Pengguna:Dedhert.Jr/Uji halaman 01/7: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) Tidak ada ringkasan suntingan |
k fix |
||
| (22 revisi perantara oleh satu pengguna lainnya tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{Periksa terjemahan|en|Pick's theorem}}
{{for|teorema dalam analisis kompleks|Lema Schwarz#Teorema Schwarz–Pick}}
[[Berkas:Pick-theorem.svg|jmpl|{{color|red|{{math|''i'' {{=}} 7}}}}, {{color|green|{{math|''b'' {{=}} 8}}}}, {{math|''A'' {{=}} {{color|red|''i''}} + {{sfrac|{{color|green|''b''}}|2}} − 1 {{=}} 10}}]]
Dalam [[geometri]], '''teorema Pick''' merupakan sebuah teorema yang menyediakan rumus luas [[poligon sederhana]] dengan koordinat
== Rumus ==
Tinjau bahwa sebuah poligon memiliki koordinat bilangan bulat untuk semua simpul pada poligon. Misalkan <math>i</math> adalah jumlah titik bilangan bulat yang ada di dalam poligon, dan misalkan <math>b</math> adalah jumlah titik bilangan bulat pada batas poligon (termasuk verteks dan juga titik di sisi-sisi poligon). Maka, luas poligon <math>A</math> adalah:{{r|az|wells|discretely|ball}}
:<math> A = i + \frac{b}{2} - 1 </math>.
Contoh pada gambar di atas menunjukkan bahwa titik dalam dan titik luar pada poligon adalah <math>i = 7</math> dan <math>b = 8</math>, sehingga luas poligonnya adalah <math display="inline">A = 7 + \frac{8}{2} - 1 = 10</math> satuan persegi.
== Bukti ==
=== Melalui rumus Vieta ===
Bukti yang pertama adalah melalui rumus Vieta. Bukti teorema ini melibatkan subpembagian poligon menjadi menjadi segitiga dengan tiga verteks bilangan bulat dan tidak ada titik bilangan bulat lain. Lalu, rumus ini dapat membuktikan bahwa setiap subpembagian segitiga memiliki luas setidaknya <math>\tfrac{1}{2}</math>. Oleh karena itu, luas seluruh poligon sama dengan setengah jumlah segitiga yang dibagi. Setelah mengaitkan luas dengan jumlah segitiga, bukti teorema ini dapat diselesaikan dengan mengaitkan jumlah segitiga dengan jumlah titik kisi dalam poligon melalui [[rumus polihedron Euler]].{{r|az}}
[[Berkas:Pick_triangle_tessellation.svg|jmpl|Pengubinan bidang melalui salinan segitiga dengan tiga simpul bilangan bulat dan tidak ada titik bilangan bulat lain. Ini dipakai dalam membuktikan teorema Pick.]]
