|
[[Berkas:Rolle's theorem.svg|px|ka]]
Dalam [[kalkulus]], '''Teoremateorema Rolle''' pada dasarnya menyatakan fungsi diferensiabelterdiferensialkan dan [[fungsi kontinu|kontinu]], yang memiliki nilai sama pada dua titik, mestilah memiliki [[titik stasioner]] yang terletak di antara kedua titik tersebut. Pada titik stasioner ini, gradien [[garis singgung]] terhadap fungsi tersebut sama dengan nol.
== Versi standar ==
Bila sebuah fungsi [[bilangan riil|riil]] {{Math|''f''}} [[fungsi kontinu|kontinu]] pada selang tertutup {{Math|[''a'', ''b'']}}, [[turunan|terdiferensialkan]] pada selang terbuka {{Math|(''a'', ''b'')}}, dan {{Math|1=''ƒf''(''a'') = ''ƒf''(''b'')}}, maka ada bilangan {{Math|''c''}} dalam selang terbuka {{Math|(''a'', ''b'')}} sedemikian sehingga
:<math>f'(c) = 0.\,</math>
Versi Teoremateorema Rolle ini digunakan untuk membuktikan [[teorema nilai purata]], yang merupakan kasus umum daripadadari teorema Rolle.
== GeneralisasiPerumuman ==
Contoh berikut mengilustrasikan perumuman dari teorema Rolle: Misalkan terdapat fungsi kontinu bilangan riil {{Math|''f''}} di selang tertutup {{Math|[''a'', ''b'']}} dengan {{Math|1=''f''(''a'') = ''f''(''b'')}}. Bila, untuk setiap {{Math|''x''}} di selang terbuka {{Math|(''a'', ''b'')}}, dengan limit kanan<math display="block">f'(x+):=\lim_{h \to 0^+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>dan limit kiri<math display="block">f'(x-):=\lim_{h \to 0^-}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>ada di suatu garis bilangan riil yang diperluas <math>[-\infty,\infty]</math>, maka ada suatu bilangan {{Math|''c''}} pada selang terbuka {{Math|(''a'', ''b'')}} sehingga salah satu dari dua limit <math>f'(c+)</math> dan <math>f'(c-)</math>lebih besar dari sama dengan 0 dan yang lainnya lebih kecil dari sama dengan 0 (di garis bilangan riil yang diperluas). Bila limit kiri dan kanan sama untuk setiap ''{{Math|''x''}}'', maka limit ini sama pada khususnya untuk {{Math|''c''}}. Jadi turunan {{Math|''f''}} ada pada {{Math|''c''}} dan sama dengan nol.
Contoh berikut mengilustrasikan generalisasi daripada teorema Rolle:
# Bila {{Math|''f'' }} adalah fungsi cekung atau cembung, maka turunan kiri atau kanan ada padadi setiap titik dalam, sehingga kedua limit di atas ada dan merupakan bilangan riil . Versi teorema Rolle yang diperumum ini cukup untuk membuktikan kecekungan fungsi bila salah satu turunan sepihak [[Fungsi menaik|menaik secara monoton]]:<ref>▼Perhatikan fungsi riil, kontinu dalam selang tertutup [''a'', ''b''] dengan ''f''(''a'') = ''f''(''b''). Bila untuk setiap ''x'' dalam selang terbuka (''a'',''b'') limit kanan
:<math>f'(x+):=\lim_{h \to 0^+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>
dan limit kiri
:<math>f'(x-):=\lim_{h \to 0^-}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>
ada pada garis bilangan riil yang diperluas [−∞,∞], maka ada suatu bilangan ''c'' pada selang terbuka (''a'',''b'') sehingga salah satu dari dua limit
:<math>f'(c+)\quad\text{dan}\quad f'(c-)</math>
adalah ≥ 0 dan yang lainnya adalah ≤ 0 (pada garis bilangan riil yang diperluas). Bila limit kiri dan kanan sama untuk setiap ''x'', maka limit ini sama pada khususnya untuk ''c''. Jadi turunan ''f'' ada pada ''c'' dan sama dengan nol.
