Teorema Rolle: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
k →Catatan kaki: subbagian baru |
Roniyronron (bicara | kontrib) Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan. |
||
| (30 revisi perantara oleh 16 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
[[Berkas:Rolle's theorem.svg|
Dalam [[kalkulus]], '''
== Versi standar ==
Bila sebuah fungsi [[bilangan riil|riil]] {{Math|''f''}} [[fungsi kontinu|kontinu]] pada selang tertutup
:<math>f'(c) = 0.\,</math>
Versi
==
Contoh berikut mengilustrasikan perumuman dari teorema Rolle: Misalkan terdapat fungsi kontinu bilangan riil {{Math|''f''}} di selang tertutup {{Math|[''a'', ''b'']}} dengan {{Math|1=''f''(''a'') = ''f''(''b'')}}. Bila, untuk setiap {{Math|''x''}} di selang terbuka {{Math|(''a'', ''b'')}}, dengan limit kanan<math display="block">f'(x+):=\lim_{h \to 0^+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>dan limit kiri<math display="block">f'(x-):=\lim_{h \to 0^-}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>ada di suatu garis bilangan riil yang diperluas <math>[-\infty,\infty]</math>, maka ada suatu bilangan {{Math|''c''}} pada selang terbuka {{Math|(''a'', ''b'')}} sehingga salah satu dari dua limit <math>f'(c+)</math> dan <math>f'(c-)</math>lebih besar dari sama dengan 0 dan yang lainnya lebih kecil dari sama dengan 0 (di garis bilangan riil yang diperluas). Bila limit kiri dan kanan sama untuk setiap ''{{Math|''x''}}'', maka limit ini sama pada khususnya untuk {{Math|''c''}}. Jadi turunan {{Math|''f''}} ada pada {{Math|''c''}} dan sama dengan nol.
{{cite book▼
|url = https://archive.org/details/gammafunction00arti_501
|pages = [https://archive.org/details/gammafunction00arti_501/page/n9 3]–4 }}
=== Pembuktian ===▼
Tujuan pembuktian ini bahwa bila {{Math|1=''f''(''a'') = ''f''(''b'')}}, maka {{Math|''f''}} harus mencapai nilai [[Maksimum dan minimum|maksimum atau minimum]] di suatu titik di antara {{Math|''a''}} dan {{Math|''b''}}, katakanlah titik tersebut diberi lambang {{Math|''c''}}. Fungsi tersebut juga harus berubah dari fungsi menaik hingga menurun (atau sebaliknya) di {{Math|''c''}}. Secara khusus, bila turunannya ada, maka nilainya harus nol di {{Math|''c''}}.
Berdasarkan asumsi, diketahui bahwa {{Math|''f''}} kontinu di {{Math|[''a'', ''b'']}}, dan menurut [[teorema nilai ekstrem]], {{Math|''f''}} mencapai nilai maksimum maupun minimumnya di {{Math|[''a'', ''b'']}}. Bila keduanya tercapai di titik batas {{Math|[''a'', ''b'']}}, maka {{Math|''f''}} adalah [[fungsi konstan]] di {{Math|[''a'', ''b'']}}, dan turunannya akan sama dengan nol pada setiap titik di {{Math|(''a'', ''b'')}}. Misalkan bila nilai maksimum diperoleh di [[titik dalam]] {{Math|''c''}} di selang {{Math|(''a'', ''b'')}} (argumen untuk nilai minimumnya mirip, seperti pada <math>-f</math>), maka dapat diperiksa limit kanan dan kiri. Untuk suatu {{Math|''h''}} bilangan real sehingga {{Math|''c'' + ''h''}} ada di {{Math|[''a'', ''b'']}}, nilai {{Math|''f''(''c'' + ''h'')}} lebih kecil atau sama dengan {{Math|''f''(''c'')}}, sebab {{Math|''f''}} mencapai nilai maksimumnya di {{Math|''c''}}. Karena itu, untuk setiap {{Math|''h'' > 0}},<math display="block">\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\le0,</math>dan karena itu,<math display="block">f'(c+):=\lim_{h\searrow0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\le0,</math>dengan limit tersebut ada berdasarkan asumsi, yang bisa saja menuju ke negatif tak terhingga. Hal ini juga berlaku sama untuk sebaliknya, yakni: untuk setiap {{Math|''h'' < 0}}, tanda pertidaksamaan tersebut berbalik arah karena penyebutnya bernilai negatif. Dengan demikian, didapatkan bahwa<math display="block">\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\ge0,</math>dan karena itu<math display="block">f'(c-):=\lim_{h\nearrow0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\ge0,</math>dengan limit tersebut bisa saja menuju ke positif tak terhingga. Setelah mendapatkan bahwa limit kanan dan kiri tersebut sama, terutama bila {{Math|''f''}} terdiferensialkan, maka turunan dari {{Math|''f''}} di {{Math|''c''}} haruslah nol.
