|
[[Berkas:Rolle's theorem.svg|px|ka]]
Dalam [[kalkulus]], '''Teoremateorema Rolle''' pada dasarnya menyatakan fungsi diferensiabelterdiferensialkan dan [[fungsi kontinu|kontinu]], yang memiliki nilai sama pada dua titik, mestilah memiliki [[titik stasioner]] yang terletak di antara kedua titik tersebut. Pada titik stasioner ini, gradien [[garis singgung]] terhadap fungsi tersebut sama dengan nol.
== Versi standar ==
Bila sebuah fungsi [[bilangan riil|riil]] {{Math|''f''}} [[fungsi kontinu|kontinu]] pada selang tertutup {{Math|[''a'', ''b'']}}, [[turunan|terdiferensialkan]] pada selang terbuka {{Math|(''a'', ''b'')}}, dan {{Math|1=''f''(''a'') = ''f''(''b'')}}, maka ada bilangan {{Math|''c''}} dalam selang terbuka {{Math|(''a'', ''b'')}} sedemikian sehingga
:<math>f'(c) = 0.\,</math>
== Perumuman ==
Contoh berikut mengilustrasikan perumuman dari teorema Rolle: Misalkan terdapat fungsi kontinu bilangan riil {{Math|''f''}} di selang tertutup {{Math|[''a'', ''b'']}} dengan {{Math|1=''f''(''a'') = ''f''(''b'')}}. Bila, untuk setiap {{Math|''x''}} di selang terbuka {{Math|(''a'', ''b'')}}, dengan limit kanan<math display="block">f'(x+):=\lim_{h \to 0^+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>dan limit kiri<math display="block">f'(x-):=\lim_{h \to 0^-}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>ada di suatu garis bilangan riil yang diperluas <math>[-\infty,\infty]</math>, maka ada suatu bilangan {{Math|''c''}} pada selang terbuka {{Math|(''a'', ''b'')}} sehingga salah satu dari dua limit <math>f'(c+)</math> dan <math>f'(c-)</math>lebih besar dari sama dengan 0 dan yang lainnya lebih kecil dari sama dengan 0 (di garis bilangan riil yang diperluas). Bila limit kiri dan kanan sama untuk setiap ''{{Math|''x''}}'', maka limit ini sama pada khususnya untuk ''{{Math|''c''}}''. Jadi turunan {{Math|''f''}} ada pada {{Math|''c''}} dan sama dengan nol.
Bila ''{{Math|''f''}}'' adalah fungsi cekung atau cembung, maka turunan kiri atau kanan ada di setiap titik dalam, sehingga kedua limit di atas ada dan merupakan bilangan riil. Versi teorema Rolle yang diperumum ini cukup untuk membuktikan kecekungan fungsi bila salah satu turunan sepihak [[Fungsi menaik|menaik secara monoton]]:<ref>
{{cite book
|last = Artin
|pages = [https://archive.org/details/gammafunction00arti_501/page/n9 3]–4 }}
</ref><math display="block">f'(x-) \le f'(x+) \le f'(y-)</math>dengan <math>x < y</math>.