▲# Bila ''f'' adalah cekung atau cembung, maka turunan kiri atau kanan ada pada setiap titik dalam, sehingga kedua limit di atas ada dan merupakan bilangan riil
# Versi yang digeneralisasi ini cukup untuk membuktikan kecekungan fungsi bila salah satu turunan searah naik monoton:
<ref>
{{cite book
|last = Artin
|publisher = [[Holt, Rinehart and Winston]]
|pages = [https://archive.org/details/gammafunction00arti_501/page/n9 3]–4 }}
::</ref><math display="block">f'(x-) \le f'(x+) \le f'(y-) ,\qquad</math>dengan <math>x < y .</math> .▼</ref>
▲=== KomentarPembuktian ===
▲::<math>f'(x-) \le f'(x+) \le f'(y-),\qquad x < y.</math>
GagasanTujuan dasarnyapembuktian adalahini bahwa bila {{Math|1=''f''(''a'') = ''f''(''b'') }}, maka {{Math|''f'' }} mestilahharus mencapai nilai [[Maksimum dan minimum|maksimum atau minimum ]] di suatu titik di antara {{Math|''a'' }} dan {{Math|''b'' .}}, Sebutlahkatakanlah titik initersebut diberi lambang {{Math|''c'' }}. Fungsi tersebut juga harus berubah dari naikfungsi menjadimenaik turunhingga menurun (atau sebaliknya) padadi {{Math|''c'' }}. KhususnyaSecara khusus, bila turunannya ada, maka nilainya mestilahharus nol padadi {{Math|''c'' }}. ▼
Berdasarkan asumsi, diketahui bahwa {{Math|''f''}} kontinu di {{Math|[''a'', ''b'']}}, dan menurut [[teorema nilai ekstrem]], {{Math|''f''}} mencapai nilai maksimum maupun minimumnya di {{Math|[''a'', ''b'']}}. Bila keduanya tercapai di titik batas {{Math|[''a'', ''b'']}}, maka {{Math|''f''}} adalah [[fungsi konstan]] di {{Math|[''a'', ''b'']}}, dan turunannya akan sama dengan nol pada setiap titik di {{Math|(''a'', ''b'')}}. Misalkan bila nilai maksimum diperoleh di [[titik dalam]] {{Math|''c''}} di selang {{Math|(''a'', ''b'')}} (argumen untuk nilai minimumnya mirip, seperti pada <math>-f</math>), maka dapat diperiksa limit kanan dan kiri. Untuk suatu {{Math|''h''}} bilangan real sehingga {{Math|''c'' + ''h''}} ada di {{Math|[''a'', ''b'']}}, nilai {{Math|''f''(''c'' + ''h'')}} lebih kecil atau sama dengan {{Math|''f''(''c'')}}, sebab {{Math|''f''}} mencapai nilai maksimumnya di {{Math|''c''}}. Karena itu, untuk setiap {{Math|''h'' > 0}},<math display="block">\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\le0,</math>dan karena itu,<math display="block">f'(c+):=\lim_{h\searrow0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\le0,</math>dengan limit tersebut ada berdasarkan asumsi, yang bisa saja menuju ke negatif tak terhingga. Hal ini juga berlaku sama untuk sebaliknya, yakni: untuk setiap {{Math|''h'' < 0}}, tanda pertidaksamaan tersebut berbalik arah karena penyebutnya bernilai negatif. Dengan demikian, didapatkan bahwa<math display="block">\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\ge0,</math>dan karena itu<math display="block">f'(c-):=\lim_{h\nearrow0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\ge0,</math>dengan limit tersebut bisa saja menuju ke positif tak terhingga. Setelah mendapatkan bahwa limit kanan dan kiri tersebut sama, terutama bila {{Math|''f''}} terdiferensialkan, maka turunan dari {{Math|''f''}} di {{Math|''c''}} haruslah nol.
== Contoh ==
===Contoh pertama===
[[Berkas:semicircle.svg|thumb|300px|Sebuah '''setengahSetengah lingkaran''' dengan radius {{mvar|r}}.]]
