Wikipedia

Himpunan hingga: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnya
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
HsfBot (bicara | kontrib)
Bot
1.172.010 suntingan
k v2.04b - Fixed using Wikipedia:ProyekWiki Cek Wikipedia (Kesalahan pranala pipa)
LarvaHijrah (bicara | kontrib)
62 suntingan
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan.
 
(4 revisi perantara oleh 2 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 1:
{{Periksa terjemahan}}
 
Dalam [[matematika]] (khususnya [[teori himpunan]]); sebuah '''himpunan hingga''' atau '''himpunan berhingga''' merupakan sebuah himpunan hingga yang memilikimempunyai jumlah [[Elemen (matematika)|elemenanggota]] yang [[wiktionary:finite|terhingga]] (terbatas). Secara informal, sebuah himpunan hingga merupakan sebuah himpunan yang salah satunya dapat dalam pencacahan prinsip dan selesai mencacahkan. Sebagai contoh,
 
:<math>\{2,4,6,8,10\}</math>
 
merupakan sebuah himpunan hingga dengan lima elemen. Jumlah elemen dari sebuah himpunan hingga merupakan sebuah [[bilangan asli]] (sebuah [[bilangan bulat]] [[Tanda (matematika)#Terminologi tanda bagi non-negatif dan non-positif|taknegatif]]) dan disebut ''[[kekardinalan]]'' dari himpunan. Sebuah himpunan yang tidak terhingga disebut ''[[Himpunan takhingga|takhingga]]''. Sebagai contoh, himpunan semua bilangan bulat positif adalah takhingga.
 
:<math>\{1,2,3,\dots\}</math>
 
Himpunan hingga secara khusus penting dalam [[kombinatorika]], studicabang matematika yang mempelajari [[pencacahan]]. Banyak argumen yang melibatkan himpunan hingga yang mengandalkan [[prinsip rumah burung]], yang menyatakanmengatakan bahwa tidak mungkin ada sebuah [[fungsi injektif]] dari sebuahsuatu himpunan hingga yang lebih besar ke sebuah himpunan hingga yang lebih kecil.
 
== Definisi dan terminologi ==
finisi dan terminologie
 
Secara umum, sebuah himpunan <math>S</math> dikatakan '''terhingga''' jika terdapat sebuah [[bijeksi]]
 
:<math display="block">f\colon S \rightarrow \{1,\dots,n\}</math>
 
untuk suatu bilangan asli <math>n</math>. Bilangan <math>n</math> adalah sebuahmerupakan kekardinalan himpunan, dilambangkan(yang dinyatakan sebagai <math>\left|S\right|</math>). [[Himpunan kosong]] <math>\{\}</math> atau <math>\varnothing</math>, dianggap terhingga, dengan kekardinalan himpunannya adalah nol.<ref>{{harvtxt|Apostol|1974|p=38}}</ref><ref>{{harvtxt|Cohn|1981|p=7}}</ref><ref>{{harvtxt|Labarre|1968|p=41}}</ref><ref>{{harvtxt|Rudin|1976|p=25}}</ref>
 
Jika sebuah himpunan adalah terhingga, elemennyamaka anggotanya dapat ditulis — dalam banyak cara — dalam sebuah [[barisan]]:
 
:<math display="blockinline">x_1,x_2,\ldots,x_n \quad (x_i \in S, \ 1 \le i \le n).</math>
 
Dalam [[kombinatorika]], sebuah himpunan hingga dengan elemen <math>n </math> terkadang disebut sebagai ''himpunan-''<math>n </math> dan sebuah himpunan bagian dengan elemen <math>k</math> disebut sebuah ''himpunan bagian-''<math>k</math>. Sebagai contoh, himpunan <math>\{5,6,7\}</math> adalah sebuah himpunan-3 – sebuah himpunan hingga dengan tiga elemen dan <math>\{6,7\}</math> adalah sebuah himpunan bagian-2 darinya.
 
(Yang terkenal ini dengan definisi dari bilangan aslinya sendiri karena konvensional dalam teori himpunan. yang disebut [[Bilangan asli#Konstruksi von Neumann|konstruksi von Neumann]], mungkin lebih suka menggunakan keberadaan bijeksi <math>f\colon S \rightarrow n</math>, yang mana merupakan setara.)
 
