tak terhingga. Setelah mendapatkan bahwa limit kanan dan kiri tersebut sama, terutama bila {{Math|''f''}} terdiferensialkan, maka turunan dari {{Math|''f''}} di {{Math|''c''}} haruslah nol.
== Contoh ==
===Contoh pertama===
[[Berkas:semicircle.svg|thumb|300px|
▲[[Grafik suatu fungsi|grafik]] adalah [[setengah lingkaran]] atas yang berpusat pada titik asal. Fungsi ini berlanjut pada interval tertutup {{math|[−''r'', ''r'']}} dan dibedakan dalam interval terbuka {{math|(−''r'', ''r'')}}, tetapi tidak dapat dibedakan di titik akhir {{math|−''r''}} dan {{mvar|r}}. Setelah mencari {{math|''f ''(−''r'') {{=}} ''f ''(''r'')}}, Teorema Rolle berlaku, dan memang, ada titik darimana turunan {{mvar|f}} adalah nilai nol. Perhatikan bahwa teorema berlaku bahkan ketika fungsi tidak dapat dibedakan di titik akhir karena hanya memerlukan fungsi tersebut untuk dapat dibedakan dalam interval terbuka.
{{clear}}
===Contoh kedua===
[[Berkas:Absolute value.svg|thumb|300px|Grafik fungsi nilai
▲Kemudian {{math|''f ''(−1) {{=}} ''f ''(1)}}, tapi tidak ada nilai {{mvar|c}} antara −1 dan 1 pada nilai {{math|''f ''′(''c'')}} adalah nol. Hal tersebut karena fungsi itu, meskipun kontinu, tidak dapat dibedakan pada nilai {{math|''x'' {{=}} 0}}. Perhatikan bahwa turunan dari {{mvar|f}} mengubah tandanya pada {{math|''x'' {{=}} 0}}, tetapi tanpa mencapai nilai 0. Teorema tidak dapat diterapkan pada fungsi ini karena tidak memenuhi syarat bahwa fungsi harus dapat dibedakan untuk setiap nilai {{mvar|x}} dalam interval terbuka. Namun, ketika persyaratan diferensiabilitas dihilangkan dari teorema Rolle, {{mvar|f}} akan tetap memiliki [[angka kritis]] dalam interval terbuka {{math|(''a'', ''b'')}}, tetapi mungkin tidak menghasilkan garis singgung horizontal (seperti dalam kasus nilai absolut yang ditunjukkan dalam grafik).
== Pembuktian ==▼
▲Gagasan dasarnya adalah bahwa bila ''f''(''a'') = ''f''(''b''), maka ''f'' mestilah mencapai maksimum atau minimum di suatu titik antara ''a'' dan ''b''. Sebutlah titik ini ''c''. Fungsi tersebut juga harus berubah dari naik menjadi turun (atau sebaliknya) pada ''c''. Khususnya, bila turunannya ada, nilainya mestilah nol pada ''c''.
{{clear}}
== Perumuman untuk turunan dengan tingkat yang lebih tinggi ==
Teorema Rolle dapat diperumum dengan mensyaratkan bahwa {{mvar|f}} memiliki lebih banyak titik dengan nilai yang sama dan keteraturan yang lebih besar. Secara khusus, misalkan bahwa
* fungsi {{mvar|f}} [[Kemulusan#Kelas keterdiferensialan|terdiferensialkan secara kontinu]] sebanyak {{math|''n'' − 1}} kali di selang tertutup {{math|[''a'', ''b'']}}, dan terdapat turunan ke-{{mvar|n}} di selang terbuka {{math|(''a'', ''b'')}}; serta
* terdapat {{mvar|n}} selang yang dinyatakan dengan {{math|''a''<sub>1</sub> < ''b''<sub>1</sub> ≤ ''a''<sub>2</sub> < ''b''<sub>2</sub> ≤ … ≤ ''a<sub>n</sub>'' < ''b<sub>n</sub>''}} di {{math|[''a'', ''b'']}} sehingga {{math|''f ''(''a<sub>k</sub>'') {{=}} ''f ''(''b<sub>k</sub>'')}} untuk setiap nilai {{mvar|k}} yang berawal dari 1 hingga nilai {{mvar|n}}.
Maka, terdapat suatu bilangan {{mvar|c}} di {{math|(''a'', ''b'')}} turunan ke-{{mvar|n}} dari {{mvar|f}} dengan nilai {{mvar|c}} sama dengan nol.[[Berkas:Rolle Generale.svg|thumb|290x290px|Kurva betwarna merah merupakan grafik fungsi dengan tiga akar di selang {{math|[−3, 2]}}. Jadi turunan keduanya, yang digambarkan dengan garis berwarna hijau, juga memiliki akar di selang yang sama.]]
▲=== Pembuktian ===
Perumuman ini [[Pembuktian melalui induksi|dibuktikan melalui induksi]]. Misalkan {{math|''n'' {{=}} 1}}, maka akan memperlihatkan versi standar teorema Rolle. Untuk {{math|''n'' > 1}}, anggap bahwa perumuman tersebut benar untuk {{math|''n'' − 1}}. Agar ingin membuktikannya untuk {{mvar|n}}, asumsi fungsi {{mvar|f}} memenuhi hipotesis teorema. Berdasarkan versi standar, untuk setiap bilangan bulat {{mvar|k}} yang berawal dari 1 ke {{mvar|n}}, terdapat suatu {{mvar|c<sub>k</sub>}} di selang terbuka {{math|(''a<sub>k</sub>'', ''b<sub>k</sub>'')}} sehingga {{math|''f ''′(''c<sub>k</sub>'') {{=}} 0}}. Oleh karena itu, turunan pertama memenuhi asumsi di {{math|''n'' − 1}} selang tertutup {{math|[''c''<sub>1</sub>, ''c''<sub>2</sub>], …, [''c''<sub>''n'' − 1</sub>, ''c<sub>n</sub>'']}}. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa berdasarkan hipotesis melalui induksi, terdapat suatu {{mvar|c}} sehingga turunan ke-{{math|(''n'' − 1)}} dari {{math|''f ''′}} di {{mvar|c}} sama dengan nol.
== Catatan kaki ==
Baris 104 ⟶ 61:
{{Commonscat|Rolle's theorem}}
[[Kategori:Kalkulus|Rolle]]
|