[[GrafikUntuk suatujari-jari fungsi{{math| grafik]''r'' > 0}}, misalkan terdapat fungsi<math display="block">f(x)=\sqrt{r^2-x^2},\quad x\in[-r,r] .</math>Grafik fungsi tersebut adalahmenggambarkan [[setengah lingkaran]] atas yang berpusat pada titik asal. Fungsi ini berlanjutkontinu padadi intervalselang tertutup {{math|[−''r'', ''r'']}} dan dibedakanterdiferensialkan dalam intervalselang terbuka {{math|(−''r'', ''r'')}}, tetapi tidak dapat dibedakanterdiferensialkan di titik akhir {{math|−''r''}} dan {{mvar|r}}. Setelah mencariKarena {{math|''f ''(−''r'') {{=}} ''f ''(''r'')}}, Teorema Rollemaka berlaku teorema Rolle, dan memang,demikian adaterdapat suatu titik darimanadengan turunan dari {{mvar|f}} adalahsama nilaidengan nol. Perhatikan bahwa teorema tersebut berlaku , dan bahkan ketika fungsi tidak dapat dibedakanterdiferensialkan di titik akhir , karena hanya memerlukan fungsi tersebut untuk dapatmenjadi dibedakanterdiferensialkan dalam intervalselang terbuka. ▼Untuk radius angka {{math|''r'' > 0}}, pertimbangkan dengan fungsi:
:<math>f(x)=\sqrt{r^2-x^2},\quad x\in[-r,r].</math>
▲[[Grafik suatu fungsi|grafik]] adalah [[setengah lingkaran]] atas yang berpusat pada titik asal. Fungsi ini berlanjut pada interval tertutup {{math|[−''r'', ''r'']}} dan dibedakan dalam interval terbuka {{math|(−''r'', ''r'')}}, tetapi tidak dapat dibedakan di titik akhir {{math|−''r''}} dan {{mvar|r}}. Setelah mencari {{math|''f ''(−''r'') {{=}} ''f ''(''r'')}}, Teorema Rolle berlaku, dan memang, ada titik darimana turunan {{mvar|f}} adalah nilai nol. Perhatikan bahwa teorema berlaku bahkan ketika fungsi tidak dapat dibedakan di titik akhir karena hanya memerlukan fungsi tersebut untuk dapat dibedakan dalam interval terbuka.
{{clear}}<!--Hentian ini memastikan bahwa teks pada bagian berikutnya jelas dari gambar di bagian saat ini-->
{{clear}}
===Contoh kedua===
[[Berkas:Absolute value.svg|thumb|300px|Grafik fungsi nilai absolutmutlak.]]
KemudianJika keterdiferensialan itu gagal di titik dalam selang, dapat disimpulkan bahwa teorema Rolle tidak dapat berlaku. Misalkan suatu fungsi [[nilai mutlak]]<math display="block">f(x) = |x|,\qquad x\in[-1,1],</math>maka {{math|''f ''(−1) {{=}} ''f ''(1)}} ,. tapiAkan tetapi, tidak ada nilai {{mvar|c}} di antara −1 dan 1 pada nilai {{math|''f ''′(''c'')}} adalahyang sama dengan nol. Hal tersebutItu karena fungsi itu, meskipun kontinu,tersebut tidak dapatterdiferensialkan dibedakan padadi nilai {{math|''x'' {{=}} 0}} , walaupun fungsi tersebut kontinu. Perhatikan bahwa turunan dari {{mvar|f}} mengubah tandanya padadi {{math|''x'' {{=}} 0}}, tetapi tanpa mencapai nilai 0 ., Teoremadan karena itu teorema Rolle tidak dapat diterapkan pada fungsi ini , karenasebab tidak memenuhi syarat bahwa fungsi harus dapat dibedakanterdiferensialkan untuk setiap nilai {{mvar|x}} dalamdi intervalselang terbuka. Namun, ketika persyaratansyarat diferensiabilitasketerdiferensialan dihilangkan dari teorema Rolle, fungsi {{mvar|f}} akan tetap memiliki [[ angkaTitik kritis (matematika)|titik kritis]] dalamdi intervalselang terbuka {{math|(''a'', ''b'')}}, tetapi mungkinsayangnya hal tersebut tidak dapat menghasilkan garis singgung horizontal (seperti dalam kasus nilai absolut yang ditunjukkan dalam grafik)horizontal. ▼Jika diferensiabilitas gagal pada titik interior interval, kesimpulan teorema Rolle mungkin tidak berlaku. Pertimbangkan fungsi [[nilai absolut]]:
:<math>f(x) = |x|,\qquad x\in[-1,1].</math>
▲Kemudian {{math|''f ''(−1) {{=}} ''f ''(1)}}, tapi tidak ada nilai {{mvar|c}} antara −1 dan 1 pada nilai {{math|''f ''′(''c'')}} adalah nol. Hal tersebut karena fungsi itu, meskipun kontinu, tidak dapat dibedakan pada nilai {{math|''x'' {{=}} 0}}. Perhatikan bahwa turunan dari {{mvar|f}} mengubah tandanya pada {{math|''x'' {{=}} 0}}, tetapi tanpa mencapai nilai 0. Teorema tidak dapat diterapkan pada fungsi ini karena tidak memenuhi syarat bahwa fungsi harus dapat dibedakan untuk setiap nilai {{mvar|x}} dalam interval terbuka. Namun, ketika persyaratan diferensiabilitas dihilangkan dari teorema Rolle, {{mvar|f}} akan tetap memiliki [[angka kritis]] dalam interval terbuka {{math|(''a'', ''b'')}}, tetapi mungkin tidak menghasilkan garis singgung horizontal (seperti dalam kasus nilai absolut yang ditunjukkan dalam grafik).