== Sifat-sifat dasar ==
Setiap [[Himpunanhimpunan bagian]] wajar apapun dari sebuahsuatu himpunan hingga <math> S</math> danadalah memilikiterhingga dan elemenmempunyai yang lebih sedikit daripada himpunan <math> S</math> itu sendiisendiri. Sebagai sebuah konsekuensiAkibatnya, tidak mungkin ada sebuah [[bijeksi]] antara sebuah himpunan hingga <math> S</math> dan sebuah himpunan bagian wajar <math> S</math>. Setiap himpunan dengan sifat ini disebut [[hingga-Dedekind]]. Menggunakan aksioma [[Teori himpunan Zermelo–Fraenkel|ZFC]] standar untuk [[teori himpunan]], setiap himpunan hingga-Dedekind juga terhingga, tetapi implikasi ini tidak dapat dibuktikan dalam ZF (aksioma Zermelo–Fraenkel tanap [[aksioma pemilihan]]) sendiri. [[Aksioma pemilihan tercacahkan]], sebuah versi yang lemah dari aksioma pemilihan, cukup untuk membuktikan kesetaraan ini.
 
FungsiSetiap fungsi injektif apapun yang diantara dua himpunan hingga dari kekardinalan yang sama juga merupakan sebuah [[fungsi surjektif]] (sebuah surjeksi). Dengan cara yang sama, setiap surjeksifungsi surjektif antara dua himpunan hingga dari kekardinalan yang sama juga merupakan sebuah injeksi.
 
Gabungan dari dua himpunan hingga adalah terhingga, dengan
 
:<math>\left|S \cup T\right| =\le \left|S\right|+ \left|T\right|.</math>
 
FaktanyaBahkan, olehmenurut [[prinsip inklusi–enklusi]]:
 
:<math>\left|S \cup T \right| = \left|S\right| + \left|T\right| - \left|S\cap T\right|. </math>
 
Lebih umum lagi, gabungan dari setiap bilanganjumlah hingga dari himpunan hingga adalah terhingga. [[ProdukDarab Kartesius]] dari himpunan hingga juga terhingga dengan:
 
:<math>\left|S \times T\right| = \left|S\right| \times \left|T\right|.</math>
 
Dengan cara yang sama, produkdarab CartesiusKartesius dari banyaknya himpunan hingga adalah terhingga. Sebuah himpunanHimpunan hingga dengan elemen <math> n </math> mempunyai <math>2^n</math> himpunan bagian yang berbeda. YaituDalam artian, [[himpunan kuasa]] sebuah himpunan hingga adalah terhingga, dengan kekardinalan <math>2^n</math>.
 
Himpunan bagianSetiap apapunsubhimpunan dari sebuahsuatu himpunan hingga merupakanadalah terhingga. Himpunan dari nilai sebuahsuatu fungsi ketika diterapkan ke elemenanggota sebuahsuatu himpunan hingga adalah terhingga, dengan kekardinalan <math>2^{\left|S\right|}</math>.
 
Semua himpunan hingga adalah [[tercacahkan]], tetapinamun tidak semua himpunan tercacahkan merupakanadalah terhingga. (Beberapa penulis, namun, menggunakan "tercacahkan" mengartikan "takhingga tercacah", jadi jangan anggap himipunan hingga menjadi tercacahkan.)
 
[[Semikekisi bebas]] pada sebuah himpunan hingga merupakan himpunan dari himpunan bagiansubhimpunan kosongnya, dengan [[Sambungan dan pertemuan|operasi sambungan]] telah diberikan oleh gabungan himpunan.
 
== Syarat perlu dan cukup untuk keterhinggaan ==
Dalam teori himpunan Zermelo–Fraenkel tanpa aksioma pemilihan (ZF), syarat-syarat berikut merupakan ekuivalen semua:{{Citation needed|date=October 2009}}
 