== Contoh ==
===Contoh pertama===
[[Berkas:semicircle.svg|thumb|300px|'''Setengah lingkaran''' dengan radius {{mvar|r}}.]]
Untuk jari-jari {{math|''r'' > 0}}, misalkan terdapat fungsi<math display="block">f(x)=\sqrt{r^2-x^2},\quad x\in[-r,r].</math>Grafik fungsi tersebut menggambarkan [[setengah lingkaran]] atas yang berpusat pada titik asal. Fungsi ini kontinu di selang tertutup {{math|[−''r'', ''r'']}} dan terdiferensialkan dalam selang terbuka {{math|(−''r'', ''r'')}}, tetapi tidak terdiferensialkan di titik akhir {{math|−''r''}} dan {{mvar|r}}. Karena {{math|''f ''(−''r'') {{=}} ''f ''(''r'')}}, maka berlaku teorema Rolle, dan demikian terdapat suatu titik dengan turunan dari {{mvar|f}} sama dengan nol. Perhatikan bahwa teorema tersebut berlaku, dan bahkan ketika fungsi tidak terdiferensialkan di titik akhir, karena hanya memerlukan fungsi tersebut menjadi terdiferensialkan dalam selang terbuka.
{{clear}}
===Contoh kedua===
[[Berkas:Absolute value.svg|thumb|300px|Grafik fungsi nilai mutlak.]]
Jika keterdiferensialan itu gagal di titik dalam selang, dapat disimpulkan bahwa teorema Rolle tidak dapat berlaku. Misalkan suatu fungsi [[nilai mutlak]]<math display="block">f(x) = |x|,\qquad x\in[-1,1],</math>maka {{math|''f ''(−1) {{=}} ''f ''(1)}}. Akan tetapi, tidak ada nilai {{mvar|c}} di antara −1 dan 1 pada nilai {{math|''f ''′(''c'')}} yang sama dengan nol. Itu karena fungsi tersebut tidak terdiferensialkan di nilai {{math|''x'' {{=}} 0}}, walaupun fungsi tersebut kontinu. Perhatikan bahwa turunan dari {{mvar|f}} mengubah tandanya di {{math|''x'' {{=}} 0}}, tetapi tanpa mencapai nilai 0, dan karena itu teorema Rolle tidak dapat diterapkan pada fungsi ini, sebab tidak memenuhi syarat bahwa fungsi harus terdiferensialkan untuk setiap nilai {{mvar|x}} di selang terbuka. Namun, ketika syarat keterdiferensialan dihilangkan dari teorema Rolle, fungsi {{mvar|f}} akan tetap memiliki [[Titik kritis (matematika)|titik kritis]] di selang terbuka {{math|(''a'', ''b'')}}, tetapi sayangnya hal tersebut tidak dapat menghasilkan garis singgung yang horizontal.