{{clear}}<!--Hentian ini memastikan bahwa teks pada bagian berikutnya jelas dari gambar di bagian saat ini-->
Di sini akan dibuktikan teorema yang sudah digeneralisasi.
▲Gagasan dasarnya adalah bahwa bila ''f''(''a'') = ''f''(''b''), maka ''f'' mestilah mencapai maksimum atau minimum di suatu titik antara ''a'' dan ''b''. Sebutlah titik ini ''c''. Fungsi tersebut juga harus berubah dari naik menjadi turun (atau sebaliknya) pada ''c''. Khususnya, bila turunannya ada, nilainya mestilah nol pada ''c''.
Dari asumsi, diketahui ''f'' kontinu pada [''a'',''b''] dan menurut [[teorema nilai ekstrem]] mencapai baik maksimum maupun minimumnya dalam [''a'',''b'']. Bila keduanya dicapai pada titik batas [''a'',''b''] maka ''f'' adalah fungsi konstan pada [''a'',''b''] dan turunannya adalah nol pada setiap titik pada (''a'',''b'').
Misalkan bila maksimum diperoleh pada titik dalam ''c'' pada selang (''a'', ''b'') (argumen untuk nilai minimum mirip, perhatikan −''f ''). Kita akan memeriksa limit kanan dan kiri secara terpisah.
Untuk ''h'' riil sedemikian sehingga ''c'' + ''h'' adalah dalam [''a'',''b''], nilai ''f''(''c'' + ''h'') lebih kecil atau sama dengan ''f''(''c'') karena ''f'' mencapai maksimumnya pada ''c''. Karena itu, untuk setiap ''h'' > 0,
:<math>\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\le0,</math>
sehingga
:<math>f'(c+):=\lim_{h\searrow0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\le0,</math>
di mana limit ada menurut asumsi, yang bisa saja bernilai minus tak terhingga
Dengan cara yang sama, untuk setiap ''h'' < 0, tanda pertidaksamaan berbalik karena penyebutnya negatif dan kita mendapatkan
:<math>\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\ge0,</math>
jadi
:<math>f'(c-):=\lim_{h\nearrow0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\ge0,</math>
sehingga limitnya bisa saja plus tak terhingga
Akhirnya, ketika limit kanan dan kiri di atas sama, (terutama bila ''f'' terdiferensialkan), maka turunan ''f'' di ''c'' haruslah nol.
{{clear}}
== GeneralisasiPerumuman keuntuk turunan dengan tingkat yang lebih tinggi ==
KitaTeorema jugaRolle bisadapat menggeneralisasi teorema Rollediperumum dengan mensyaratkan nilaibahwa {{mvar|f}} memiliki lebih banyak pointitik dengan nilai yang sama dan keteraturan yang lebih besar. Secara khusus, anggapmisalkan sajabahwa
* Fungsifungsi {{mvar|f}} ialah nilai[[Kemulusan#Kelas keterdiferensialan|terdiferensialkan secara kontinu]] sebanyak {{math|''n'' − 1}} kali [[Kelancaran#Kelas_diferensiasi|terusdi menerus dapat dibedakan]] pada intervalselang tertutup {{math|[''a'', ''b'']}}, dan terdapat turunan ke-{{mvar|n}} turunan daridi intervalselang terbuka {{math|(''a'', ''b'')}},; danserta
* Jika nilaiterdapat {{mvar|n}} intervalselang yang diberikandinyatakan oleh nilaidengan {{math|''a''<sub>1</sub> < ''b''<sub>1</sub> ≤ ''a''<sub>2</sub> < ''b''<sub>2</sub> ≤ … ≤ ''a<sub>n</sub>'' < ''b<sub>n</sub>''}} padadi {{math|[''a'', ''b'']}} seperti yang ada nilaisehingga {{math|''f ''(''a<sub>k</sub>'') {{=}} ''f ''(''b<sub>k</sub>'')}} untuk setiap nilai {{mvar|k}} yang berawal dari 1 hingga nilai {{mvar|n}}. Setelah itu ada nomor {{mvar|c}} pada {{math|(''a'', ''b'')}} seperti nilai {{mvar|n}} turunan dari {{mvar|f}} dengan nilai {{mvar|c}} adalah nilai nol.