# <math> S </math> merupakan sebuah himpunan hingga. YakniDalam artian, <math> S</math> dapat diletakkan menjadi sebuah padanan satu-ke-satu dengan himpunan bilangan bulat itubulatnya lebih kecil dari suatu bilangan asli spesifik.
# ([[Kazimierz Kuratowski]]) <math> S </math> memiliki semua sifat-sifat yang dapat dibuktikan oleh induksi matematika dimulia dengan himpunan kosong dan menambahkan satu elemen baru sekaligus. (Lihat di bawah untuk perumusan teoretis himpunan keterhinggaan Kuratowski.)
# ([[Paul Stackel]]) <math> S </math> dapat diberikan sebuah [[urutan total]] yang terurut rapi di depan dan di belakang. Yaitu, setiap himpunan bagian takkosong <math> S </math> memiliki sebuah elemen terkecil dan terbesar dalam himpunan bagian.
# Setiap fungsi satu-ke-satu dari <math>\mathcal{P}(\mathcal{P}(S))</math> menjadi sendirinya adalah [[pada]], Yaitu, [[himpunan kuasa]] dari himpunan kuasa <math> S </math> adalah hingga-Dedekind (lihat di bawah).<ref>The equivalence of the standard numerical definition of finite sets to the Dedekind-finiteness of the power set of the power set was shown in 1912 by {{harvnb|Whitehead|Russell|2009|p=288}}. This Whitehead/Russell theorem is described in more modern language by {{harvnb|Tarski|1924|pp=73–74}}.</ref>
# Setiap fungsi surjektid dari <math>\mathcal{P}(\mathcal{P}(S))</math> pada sendirinya adalah satu-ke-satu.
Baris 85 ⟶ 82:
Sebuah himpunan <math> S</math> disebut [[takhingga Dedekind]] jika terdapat sebuah fungsi injektif, taksurjektif <math>f:S \to S</math>. Seperti sebuah fungsi menunjukkan sebuah bijeksi diantara <math>S </math>, yaitu citra <math>f</math>. Diberikan sebuah himpunan takhingga Dedekind <math>S </math>, sebuah fungsi <math>f</math>, dan sebuah unsur <math>x</math> yang tidak ada di citra <math>f</math>, kita dapat membentuk sebuah barisan takhingga dari unsur <math>S </math> yang berbeda, yaitu <math>x,f(x),f(f(x)),\dots</math>. Sebaliknya, diberikan sebuah barisan dalam <math>S </math> yang terdiri dari unsur <math>x_1,x_2,x_3,\dots </math> yang berbeda, kita dapat didefinisikan sebuah fungsi <math>f</math> sehingga pada unsur dalam barisan <math>f(x_1) = x_{i + 1}</math> dan <math>f</math> berperilaku seperti fungsi identitas jika tidak. Dengan demikian himpunan takhingga Dedekind mengandung himpunan bagian yang padanan secara bijektif dengan bilangan asli. Tentu saja takhingga Dedekind berarti bahwa setiap injektif pemetaan diri sendiri juga surjektif.
 
Keterhinggaan Kuratowski didefinisikan sebagai berikut. Diberikan setiap himpunan <math>S </math>, [[operasi biner]] memberikan [[himpunan kuasa]] <math>\mathcal{P}(S)</math> dengan struktur [[semikekisi]]. Menulis <math>K(S)</math> untuk semikekisi bagian dihasilkan oleh [[himpunan kosong]] dan himpunan satuannya, disebut himpunan <math>S </math> takhingga Kuratowski jika <math>S </math> sendiri menjadi milik <math>K(S)</math>.<ref>The original paper by {{harvnb|Kuratowski|1920}} defined a set ''S'' to be finite when</ref> Secara intuitif, <math>K(S)</math> terdiri dari himpunan bagian terhingga <math>S </math>. Yang terpenting, salah satunya tidak membutuhkan induksi, rekuris atau sebuah definisi bilangan asli untuk mendefinisikan ''dihasilkan oleh'' karena salah satunya dapat memperoleh <math>K(S)</math> menyederhanakan dengan mengambil irisan semua semikekisi bagian berisi himpunan kosing dan [[himpunan satuan]]<nowiki/>nya.
 
Para pembaca tidak mengenal dengan semikekisi dan gagasan lainnya mengenai [[aljabar abstrak]] dapat lebih memilih sebuah rumusan elementer secara keseluruhan. Terhingga Kuratowski berarti <math>S </math> terletak di himpunan <math>K(S)</math>, dibangun sebagai berikut. Tulis <math>M</math> untuk himpunan semua himpunan bagian <math>X</math> dari <math>\mathcal{P}(S)</math> sehingga:
 
* <math>X</math> berisi himpunan kosong;
Baris 116 ⟶ 113:
== Lihat pula ==
 
* [[FinSetHimpunan Fin]]
* [[Bilangan ordinal]]
* [[Aritmetika Peano]]
Baris 143 ⟶ 140:
 
* {{MathWorld|title=Finite Set|id=FiniteSet|author=[[Margherita Barile|Barile, Margherita]]}}
{{Himpunan berdasarkan cabang matematika}}
 
[[Kategori:Category:Bilangan kardinal]]
[[Kategori:Category:Konsep dasar dalam teori himpunan]]
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Himpunan_hingga"