GagasanTujuan dasarnyapembuktian adalahini bahwa bila {{Math|1=''f''(''a'') = ''f''(''b'') }}, maka {{Math|''f'' }} mestilahharus mencapai nilai [[Maksimum dan minimum|maksimum atau minimum ]] di suatu titik di antara {{Math|''a'' }} dan {{Math|''b'' .}}, Sebutlahkatakanlah titik initersebut diberi lambang {{Math|''c'' }}. Fungsi tersebut juga harus berubah dari naikfungsi menjadimenaik turunhingga menurun (atau sebaliknya) padadi {{Math|''c'' }}. KhususnyaSecara khusus, bila turunannya ada, maka nilainya mestilahharus nol padadi {{Math|''c'' }}. ▼
Berdasarkan asumsi, diketahui bahwa {{Math|''f''}} kontinu di {{Math|[''a'', ''b'']}}, dan menurut [[teorema nilai ekstrem]], {{Math|''f''}} mencapai nilai maksimum maupun minimumnya di {{Math|[''a'', ''b'']}}. Bila keduanya tercapai di titik batas {{Math|[''a'', ''b'']}}, maka {{Math|''f''}} adalah [[fungsi konstan]] di {{Math|[''a'', ''b'']}}, dan turunannya akan sama dengan nol pada setiap titik di {{Math|(''a'', ''b'')}}. Misalkan bila nilai maksimum diperoleh di [[titik dalam]] {{Math|''c''}} di selang {{Math|(''a'', ''b'')}} (argumen untuk nilai minimumnya mirip, seperti pada <math>-f</math>), maka dapat diperiksa limit kanan dan kiri. Untuk suatu {{Math|''h''}} bilangan real sehingga {{Math|''c'' + ''h''}} ada di {{Math|[''a'', ''b'']}}, nilai {{Math|''f''(''c'' + ''h'')}} lebih kecil atau sama dengan {{Math|''f''(''c'')}}, sebab {{Math|''f''}} mencapai nilai maksimumnya di {{Math|''c''}}. Karena itu, untuk setiap {{Math|''h'' > 0}},<math display="block">\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\le0,</math>dan karena itu,<math display="block">f'(c+):=\lim_{h\searrow0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\le0,</math>dengan limit tersebut ada berdasarkan asumsi, yang bisa saja menuju ke negatif tak terhingga. Hal ini juga berlaku sama untuk sebaliknya, yakni: untuk setiap {{Math|''h'' < 0}}, tanda pertidaksamaan tersebut berbalik arah karena penyebutnya bernilai negatif. Dengan demikian, didapatkan bahwa<math display="block">\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\ge0,</math>dan karena itu<math display="block">f'(c-):=\lim_{h\nearrow0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\ge0,</math>dengan limit tersebut bisa saja menuju ke positif tak terhingga. Setelah mendapatkan bahwa limit kanan dan kiri tersebut sama, terutama bila {{Math|''f''}} terdiferensialkan, maka turunan dari {{Math|''f''}} di {{Math|''c''}} haruslah nol.
== Contoh ==
===Contoh pertama===
[[Berkas:semicircle.svg|thumb|300px|'''Setengah lingkaran''' dengan radius {{mvar|r}}.]]
Untuk jari-jari {{math|''r'' > 0}}, misalkan terdapat fungsi<math display="block">f(x)=\sqrt{r^2-x^2},\quad x\in[-r,r].</math>Grafik fungsi tersebut menggambarkan [[setengah lingkaran]] atas yang berpusat pada titik asal. Fungsi ini kontinu di intervalselang tertutup {{math|[−''r'', ''r'']}} dan terdiferensialkan dalam intervalselang terbuka {{math|(−''r'', ''r'')}}, tetapi tidak terdiferensialkan di titik akhir {{math|−''r''}} dan {{mvar|r}}. Karena {{math|''f ''(−''r'') {{=}} ''f ''(''r'')}}, maka berlaku teorema Rolle, dan demikian terdapat suatu titik dengan turunan dari {{mvar|f}} bernilaisama dengan nol. Perhatikan bahwa teorema tersebut berlaku, dan bahkan ketika fungsi tidak terdiferensialkan di titik akhir, karena hanya memerlukan fungsi tersebut menjadi terdiferensialkan dalam intervalselang terbuka.
{{clear}}
===Contoh kedua===
[[Berkas:Absolute value.svg|thumb|300px|Grafik fungsi nilai absolutmutlak.]]
Jika keterdiferensialan itu gagal di titik dalam intervalselang, dapat disimpulkan bahwa teorema Rolle tidak dapat berlaku. Misalkan suatu fungsi [[nilai mutlak]]<math display="block">f(x) = |x|,\qquad x\in[-1,1],</math>maka {{math|''f ''(−1) {{=}} ''f ''(1)}}. Akan tetapi, tidak ada nilai {{mvar|c}} di antara −1 dan 1 pada nilai {{math|''f ''′(''c'')}} yang bernilaisama dengan nol. Itu karena fungsi tersebut tidak terdiferensialkan di nilai {{math|''x'' {{=}} 0}}, walaupun fungsi tersebut kontinu. Perhatikan bahwa turunan dari {{mvar|f}} mengubah tandanya di {{math|''x'' {{=}} 0}}, tetapi tanpa mencapai nilai 0, dan karena itu teorema Rolle tidak dapat diterapkan pada fungsi ini, sebab tidak memenuhi syarat bahwa fungsi harus terdiferensialkan untuk setiap nilai {{mvar|x}} di intervalselang terbuka. Namun, ketika syarat keterdiferensialan dihilangkan dari teorema Rolle, fungsi {{mvar|f}} akan tetap memiliki [[Titik kritis (matematika)|titik kritis]] di intervalselang terbuka {{math|(''a'', ''b'')}}, tetapi sayangnya hal tersebut tidak dapat menghasilkan garis singgung yang horizontal.