Maka, terdapat suatu bilangan {{mvar|c}} di {{math|(''a'', ''b'')}} turunan ke-{{mvar|n}} dari {{mvar|f}} dengan nilai {{mvar|c}} sama dengan nol.[[Berkas:Rolle Generale.svg|thumb|290x290px|Kurva betwarna merah adalahmerupakan grafik fungsi dengan 3tiga akar dalamdi intervalselang {{math|[−3, 2]}}. Jadi turunan keduanya, yang (digambarkan dengan warnagaris berwarna hijau), juga memiliki akar dalamdi intervalselang yang sama.]]
<!--The requirements concerning the {{mvar|n}}th derivative of {{mvar|f}} can be weakened as in the generalization above, giving the corresponding (possibly weaker) assertions for the right- and left-hand limits defined above with {{math|''f ''{{isup|(''n'' − 1)}}}} in place of {{mvar|f}}.
Particularly, this version of the theorem asserts that if a function differentiable enough times has {{mvar|n}} roots (so they have the same value, that is 0), then there is an internal point where {{math|''f ''{{isup|(''n'' − 1)}}}} vanishes.-->
ThePerumuman proof usesini [[ mathematicalPembuktian melalui induksi|dibuktikan melalui inductioninduksi]]. The caseMisalkan {{math|''n'' {{=}} 1}} , ismaka simplyakan thememperlihatkan standardversi versionstandar ofteorema Rolle 's theorem. ForUntuk {{math|''n'' > 1}}, takeanggap asbahwa theperumuman inductiontersebut hypothesisbenar that the generalization is true foruntuk {{math|''n'' − 1}}. WeAgar wantingin tomembuktikannya prove it foruntuk {{mvar|n}} . Assume, theasumsi functionfungsi {{mvar|f}} satisfiesmemenuhi thehipotesis hypotheses of the theoremteorema. ByBerdasarkan theversi standardstandar, versionuntuk ofsetiap Rolle'sbilangan theorem, for every integerbulat {{mvar|k}} fromyang berawal dari 1 toke {{mvar|n}}, thereterdapat exists asuatu {{mvar|c<sub>k</sub>}} indi theselang open intervalterbuka {{math|(''a<sub>k</sub>'', ''b<sub>k</sub>'')}} such thatsehingga {{math|''f ''′(''c<sub>k</sub>'') {{=}} 0}}. Hence,Oleh thekarena first derivativeitu, satisfiesturunan thepertama assumptionsmemenuhi onasumsi thedi {{math|''n'' − 1}} closedselang intervalstertutup {{math|[''c''<sub>1</sub>, ''c''<sub>2</sub>], …, [''c''<sub>''n'' − 1</sub>, ''c<sub>n</sub>'']}}. ByDengan thedemikian, inductiondapat hypothesis,disimpulkan therebahwa isberdasarkan ahipotesis melalui induksi, terdapat suatu {{mvar|c}} suchsehingga that theturunan ke-{{math|(''n'' − 1)}} st derivative ofdari {{math|''f ''′}} atdi {{mvar|c}} issama zerodengan nol. -->▼<!--===Proof===
▲The proof uses [[mathematical induction]]. The case {{math|''n'' {{=}} 1}} is simply the standard version of Rolle's theorem. For {{math|''n'' > 1}}, take as the induction hypothesis that the generalization is true for {{math|''n'' − 1}}. We want to prove it for {{mvar|n}}. Assume the function {{mvar|f}} satisfies the hypotheses of the theorem. By the standard version of Rolle's theorem, for every integer {{mvar|k}} from 1 to {{mvar|n}}, there exists a {{mvar|c<sub>k</sub>}} in the open interval {{math|(''a<sub>k</sub>'', ''b<sub>k</sub>'')}} such that {{math|''f ''′(''c<sub>k</sub>'') {{=}} 0}}. Hence, the first derivative satisfies the assumptions on the {{math|''n'' − 1}} closed intervals {{math|[''c''<sub>1</sub>, ''c''<sub>2</sub>], …, [''c''<sub>''n'' − 1</sub>, ''c<sub>n</sub>'']}}. By the induction hypothesis, there is a {{mvar|c}} such that the {{math|(''n'' − 1)}}st derivative of {{math|''f ''′}} at {{mvar|c}} is zero.-->
== Catatan kaki ==
| 