Ekstensi grup: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif

← Revisi sebelumnya

Konten dihapus Konten ditambahkan

VisualTeks wiki

Revisi per 22 Juni 2021 00.52 sunting HsfBot (bicara \| kontrib) Bot 1.191.192 suntingan k v2.04b - Fixed using Wikipedia:ProyekWiki Cek Wikipedia (Templat dengan kontrol karakter Unicode - Spasi dalam kategori) Tag: WPCleaner ← Revisi sebelumnya		Revisi terkini sejak 19 Mei 2023 09.38 sunting balikkan Agusdwisusanto (bicara \| kontrib) 2 suntingan Fitur saranan suntingan: 2 pranala ditambahkan. Tag: VisualEditor Tugas pengguna baru Disarankan: tambahkan pranala
(Satu revisi perantara oleh satu pengguna lainnya tidak ditampilkan)
Baris 1: {{Short description\|Grup yang grupnya merupakan subgrup normal}}Dalam [[matematika]], '''ekstensi grup''' adalah cara umum untuk mendeskripsikan [[grup (matematika) \| grup]] dalam istilah [[subgrup normal]] dan [[grup hasil bagi]] tertentu. Jika '' Q '' dan '' N '' adalah dua grup, maka '' G '' adalah '''ekstensi''' dari '' Q '' oleh '' N '' jika ada [[barisan eksak pendek]]. :<math>1\to N\;\overset{\iota}{\to}\;G\;\overset{\pi}{\to}\;Q \to 1.</math> Baris 7: Karena [[grup hingga]] '' G '' memiliki maksimal [[subgrup normal]] '' N '' dengan grup faktor sederhana ''G''/''N'', semua grup hingga dapat dibangun sebagai serangkaian ekstensi dengan [[grup sederhana]] hingga. Fakta ini menjadi motivasi untuk menyelesaikan [[klasifikasi grup sederhana hingga]]. Sebuah ekstensi disebut '''ekstensi pusat''' jika subgrup '' N '' terletak di [[pusat grup \| pusat]] dari ''G''. == Ekstensi secara umum == Satu ekstensi, [[produk langsung dari grup \| produk langsung]], langsung terlihat. Jika seseorang membutuhkan '' G '' dan '' Q '' menjadi [[grup abelian]], maka himpunan kelas [[isomorfisme]] dari ekstensi '' Q '' oleh grup (abelian) '' N '' sebenarnya adalah grup [[isomorfik]] pada :<math>\operatorname{Ext}^1_{\mathbb Z}(Q,N);</math> Baris 24: === Mengklasifikasikan ekstensi === Memecahkan masalah ekstensi sama dengan mengklasifikasikan semua ekstensi '' H '' oleh '' K ''; atau lebih praktis, dengan mengekspresikan semua ekstensi tersebut dalam istilah objek matematika yang lebih mudah untuk dipahami dan dihitung. Secara umum, masalah ini sangat sulit, dan semua hasil yang paling berguna mengklasifikasikan ekstensi yang memenuhi beberapa kondisi tambahan. Penting untuk mengetahui kapan dua ekstensi ekuivalen atau kongruen. Kami mengatakan bahwa ekstensi Baris 31: :<math>1\to K\stackrel{i'}{{}\to{}} G'\stackrel{\pi'}{{}\to{}} H\to 1</math> adalah '''ekuivalen''' (atau kongruen) jika terdapat isomorfisme grup <math>T: G\to G'</math> membuat komutatif diagram Gambar 1. Sebenarnya sudah cukup untuk memiliki [[Kehomomorfan grup\|homomorfisme grup]]; karena asumsi komutatifitas diagram, peta <math> T </math> dipaksa menjadi isomorfisme oleh [[short five lemma]]. [[Berkas:Extensions groups.png\|thumb\|Gambar 1]] Baris 55: :<math>1\to K\to G\to H\to 1</math> dengan [[homomorphism]] <math>s\colon H \to G</math> sedemikian rupa sehingga pergi dari '' H '' ke '' G '' oleh '' s '' dan kemudian kembali ke '' H '' dengan peta hasil bagi dari urutan yang tepat pendek menginduksi [[fungsi identitas \| peta identitas]] pada '' H '' yaitu, <math>\pi \circ s=\mathrm{id}_H</math>. Dalam situasi ini, biasanya dikatakan bahwa '''membagi''' di atas [[urutan yang tepat]]. Perpecahan ekstensi sangat mudah untuk diklasifikasikan, karena ekstensi dipisahkan [[jika dan hanya jika]] grup '' G '' adalah [[produk semidirect]] dari '' K '' dan '' H ''. Produk semidirect sendiri mudah untuk diklasifikasikan, karena dalam korespondensi one-to-one dengan homomorfisme dari <math>H\to\operatorname{Aut}(K)</math>, dimana Aut(''K'') adalah grup [[automorphism]] dari '' K ''. Untuk diskusi lengkap tentang mengapa ini benar, lihat [[produk setengah langsung]]. Baris 63: Secara umum dalam matematika, perpanjangan struktur '' K '' biasanya dianggap sebagai struktur '' L '' dimana '' K '' adalah substruktur. Lihat misalnya [[ekstensi bidang]]. Namun, dalam teori grup terminologi yang berlawanan telah merayap masuk, sebagian karena notasi <math>\operatorname{Ext}(Q,N)</math>, yang terbaca dengan mudah sebagai ekstensi dari '' Q '' oleh '' N '', dan fokusnya ada pada grup '' Q ''. Makalah Brown dan Porter (1996) tentang [[Otto Schreier \| Schreier]] teori ekstensi nonabelian (dikutip di bawah) menggunakan terminologi bahwa perpanjangan dari '' K '' memberikan struktur yang lebih besar. == Perpanjangan pusat == Baris 69: '''Ekstensi pusat''' dari grup '' G '' adalah [[urutan tepat]] singkat dari grup :<math>1\to A\to E\to G\to 1</math> sedemikian rupa sehingga '' A '' pada Z(''E''), yang [[pusat grup \| pusat]] dari grup E. Himpunan kelas isomorfisme ekstensi pusat '' G '' oleh '' A '' (di mana '' G '' bertindak sepele pada '' A '') dalam korespondensi satu-ke-satu dengan grup [[Kohomologi grup \| kohomologi]]{{nowrap\|''H''<sup>2</sup>(''G'', ''A'')}}. Contoh ekstensi pusat dapat dibuat dengan mengambil grup '' G '' dan [[grup abelian]] '' A '', dan menyetel '' E '' menjadi {{nowrap\|''A'' × ''G''}}. Contoh '' membagi '' semacam ini sesuai dengan elemen '' 0 '' di {{nowrap\|''H''<sup>2</sup>(''G'', ''A'')}} di bawah korespondensi di atas. Contoh yang lebih serius ditemukan dalam teori [[representasi proyektif]], dalam kasus di mana representasi proyektif tidak dapat diangkat ke [[representasi linear]] biasa. Baris 87: === Grup Lie === Dalam teori [[grup lie]], ekstensi pusat muncul sehubungan dengan [[topologi aljabar]]. Secara kasar, perluasan pusat grup Lie oleh grup diskrit sama dengan [[grup penutup]]. Lebih tepatnya, [[ruang terhubung \| terhubung]] [[ruang tertutup]] {{math\|''G''<sup>∗</sup>}} dari grup Lie yang terhubung {{math \| '' G ''}} secara alami merupakan perluasan pusat dari {{math \| '' G ''}}, sedemikian rupa sehingga proyeksi :<math>\pi\colon G^* \to G</math>