{{clear}}
== GeneralisasiPerumuman keuntuk turunan dengan tingkat yang lebih tinggi == ▼Di sini akan dibuktikan teorema yang sudah digeneralisasi.
▲Gagasan dasarnya adalah bahwa bila ''f''(''a'') = ''f''(''b''), maka ''f'' mestilah mencapai maksimum atau minimum di suatu titik antara ''a'' dan ''b''. Sebutlah titik ini ''c''. Fungsi tersebut juga harus berubah dari naik menjadi turun (atau sebaliknya) pada ''c''. Khususnya, bila turunannya ada, nilainya mestilah nol pada ''c''.
Dari asumsi, diketahui ''f'' kontinu pada [''a'',''b''] dan menurut [[teorema nilai ekstrem]] mencapai baik maksimum maupun minimumnya dalam [''a'',''b'']. Bila keduanya dicapai pada titik batas [''a'',''b''] maka ''f'' adalah fungsi konstan pada [''a'',''b''] dan turunannya adalah nol pada setiap titik pada (''a'',''b'').
Misalkan bila maksimum diperoleh pada titik dalam ''c'' pada selang (''a'', ''b'') (argumen untuk nilai minimum mirip, perhatikan −''f ''). Kita akan memeriksa limit kanan dan kiri secara terpisah.
Untuk ''h'' riil sedemikian sehingga ''c'' + ''h'' adalah dalam [''a'',''b''], nilai ''f''(''c'' + ''h'') lebih kecil atau sama dengan ''f''(''c'') karena ''f'' mencapai maksimumnya pada ''c''. Karena itu, untuk setiap ''h'' > 0,
:<math>\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\le0,</math>
sehingga
:<math>f'(c+):=\lim_{h\searrow0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\le0,</math>
di mana limit ada menurut asumsi, yang bisa saja bernilai minus tak terhingga
Dengan cara yang sama, untuk setiap ''h'' < 0, tanda pertidaksamaan berbalik karena penyebutnya negatif dan kita mendapatkan
:<math>\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\ge0,</math>
jadi
:<math>f'(c-):=\lim_{h\nearrow0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\ge0,</math>
sehingga limitnya bisa saja plus tak terhingga
Akhirnya, ketika limit kanan dan kiri di atas sama, (terutama bila ''f'' terdiferensialkan), maka turunan ''f'' di ''c'' haruslah nol.
▲== Generalisasi ke turunan yang lebih tinggi ==
KitaTeorema jugaRolle bisadapat menggeneralisasi teorema Rollediperumum dengan mensyaratkan nilaibahwa {{mvar|f}} memiliki lebih banyak pointitik dengan nilai yang sama dan keteraturan yang lebih besar. Secara khusus, anggapmisalkan sajabahwa
* Fungsifungsi {{mvar|f}} ialah nilai[[Kemulusan#Kelas keterdiferensialan|terdiferensialkan secara kontinu]] sebanyak {{math|''n'' − 1}} kali [[Kelancaran#Kelas_diferensiasi|terusdi menerus dapat dibedakan]] pada intervalselang tertutup {{math|[''a'', ''b'']}}, dan terdapat turunan ke-{{mvar|n}} turunan daridi intervalselang terbuka {{math|(''a'', ''b'')}},; danserta
* Jika nilaiterdapat {{mvar|n}} intervalselang yang diberikandinyatakan oleh nilaidengan {{math|''a''<sub>1</sub> < ''b''<sub>1</sub> ≤ ''a''<sub>2</sub> < ''b''<sub>2</sub> ≤ … ≤ ''a<sub>n</sub>'' < ''b<sub>n</sub>''}} padadi {{math|[''a'', ''b'']}} seperti yang ada nilaisehingga {{math|''f ''(''a<sub>k</sub>'') {{=}} ''f ''(''b<sub>k</sub>'')}} untuk setiap nilai {{mvar|k}} yang berawal dari 1 hingga nilai {{mvar|n}}. Setelah itu ada nomor {{mvar|c}} pada {{math|(''a'', ''b'')}} seperti nilai {{mvar|n}} turunan dari {{mvar|f}} dengan nilai {{mvar|c}} adalah nilai nol.
