Teorema Rolle: Perbedaan antara revisi

Dalam [[kalkulus]], '''teorema Rolle''' pada dasarnya menyatakan fungsi terdiferensialkan dan [[fungsi kontinu|kontinu]], yang memiliki nilai sama pada dua titik, mestilah memiliki [[titik stasioner]] yang terletak di antara kedua titik tersebut. Pada titik stasioner ini, gradien [[garis singgung]] terhadap fungsi tersebut sama dengan nol.

Berdasarkan asumsi, diketahui bahwa {{Math|''f''}} kontinu di {{Math|[''a'', ''b'']}}, dan menurut [[teorema nilai ekstrem]], {{Math|''f''}} mencapai nilai maksimum maupun minimumnya di {{Math|[''a'', ''b'']}}. Bila keduanya tercapai di titik batas {{Math|[''a'', ''b'']}}, maka {{Math|''f''}} adalah [[fungsi konstan]] di {{Math|[''a'', ''b'']}}, dan turunannya akan sama dengan nol pada setiap titik di {{Math|(''a'', ''b'')}}. Misalkan bila nilai maksimum diperoleh di [[titik dalam]] {{Math|''c''}} di selang {{Math|(''a'', ''b'')}} (argumen untuk nilai minimumnya mirip, seperti pada <math>-f</math>), maka dapat diperiksa limit kanan dan kiri. Untuk suatu {{Math|''h''}} bilangan real sehingga {{Math|''c'' + ''h''}} ada di {{Math|[''a'', ''b'']}}, nilai {{Math|''f''(''c'' + ''h'')}} lebih kecil atau sama dengan {{Math|''f''(''c'')}}, sebab {{Math|''f''}} mencapai nilai maksimumnya di {{Math|''c''}}. Karena itu, untuk setiap {{Math|''h'' > 0}},<math display="block">\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\le0,</math>dan karena itu,<math display="block">f'(c+):=\lim_{h\searrow0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\le0,</math>dengan limit tersebut ada berdasarkan asumsi, yang bisa saja menuju ke negatif tak terhingga. Hal ini juga berlaku sama untuk sebaliknya, yakni: untuk setiap {{Math|''h'' < 0}}, tanda pertidaksamaan tersebut berbalik arah karena penyebutnya bernilai negatif. Dengan demikian, didapatkan bahwa<math display="block">\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\ge0,</math>dan karena itu<math display="block">f'(c-):=\lim_{h\nearrow0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\ge0,</math>dengan limit tersebut bisa saja menuju ke positif tak terhingga. Setelah mendapatkan bahwa limit kanan dan kiri tersebut sama, terutama bila {{Math|''f''}} terdiferensialkan, maka turunan dari {{Math|''f''}} di {{Math|''c''}} haruslah nol.