Limit fungsi: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
| (42 revisi perantara oleh 25 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 2:
'''Limit''' suatu '''[[fungsi (matematika)|fungsi]]''' merupakan salah satu konsep mendasar dalam [[kalkulus]] dan [[analisis matematika|analisis]], tentang kelakuan suatu fungsi mendekati titik masukan tertentu.
Suatu fungsi memetakan keluaran ''f(x)'' untuk setiap masukan ''x''. Fungsi tersebut memiliki limit ''L'' pada titik masukan ''p'' bila ''f(x)'' "dekat" pada L ketika ''x'' dekat pada ''p''. Dengan kata lain, ''f(x)'' menjadi semakin dekat kepada ''L'' ketika ''x'' juga mendekat menuju ''p''. Lebih jauh lagi, bila ''f'' diterapkan pada tiap masukan yang ''cukup'' dekat pada ''p'', hasilnya adalah keluaran yang (secara sembarang) dekat dengan ''L''. Bila masukan yang ''dekat'' pada ''p'' ternyata dipetakan pada keluaran yang sangat berbeda, fungsi ''f'' dikatakan tidak memiliki limit.
Definisi limit dirumuskan secara formal mulai [[abad ke-19]].
== Sejarah ==
Meskipun termasuk secara implisit dalam pengembangan kalkulus pada abad ke-17 dan 18, gagasan modern limit fungsi baru dibahas oleh [[Bernard Bolzano|Bolzano]], yang pada 1817, memperkenalkan dasar-dasar teknik [[epsilon-delta]].
[[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]] membahas limit dalam karyanya ''Cours d'analyse'' (1821) dan tampaknya telah menyatakan intisari gagasan tersebut, tapi tidak secara sistematis.
▲Meskipun termasuk secara implisit dalam pengembangan kalkulus pada abad ke-17 dan 18, gagasan modern limit fungsi baru dibahas oleh [[Bernard Bolzano|Bolzano]], yang pada 1817, memperkenalkan dasar-dasar teknik [[epsilon-delta]]. <ref>[http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Bolzano.html MacTutor History of Bolzano]</ref> Namun karyanya tidak diketahui semasa hidupnya.
▲[[Cauchy]] membahas limit dalam karyanya ''Cours d'analyse'' (1821) dan tampaknya telah menyatakan intisari gagasan tersebut, tapi tidak secara sistematis. <ref name="Miller">[http://members.aol.com/jeff570/calculus.html Jeff Miller's history of math website.]</ref> Presentasi yang ketat terhadap khalayak ramai pertama kali diajukan oleh [[Karl Weirstrass|Weirstrass]] pada dasawarsa 1850-an dan 1860-an<ref>[http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Weierstrass.html MacTutor History of Weierstrass.]</ref>, dan sejak itu telah menjadi metode baku untuk menerangkan limit.
Notasi tertulis menggunakan singkatan '''lim''' dengan anak panah diperkenalkan oleh [[G. H. Hardy|Hardy]] dalam bukunya ''A Course of Pure Mathematics'' pada tahun 1908.<ref name="Miller" />
Berikut beberapa definisi limit fungsi yang umum diterima.
=== Fungsi pada garis [[bilangan riil]] ===
Bila ''f''
:<math> \lim_{x \to p}f(x) = L </math>
Baris 25 ⟶ 24:
=== Limit searah ===
[[Berkas:Upper semi.png|
▲[[Berkas:Upper semi.png|thumb|Limit saat: x → x<sub>0</sub><sup>+</sup> ≠ x → x<sub>0</sub><sup>-</sup>. Maka, limit x → x<sub>0</sub> tidak ada.]]
Masukan ''x'' dapat mendekati ''p'' dari atas (kanan di garis bilangan) atau dari bawah (kiri). Dalam hal ini limit masing-masingnya dapat ditulis sebagai
:<math> \lim_{x \to p^+}f(x) = L </math>
Baris 44 ⟶ 41:
=== Limit fungsi pada ketakhinggaan ===
▲[[Berkas:Limit-at-infinity-graph.png|thumb|250px| Limit fungsi ini ada pada ketakhinggaan.]]
Bila dua unsur, ketakhinggaan positif dan negatif {-∞, +∞}, ditambahkan pada garis bilangan riil, kita dapat mendefinisikan limit fungsi pada ketakhinggaan. Dua unsur tambahan ini bukanlah bilangan, namun berguna dalam memerikan kelakuan limit pada kalkulus dan analisis.
Baris 62 ⟶ 58:
== Rumus biasa ==
\lim\limits_{x \to p} & (f(x) + g(x)) &
\lim\limits_{x \to p} & (f(x) - g(x)) &
\lim\limits_{x \to p} & (f(x) \cdot g(x)) &
\lim\limits_{x \to p} & (f(x) / g(x)) &
\lim\limits_{x \to p} & (f(x))^n &= & \lim\limits_{x \to p} f(x))^n \\
\lim\limits_{x \to p} & \sqrt[n]{(f(x)} &= & \sqrt[n]{\lim\limits_{x \to p} f(x)} \\
\end{matrix}</math>
== Rumus ==
\lim\limits_{x \to 0} & \frac{x}{\sin x} & = 1 \\
\lim\limits_{x \to 0} & \frac{x}{\tan x} & = 1 \\
\lim\limits_{x \to 0} & \frac{\sin x}{x} & = 1 \\
\lim\limits_{x \to 0} & \frac{\tan x}{x} & = 1 \\
\lim\limits_{x \to \infty} & x \sin (\frac{1}{x}) & = 1 \\
\lim\limits_{x \to \infty} & x \tan (\frac{1}{x}) & = 1 \\
\lim\limits_{x \to 0} & \frac{ax}{\sin bx} & = \frac{a}{b} \\
\lim\limits_{x \to 0} & \frac{ax}{\tan bx} & = \frac{a}{b} \\
\lim\limits_{x \to 0} & \frac{\sin ax}{bx} & = \frac{a}{b} \\
\lim\limits_{x \to 0} & \frac{\tan ax}{bx} & = \frac{a}{b} \\
\lim\limits_{x \to \infty} & p^x & = 0, \qquad -1 < p < 1 \\
\lim\limits_{x \to \infty} & \frac {ax^m+b}{px^n+q} & = \frac{a}{p}, \qquad m=n \\
\lim\limits_{x \to \infty} & \sqrt{ax^2+bx+c} - \sqrt{px^2+qx+r} & = \frac{b-q}{2 \sqrt{a}}, \qquad a=p \\
\lim\limits_{x \to \infty} & \sqrt[3]{ax^3+bx^2+cx+d} - \sqrt[3]{px^3+qx^2+rx+s} & = \frac{b-q}{3 \sqrt[3]{a^2}}, \qquad a=p \\
\lim\limits_{x \to \infty} & (1 + \frac{1}{x})^x & = e \\
\lim\limits_{x \to 0} & (1 + x)^\frac{1}{x} & = e \\
\lim\limits_{x \to \infty} & (1 + \frac{a}{x})^{bx} & = e^{ab} \\
\lim\limits_{x \to 0} & (1 + ax)^\frac{b}{x} & = e^{ab} \\
\end{matrix}</math>
== Lihat pula ==
* [[Aturan L'Hôpital]]
== Rujukan ==
| |||