Limit fungsi: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif

← Revisi sebelumnya

Konten dihapus Konten ditambahkan

VisualTeks wiki

Revisi per 4 Mei 2017 08.10 sunting HsfBot (bicara \| kontrib) Bot 1.172.010 suntingan k Bot: Perubahan kosmetika ← Revisi sebelumnya		Revisi terkini sejak 25 Mei 2023 03.14 sunting balikkan Akuindo (bicara \| kontrib) 44.402 suntingan →Rumus
(31 revisi perantara oleh 18 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 7: == Sejarah == Meskipun termasuk secara implisit dalam pengembangan kalkulus pada abad ke-17 dan 18, gagasan modern limit fungsi baru dibahas oleh [[Bernard Bolzano\|Bolzano]], yang pada 1817, memperkenalkan dasar-dasar teknik [[epsilon-delta]]. <ref>[http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Bolzano.html MacTutor History of Bolzano]</ref> Namun karyanya tidak diketahui semasa hidupnya.▼ [[Augustin Louis Cauchy\|Cauchy]] membahas limit dalam karyanya ''Cours d'analyse'' (1821) dan tampaknya telah menyatakan intisari gagasan tersebut, tapi tidak secara sistematis. <ref name="Miller">~~[http://~~{{Cite web~~.archive.org/web/19981205110714/~~ \|url=http://members.aol.com/jeff570/calculus.html \|title=Jeff Miller's history of math website.] \|access-date=2008-10-15 \|archive-date=1998-12-05 \|archive-url=https://web.archive.org/web/19981205110714/http://members.aol.com/jeff570/calculus.html \|dead-url=yes }}</ref> Presentasi yang ketat terhadap khalayak ramai pertama kali diajukan oleh [[Karl ~~Weirstrass~~Weierstrass\|Weirstrass]] pada dasawarsa 1850-an dan 1860-an,<ref>[http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Weierstrass.html MacTutor History of Weierstrass.]</ref>, dan sejak itu telah menjadi metode baku untuk menerangkan limit.▼ ▲Meskipun termasuk secara implisit dalam pengembangan kalkulus pada abad ke-17 dan 18, gagasan modern limit fungsi baru dibahas oleh [[Bernard Bolzano\|Bolzano]], yang pada 1817, memperkenalkan dasar-dasar teknik [[epsilon-delta]]. <ref>[http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Bolzano.html MacTutor History of Bolzano]</ref> Namun karyanya tidak diketahui semasa hidupnya. ▲[[Cauchy]] membahas limit dalam karyanya ''Cours d'analyse'' (1821) dan tampaknya telah menyatakan intisari gagasan tersebut, tapi tidak secara sistematis. <ref name="Miller">[http://web.archive.org/web/19981205110714/http://members.aol.com/jeff570/calculus.html Jeff Miller's history of math website.]</ref> Presentasi yang ketat terhadap khalayak ramai pertama kali diajukan oleh [[Karl Weirstrass\|Weirstrass]] pada dasawarsa 1850-an dan 1860-an<ref>[http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Weierstrass.html MacTutor History of Weierstrass.]</ref>, dan sejak itu telah menjadi metode baku untuk menerangkan limit. Notasi tertulis menggunakan singkatan '''lim''' dengan anak panah diperkenalkan oleh [[G. H. Hardy\|Hardy]] dalam bukunya ''A Course of Pure Mathematics'' pada tahun 1908.