Bagian pertama mengenai bukti ini memperlihatkan bahwa segitiga dengan tiga verteks bilangan bulat dan tidak ada titik bilangan bulat lain memiliki setidaknya <math>\tfrac{1}{2}</math>, seperti yang dijelaskan melalui rumus Pick. Faktanya, bukti ini menggunakan semua segitiga yang [[Teselasi|mengubin di bidang]]<u>,</u> dengan segitiga yang berdampingan berputar 180° dari masing-masing sisi segitiga lain disekitarnya.{{r|edward}} Pada pengubinan segitiga melalui tiga puncak bilangan bulat dan bukan titik bilangan bulat lainnya, masing-masing titik dari kisi bilangan bulat merupakan puncak dari enam pengubinan. Because the number of triangles per grid point (six) is twice the number of grid points per triangle (three), the triangles are twice as dense in the plane as the grid points. Any scaled region of the plane contains twice as many triangles (in the limit as the scale factor goes to infinity) as the number of grid points it contains. Therefore, each triangle has area <math>\tfrac{1}{2}</math>, as needed for the proof.{{r|az}} A different proof that these triangles have area <math>\tfrac{1}{2}</math> is based on the use of [[Minkowski's theorem]] on lattice points in symmetric convex sets.{{r|minkowski}}
[[Berkas:Grid_polygon_triangulation.svg|jmpl|Subpembagian poligon kisi menjadi segitiga khusus]]
Bukti ini sudah membuktikan rumus Pick untuk poligon yang merupakan salah satu dari segitiga-segitiga khusus tersebut. Suatu poligon lain dapat dibagi lagi menjadi segitiga khusus dengan menambahkan ruas garis yang tidak disilang dalam poligon di antara pasangan titik kisi sehingga tidak ada ruas garis yang dapat ditambahkan. Poligon yang tidak dapat dibagi lagi menjadi bentuk yang lebih kecil hanyalah segitiga khusus. Oleh karena itu, hanya segitiga istimewa yang dapat muncul dalam subpembagian yang dihasilkan. Karena luas setiap segitiga khusus adalah <math>\tfrac{1}{2}</math>, luas poligon <math>A</math> dapat dibagi menjadi segitiga khusus dengan luas <math>2A</math>.{{r|az}}
Poligon yang dapat dibagi menjadi segitiga membentuk [[graf planar]], dan rumus Euler <math>V - E + F = 2</math> memberikan persamaan yang berlaku untuk jumlah simpul, tepi dan wajah suatu poligon. Simpul poligon tersebut hanya berupa jumlah kisi dari poligon, yang berjumlahkan <math>V = i + b</math>. Wajahnya merupakan segitiga dari subpembagian poligon, dan daerah tunggalnya berada di luar bidang poligon. Jumlah segitiganya adalah <math>2A</math>, sehingga terdapat <math>F=2A+1</math> wajah. Untuk menghitung jumlah tepi, amati bahwa ada <math>6A</math> sisi segitiga dalam subpembagian polihedron. Each edge interior to the polygon is the side of two triangles. However, there are <math>b</math> edges of triangles that lie along the boundary of the polygon, and form part of only one triangle. Therefore, the number of sides of triangles obeys an equation <math>6A=2E-b</math> from which one can solve for the number of edges, <math>E=\tfrac{6A+b}{2}</math>. Dengan memasukkan nilai untuk <math>V</math>, <math>E</math>, dan <math>F</math> ke persamaan Euler <math>V-E+F=2</math> memberikan persamaan<math display="block">(i+b) - \frac{6A+b}{2} + (2A+1) = 2.</math>Rumus Pick dapat diperoleh dengan menyederhanakan [[persamaan linear]] tersebut dan memberikan solusi untuk nilai <math>A</math>.{{r|az}} Adapun perhitungan lainnya, yakni perhitungan di sepanjang garis yang sama melibatkan pembuktian bahwa ada jumlah tepi yang sama dengan subpembagian yang sama dirumuskan sebagai <math>E=3i+2b-3</math>, Perhitungan tersebut mengarah pada hasil yang sama.{{r|funkenbusch}}
Perhitungan tersebut juga dapat dilakukan melalui cara lain dengan menggunakan teorema Pick (yang dibuktikan dengan cara yang berbeda) sebagai dasar untuk pembuktian rumus Euler.{{r|wells|equivalence}}
