Struktur abstrak: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tidak ada ringkasan suntingan |
Hapus pranala ke "Umum": Menghapus pranala balik ke halaman yang dihapus Umum. (TW) |
||
| (15 revisi perantara oleh 11 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
Bahkan sebuah [[bilangan asli]] pun sebenarnya adalah sebuah konsep abstrak walaupun biasanya diasumsikan bahwa setiap orang secara [[intuitif]] 'sudah tahu' dan sudah 'cukup mengenal' bilangan asli sehingga tak perlu lagi diajar, diberitahu atau
Salah satu cara memperkenalkan konsep himpunan semua bilangan asli sebagai sebuah struktur abstrak adalah melalui [[aksioma Peano]] (sebagai ilustrasi, lihat [http://planetmath.org/encyclopedia/PeanoArithmetic.html] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070819031025/http://planetmath.org/encyclopedia/PeanoArithmetic.html |date=2007-08-19 }}).
== Konsep abstrak 'bidang datar' ==
Sekitar tahun 325–265 sebelum [[Masehi]], [[Euklid]] dari [[Elexandria]] dalam ''Elements'' sudah mendefinisikan konsep abstrak 'bidang datar' melalui lima aksioma (ditulis sedekat mungkin dengan konsep aslinya) sebagai berikut
== Ruang vektor ==
▲1. Dua titik sembarang selalu berada dalam sebuah garis lurus.
[[Ruang vektor]] juga merupakan sebuah konsep abstrak. Kebanyakan mahasiswa dan siswa hanya mengenal konsep vektor dalam ruang real Euklid berdimensi 3, yaitu kumpulan semua bentuk (''x,y,z'') dg ''x, y'' dan ''z'' adalah bilangan-bilangan real. Padahal bilangan real sendiri bisa juga disebut sebagai sebuah vektor.▼
Contoh [[ruang vektor]] yang agak asing adalah [[himpunan kuasa]] ''P''('''H''') yg berunsurkan semua [[himpunan bagian]] dari suatu [[himpunan]] '''H''' sedangkan '''H''' sendiri adalah suatu himpunan yang tak kosong, yang berukuran ''m'' (jadi '''H''' adalah himpunan [[hingga]]) dan dilengkapi dengan operator [[selisih simetri]] (Inggris: ''symmetric difference'').
▲2. Setiap [[ruas garis lurus]] dapat diperpanjang sampai tak hingga menjadi [[garis lurus]] penuh.
▲3. Diberikan sebuah ruas garis lurus, maka ada sebuah lingkaran yg salah satu jari-jarinya adalah ruas garis tersebut dan yang pusat lingkarannya adalah salah satu dari kedua ujung ruas garis tersebut.
''R(m,m''), salah satu kode dalam ''coding theory'' yg sudah lama dipelajari dan diselidiki. Kode ''R(m,m)'' berisi semua vektor-vektor biner (''binary vectors'') yg terdiri atas ''n'' = 2^''m'' [[bit]] (singkatan dari ''binary digits'').
== Kode Reed-Muller ==
▲4. Semua sudut tegak lurus sama besarnya (sekarang kita sepakat untuk menyatakan besar sudut tegak lurus ini dalam ukuran yg seragam: 90 derajat. Penyunting)
''R''(1,3), digunakan oleh pesawat ruang angkasa Mariner untuk mengirim data ke bumi (http://www.ams.org/featurecolumn/ archive/errors6.html). Konsep kode
▲5. (Postulat kesejajaran). Jika dua ruas garis memotong garis ketiga sedemikian rupa sehingga jumlah kedua sudut dalam dari satu pihak yang terbentuk kurang dari jumlah dua sudut tegak (maksudnya kurang dari 90 + 90 = 180 derajat. Penyunting), maka kedua ruas garis tersebut pasti akan berpotongan, asalkan kedua ruas garis tersebut cukup panjang.
▲[[Ruang vektor]] juga merupakan sebuah konsep abstrak. Kebanyakan mahasiswa dan siswa hanya mengenal konsep vektor dalam ruang real Euklid berdimensi 3, yaitu kumpulan semua bentuk (''x,y,z'') dg ''x, y'' dan ''z'' adalah bilangan-bilangan real. Padahal bilangan real sendiri bisa juga disebut sebagai sebuah vektor.
== Sifat umum atau universal ==
▲Contoh [[ruang vektor]] yang agak asing adalah [[himpunan kuasa]] ''P''('''H''') yg berunsurkan semua [[himpunan bagian]] dari suatu [[himpunan]] '''H''' sedangkan '''H''' sendiri adalah suatu himpunan yang tak kosong, yang berukuran ''m'' (jadi '''H''' adalah himpunan [[hingga]]) dan dilengkapi dengan operator [[selisih simetri]] (Inggris: ''symmetric difference'').
Struktur abstrak dikatakan bersifat
Sebaliknya, struktur abstrak
▲[[Ruang vektor]] dalam paragraf di atas ekuivalen dengan [[kode Reed-Muller]]
▲''R(m,m''), salah satu kode dalam ''coding theory'' yg sudah lama dipelajari dan diselidiki. Kode ''R(m,m)'' berisi semua vektor-vektor biner (''binary vectors'') yg terdiri atas ''n'' = 2^''m'' [[bit]] (singkatan dari ''binary digits'').
Jadi, [[ruang hasil kali dalam]] adalah sebuah struktur abstrak
▲Antara tahun 1969 dan 1977, bentuk [[kode Reed-Muller]] yang lain, terutama kode
▲''R''(1,3), digunakan oleh pesawat ruang angkasa Mariner untuk mengirim data ke bumi (http://www.ams.org/featurecolumn/ archive/errors6.html). Konsep kode [[Reed-Muller]] sangat erat berkaitan dengan konsep [[Geometri Euklid]] berdimensi ''m'' yang ekuivalen dengan konsep [[Geometri Projektif]] berdimensi ''m''.
Di jurusan matematika banyak perguruan tinggi, [[group]], [[gelanggang]], [[ruang vektor]], dan sejenisnya, biasa dipelajari dalam mata kuliah ''struktur-struktur aljabar'' atau dalam [[aljabar abstrak]].
▲Struktur abstrak dikatakan bersifat [[umum]] atau [[universal]] sebab struktur abstrak bebas (tak tergantung) dari berbagai fenomena yg secara fisik bisa berbeda-beda, walaupun dari sekian banyak fenomena fisik ini, hanya satu-dua fenomena fisik yang mengilhami struktur abstrak tersebut. Misalnya, fenomena fisik daratan atau meja datar mungkin saja mengilhami konsep bidang datar oleh [[Euklid]].
{{Authority control}}
▲Sebaliknya, struktur abstrak yg sangat umum seringkali tak menjangkau sifat-sifat tambahan dan khusus dari suatu fenomena fisik atau dari struktur abstrak dengan persayaratan yg lebih banyak. Misalnya konsep umum ruang vektor tidak menjangkau sifat-sifat [[jarak]] antara dua vektor dan [[besar]] sebuah vektor dalam sebuah [[ruang hasil kali dalam]] (Inggris: ''inner product space'').
[[Kategori:Matematika]]
▲Jadi, [[ruang hasil kali dalam]] adalah sebuah struktur abstrak yg lebih spesifik daripada konsep umum ruang vektor yg lebih luas jangkauannya.
| |||