<ref name="Miller" /> Baris 18 ⟶ 17: === Fungsi pada garis [[bilangan riil]] === Bila ''f'' : '''R''' <math>\rightarrow</math> '''R''' terdefinisi pada garis [[bilangan riil]], dan ''p, L'' <math>\in</math> '''R''' maka kita menyebut '''limit ''f'' ketika ''x'' mendekati ''p'' adalah ''L''''', yang ditulis sebagai: :<math> \lim_{x \to p}f(x) = L </math> Baris 25 ⟶ 24: === Limit searah === [[Berkas:Upper semi.png\|~~thumb~~jmpl\|Limit saat: x → x<sub>0</sub><sup>+</sup> ≠ x → x<sub>0</sub><sup>-</sup>. Maka, limit x → x<sub>0</sub> tidak ada.]]▼ ▲[[Berkas:Upper semi.png\|thumb\|Limit saat: x → x<sub>0</sub><sup>+</sup> ≠ x → x<sub>0</sub><sup>-</sup>. Maka, limit x → x<sub>0</sub> tidak ada.]] Masukan ''x'' dapat mendekati ''p'' dari atas (kanan di garis bilangan) atau dari bawah (kiri). Dalam hal ini limit masing-masingnya dapat ditulis sebagai :<math> \lim_{x \to p^+}f(x) = L </math> Baris 44 ⟶ 41: === Limit fungsi pada ketakhinggaan === [[Berkas:Limit-at-infinity-graph.png\|~~thumb~~jmpl\|250px\| Limit fungsi ini ada pada ketakhinggaan.]]▼ ▲[[Berkas:Limit-at-infinity-graph.png\|thumb\|250px\| Limit fungsi ini ada pada ketakhinggaan.]] Bila dua unsur, ketakhinggaan positif dan negatif {-∞, +∞}, ditambahkan pada garis bilangan riil, kita dapat mendefinisikan limit fungsi pada ketakhinggaan. Dua unsur tambahan ini bukanlah bilangan, namun berguna dalam memerikan kelakuan limit pada kalkulus dan analisis. Baris 62 ⟶ 58: == Rumus biasa == :<math>\begin{matrix} \lim\limits_{x \to p} & (f(x) + g(x)) & = & \lim\limits_{x \to p} f(x) + \lim\limits_{x \to p} g(x) \\ \lim\limits_{x \to p} & (f(x) - g(x)) & = & \lim\limits_{x \to p} f(x) - \lim\limits_{x \to p} g(x) \\ \lim\limits_{x \to p} & (f(x) \cdot g(x)) & = & \lim\limits_{x \to p} f(x) \cdot \lim\limits_{x \to p} g(x) \\ \lim\limits_{x \to p} & (f(x) / g(x)) & = & {\lim\limits_{x \to p} f(x) / \lim\limits_{x \to p} g(x)} \\ \lim\limits_{x \to p} & (f(x))^n &= & \lim\limits_{x \to p} f(x))^n \\ \lim\limits_{x \to p} & \sqrt[n]{(f(x)} &= & \sqrt[n]{\lim\limits_{x \to p} f(x)} \\ \end{matrix}</math> == Rumus == :<math>\begin{matrix} \lim\limits_{x \to 0} & \frac{x}{\sin x} & = 1 \\ \lim\limits_{x \to 0} & \frac{x}{\tan x} & = 1 \\ \lim\limits_{x \to 0} & \frac{\sin x}{x} & = 1 \\ \lim\limits_{x \to 0} & \frac{\tan x}{x} & = 1 \\ \lim\limits_{x \to \infty} & x \sin (\frac{1}{x}) & = 1 \\ \lim\limits_{x \to \infty} & x \tan (\frac{1}{x}) & = 1 \\ \lim\limits_{x \to 0} & \frac{ax}{\sin bx} & = \frac{a}{b} \\ \lim\limits_{x \to 0} & \frac{ax}{\tan bx} & = \frac{a}{b} \\ \lim\limits_{x \to 0} & \frac{\sin ax}{bx} & = \frac{a}{b} \\ \lim\limits_{x \to 0} & \frac{\tan ax}{bx} & = \frac{a}{b} \\ \lim\limits_{x \to \infty} & p^x & = 0, \qquad -1 < p < 1 \\ \lim\limits_{x \to \infty} & \frac {ax^m+b}{px^n+q} & = \frac{a}{p}, \qquad m=n \\ \lim\limits_{x \to \infty} & \sqrt{ax^2+bx+c} - \sqrt{px^2+qx+r} & = \frac{b-q}{2 \sqrt{a}}, \qquad a=p \\ \lim\limits_{x \to \infty} & \sqrt[3]{ax^3+bx^2+cx+d} - \sqrt[3]{px^3+qx^2+rx+s} & = \frac{b-q}{3 \sqrt[3]{a^2}}, \qquad a=p \\ \lim\limits_{x \to \infty} & (1 + \frac{1}{x})^x & = e \\ \lim\limits_{x \to 0} & (1 + x)^\frac{1}{x} & = e \\ \lim\limits_{x \to \infty} & (1 + \frac{a}{x})^{bx} & = e^{ab} \\ \lim\limits_{x \to 0} & (1 + ax)^\frac{b}{x} & = e^{ab} \\ \end{matrix}</math> == Lihat pula == * [[Aturan L'Hôpital]] == Rujukan ==