=== Bukti lainnya ===
Bukti-bukti teorema Pick lain tanpa menggunakan rumus Euler, diantaranya sebagai berikut:
* Bukti lainnya dapat mengurai poligon yang diberikan secara berulang menjadi segitiga, sehingga memungkinkan setiap segitiga dari subpembagiannya mempunyai luas yang lebih besar dari <math>\tfrac{1}{2}</math>. Luas segtiga beserta jumlah titiknya dipakai dalam rumus Pick <u>in the same way as each other, so the truth of Pick's formula for general polygons follows from its truth for triangles</u>. Hal ini berarti bahwa setiap segitiga yang membagi [[kotak batas]]<nowiki/>nya lagi menjadi segitiga yang serupa dengannya dan menjadi [[segitiga siku-siku]] tambahan, serta luas kotak batas dan segitiga dapat dihitung dengan mudah. Dengan menggabungkan perhitungan luas ini memberikan rumus Pick untuk segitiga, dan dengan menggabungkan segitiga memberikan rumus Pick untuk poligon sembarang.{{r|discretely|ball|varberg}}
* Alternatively, instead of using grid squares centered on the grid points, it is possible to use grid squares having their vertices at the grid points. These grid squares cut the given polygon into pieces, which can be rearranged (by matching up pairs of squares along each edge of the polygon) into a [[polyomino]] with the same area.{{r|trainin}}
* Teorema Pick juga dapat dibuktikan berdasarkan [[integrasi kompleks]] suatu [[fungsi periodik ganda]] yang terkait dengan [[fungsi eliptik Weierstrass]].{{r|diaz-robins}}
* Dengan menerapkan [[rumus penjumlahan Poisson]] dengan [[fungsi karakteristik]] dari poligon mengacu pada bukti teorema Pick lainnya.{{r|bcrt}}
Pick's theorem was included in a web listing of the "top 100 mathematical theorems", dating from 1999, which later became used by Freek Wiedijk as a [[Benchmark (computing)|benchmark]] set to test the power of different [[Proof assistant|proof assistants]]. {{as of|2021}}, a proof of Pick's theorem had been formalized in only one of the ten proof assistants recorded by Wiedijk.{{r|wiedijk}}
== Perumuman ==
Teorema Pick untuk poligon bukan sederhana dapat diperumum, namun hal ini menjadi lebih rumit dan memerlukan informasi yang lebih banyak daripada sekedar menghitung verteks dalam dan verteks batas.{{r|gs|rosenholtz}} Sebagai contoh, sebuah poligon dengan <math>h</math> luang yang dibatasi dengan poligon bilangan bulat sederhana, yang terlepas dari satu sama lain dan dari batasnya, mempunyai luas<math display="block">A = i + \frac{b}{2} + h - 1.</math>Hal ini juga dapat memperumum teorema Pick untuk daerah yang dibatasi oleh [[graf garis lurus planar]] yang lebih banyak dengan koordinat verteks bilangan bulat, <u>using additional terms defined using the [[Euler characteristic]] of the region and its boundary</u>,{{r|rosenholtz}} or to polygons with a single boundary polygon that can cross itself, using a formula involving the [[winding number]] of the polygon around each integer point as well as its total winding number.{{r|gs}}
The [[Reeve tetrahedron|Reeve tetrahedra]] in three dimensions have four integer points as vertices and contain no other integer points. However, they do not all have the same volume as each other. Therefore, there can be no analogue of Pick's theorem in three dimensions that expresses the volume of a polytope as a function only of its numbers of interior and boundary points.{{r|reeve}} However, these volumes can instead be expressed using [[Ehrhart polynomial|Ehrhart polynomials]].{{r|br2|ehrhart}}
== Topik yang berkaitan ==