Maka, terdapat suatu bilangan {{mvar|c}} di {{math|(''a'', ''b'')}} turunan ke-{{mvar|n}} dari {{mvar|f}} dengan nilai {{mvar|c}} sama dengan nol.[[Berkas:Rolle Generale.svg|thumb|290x290px|Kurva betwarna merah adalahmerupakan grafik fungsi dengan 3tiga akar dalamdi intervalselang {{math|[−3, 2]}}. Jadi turunan keduanya, yang (digambarkan dengan warnagaris berwarna hijau), juga memiliki akar dalamdi intervalselang yang sama.]]
<!--The requirements concerning the {{mvar|n}}th derivative of {{mvar|f}} can be weakened as in the generalization above, giving the corresponding (possibly weaker) assertions for the right- and left-hand limits defined above with {{math|''f ''{{isup|(''n'' − 1)}}}} in place of {{mvar|f}}.
=== Pembuktian ===
Particularly, this version of the theorem asserts that if a function differentiable enough times has {{mvar|n}} roots (so they have the same value, that is 0), then there is an internal point where {{math|''f ''{{isup|(''n'' − 1)}}}} vanishes.-->
ThePerumuman proof usesini [[ mathematicalPembuktian melalui induksi|dibuktikan melalui inductioninduksi]]. The caseMisalkan {{math|''n'' {{=}} 1}} , ismaka simplyakan thememperlihatkan standardversi versionstandar ofteorema Rolle 's theorem. ForUntuk {{math|''n'' > 1}}, takeanggap asbahwa theperumuman inductiontersebut hypothesisbenar that the generalization is true foruntuk {{math|''n'' − 1}}. WeAgar wantingin tomembuktikannya prove it foruntuk {{mvar|n}} . Assume, theasumsi functionfungsi {{mvar|f}} satisfiesmemenuhi thehipotesis hypotheses of the theoremteorema. ByBerdasarkan theversi standardstandar, versionuntuk ofsetiap Rolle'sbilangan theorem, for every integerbulat {{mvar|k}} fromyang berawal dari 1 toke {{mvar|n}}, thereterdapat exists asuatu {{mvar|c<sub>k</sub>}} indi theselang open intervalterbuka {{math|(''a<sub>k</sub>'', ''b<sub>k</sub>'')}} such thatsehingga {{math|''f ''′(''c<sub>k</sub>'') {{=}} 0}}. Hence,Oleh thekarena first derivativeitu, satisfiesturunan thepertama assumptionsmemenuhi onasumsi thedi {{math|''n'' − 1}} closedselang intervalstertutup {{math|[''c''<sub>1</sub>, ''c''<sub>2</sub>], …, [''c''<sub>''n'' − 1</sub>, ''c<sub>n</sub>'']}}. ByDengan thedemikian, inductiondapat hypothesis,disimpulkan therebahwa isberdasarkan ahipotesis melalui induksi, terdapat suatu {{mvar|c}} suchsehingga that theturunan ke-{{math|(''n'' − 1)}} st derivative ofdari {{math|''f ''′}} atdi {{mvar|c}} issama zerodengan nol. -->▼<!--===Proof===
▲The proof uses [[mathematical induction]]. The case {{math|''n'' {{=}} 1}} is simply the standard version of Rolle's theorem. For {{math|''n'' > 1}}, take as the induction hypothesis that the generalization is true for {{math|''n'' − 1}}. We want to prove it for {{mvar|n}}. Assume the function {{mvar|f}} satisfies the hypotheses of the theorem. By the standard version of Rolle's theorem, for every integer {{mvar|k}} from 1 to {{mvar|n}}, there exists a {{mvar|c<sub>k</sub>}} in the open interval {{math|(''a<sub>k</sub>'', ''b<sub>k</sub>'')}} such that {{math|''f ''′(''c<sub>k</sub>'') {{=}} 0}}. Hence, the first derivative satisfies the assumptions on the {{math|''n'' − 1}} closed intervals {{math|[''c''<sub>1</sub>, ''c''<sub>2</sub>], …, [''c''<sub>''n'' − 1</sub>, ''c<sub>n</sub>'']}}. By the induction hypothesis, there is a {{mvar|c}} such that the {{math|(''n'' − 1)}}st derivative of {{math|''f ''′}} at {{mvar|c}} is zero.-->
== Catatan kaki ==
|