{{clear}}
== Perumuman untuk turunan dengan tingkat yang lebih tinggi ==
Teorema Rolle dapat diperumum dengan mensyaratkan bahwa {{mvar|f}} memiliki lebih banyak titik dengan nilai yang sama dan keteraturan yang lebih besar. Secara khusus, misalkan bahwa
▲#Bila ''f'' adalah cekung atau cembung, maka turunan kiri atau kanan ada pada setiap titik dalam, sehingga kedua limit di atas ada dan merupakan bilangan riil
* fungsi {{mvar|f}} [[Kemulusan#Kelas keterdiferensialan|terdiferensialkan secara kontinu]] sebanyak {{math|''n'' − 1}} kali di selang tertutup {{math|[''a'', ''b'']}}, dan terdapat turunan ke-{{mvar|n}} di selang terbuka {{math|(''a'', ''b'')}}; serta
* terdapat {{mvar|n}} selang yang dinyatakan dengan {{math|''a''<sub>1</sub> < ''b''<sub>1</sub> ≤ ''a''<sub>2</sub> < ''b''<sub>2</sub> ≤ … ≤ ''a<sub>n</sub>'' < ''b<sub>n</sub>''}} di {{math|[''a'', ''b'']}} sehingga {{math|''f ''(''a<sub>k</sub>'') {{=}} ''f ''(''b<sub>k</sub>'')}} untuk setiap nilai {{mvar|k}} yang berawal dari 1 hingga nilai {{mvar|n}}.
Maka, terdapat suatu bilangan {{mvar|c}} di {{math|(''a'', ''b'')}} turunan ke-{{mvar|n}} dari {{mvar|f}} dengan nilai {{mvar|c}} sama dengan nol.[[Berkas:Rolle Generale.svg|thumb|290x290px|Kurva betwarna merah merupakan grafik fungsi dengan tiga akar di selang {{math|[−3, 2]}}. Jadi turunan keduanya, yang digambarkan dengan garis berwarna hijau, juga memiliki akar di selang yang sama.]]
▲{{cite book
▲ | last = Artin
▲ | first = Emil
▲ | authorlink = Emil Artin
▲ | others = trans. Michael Butler
▲ | title = The Gamma Function
▲ | origyear = 1931
▲ | year = 1964
▲ | publisher = [[Holt, Rinehart and Winston]]
▲::<math>f'(x-) \le f'(x+) \le f'(y-),\qquad x < y.</math>
Perumuman ini [[Pembuktian melalui induksi|dibuktikan melalui induksi]]. Misalkan {{math|''n'' {{=}} 1}}, maka akan memperlihatkan versi standar teorema Rolle. Untuk {{math|''n'' > 1}}, anggap bahwa perumuman tersebut benar untuk {{math|''n'' − 1}}. Agar ingin membuktikannya untuk {{mvar|n}}, asumsi fungsi {{mvar|f}} memenuhi hipotesis teorema. Berdasarkan versi standar, untuk setiap bilangan bulat {{mvar|k}} yang berawal dari 1 ke {{mvar|n}}, terdapat suatu {{mvar|c<sub>k</sub>}} di selang terbuka {{math|(''a<sub>k</sub>'', ''b<sub>k</sub>'')}} sehingga {{math|''f ''′(''c<sub>k</sub>'') {{=}} 0}}. Oleh karena itu, turunan pertama memenuhi asumsi di {{math|''n'' − 1}} selang tertutup {{math|[''c''<sub>1</sub>, ''c''<sub>2</sub>], …, [''c''<sub>''n'' − 1</sub>, ''c<sub>n</sub>'']}}. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa berdasarkan hipotesis melalui induksi, terdapat suatu {{mvar|c}} sehingga turunan ke-{{math|(''n'' − 1)}} dari {{math|''f ''′}} di {{mvar|c}} sama dengan nol.
▲== Pembuktian ==
== Catatan kaki ==
{{reflist}}
Baris 52 ⟶ 60:
* {{en}}[http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Calculus/MVT.shtml Teorema Rolle dan Teorema Nilai Rata-rata] pada [[cut-the-knot]]
[[Kategori:Kalkulus]]▼
▲[[Kategori:Kalkulus|Rolle]]
[[
▲[[en:Rolle's theorem]]
| |||