Ada beberapa topik dalam matematika yang mengaitkan luas daerah dengan jumlah titik kisi, di antaranya: [[teorema Blichfeldt]], yang mengatakan bahwa setiap bentuk yang dapat ditranslasikan memiliki setidaknya luas bentuk tersebut dalam titik kisi;{{r|olds}} [[masalah lingkaran Gauss]] yang melibatkan batas galat antara luas lingkaran dengan jumlah titik kisi dalam lingkaran;{{r|guy}} serta masalah menghitung [[Titik bilangan bulat dalam polihedron cembung|jumlah titik bilangan bulat dalam polihedron cembung]] yang muncul dalam cabang-cabang matematika dan ilmu komputer.{{r|barvinok}} Dalam cabang terapan, [[planimeter titik]] merupakan perangkat berbasis transparansi yang mengestimasi luas bentuk dengan menghitung jumlah titik kisi yang terdapat dalam bentuk tersebut.{{r|bellhouse}} [[Barisan Farey]] adalah barisan bilangan rasional terurut dengan penyebut pecahan terbatas. Analisis barisan tersebut melibatkan teorema Pick .{{r|bruarc}}
Metode sederhana lainnya dalam menghitung luas poligon adalah [[rumus tali sepatu]]. Metode ini memberikan luas suatu poligon sederhana sebagai <u>sum of terms computed from the coordinates of consecutive pairs of vertices of the polygon</u>. Tidak seperti teorema Pick, <u>it does not require the vertices to have integer coordinates</u>.{{r|braden}}
== Rujukan ==
{{reflist|refs=<ref name=az>{{cite book | last1 = Aigner | first1 = Martin | author1-link = Martin Aigner | last2 = Ziegler | first2 = Günter M. | author2-link = Günter M. Ziegler | contribution = Three applications of Euler’s formula: Pick's theorem | doi = 10.1007/978-3-662-57265-8 | edition = 6th | isbn = 978-3-662-57265-8 | pages = 93–94 | publisher = Springer | title = Proofs from THE BOOK | title-link = Proofs from THE BOOK | year = 2018}}</ref>
<ref name=ball>{{cite book | last = Ball | first = Keith | author-link = Keith Martin Ball | contribution = Chapter 2: Counting Dots | isbn = 0-691-11321-1 | mr = 2015451 | pages = 25–40 | publisher = Princeton University Press, Princeton, NJ | title = Strange Curves, Counting Rabbits, and Other Mathematical Explorations | year = 2003}}</ref>
<ref name=barvinok>{{cite book
| last = Barvinok | first = Alexander | authorlink = Alexander Barvinok
| doi = 10.4171/052
| isbn = 978-3-03719-052-4
| mr = 2455889
| publisher = European Mathematical Society | location = Zürich
| series = Zurich Lectures in Advanced Mathematics
| title = Integer Points In Polyhedra
| year = 2008}}</ref>
<ref name=bcrt>{{cite journal
| last1 = Brandolini | first1 = L.
| last2 = Colzani | first2 = L.
| last3 = Robins | first3 = S.
| last4 = Travaglini | first4 = G.
| doi = 10.1080/00029890.2021.1839241
| issue = 1
| journal = [[The American Mathematical Monthly]]
| mr = 4200451
| pages = 41–49
| title = Pick's theorem and convergence of multiple Fourier series
| volume = 128
| year = 2021| s2cid = 231624428
}}</ref>
<ref name=bellhouse>{{cite journal
| last = Bellhouse | first = D. R.
| doi = 10.2307/2530419
| issue = 2
| journal = Biometrics
| jstor = 2530419
| mr = 673040
| pages = 303–312
| title = Area estimation by point-counting techniques
| volume = 37
| year = 1981}}</ref>
<ref name=braden>{{cite journal|author=Bart Braden|title=The Surveyor's Area Formula|journal=The College Mathematics Journal|volume=17|issue=4|year=1986|pages=326–337|url=http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/pubs/Calc_Articles/ma063.pdf|doi=10.2307/2686282|jstor=2686282}}</ref>
<ref name=bruarc>{{cite journal
| last1 = Bruckheimer | first1 = Maxim
| last2 = Arcavi | first2 = Abraham
| doi = 10.1007/BF03024792
| issue = 4
| journal = [[The Mathematical Intelligencer]]
| mr = 1365013
| pages = 64–67
| title = Farey series and Pick's area theorem
| volume = 17
| year = 1995}}</ref>
<ref name=diaz-robins>{{cite journal
| last1 = Diaz | first1 = Ricardo
| last2 = Robins | first2 = Sinai
| doi = 10.2307/2975035
| issue = 5
| journal = [[The American Mathematical Monthly]]
| jstor = 2975035
| mr = 1327788
| pages = 431–437
| title = Pick's formula via the Weierstrass <math>\wp</math>-function
| volume = 102
| year = 1995}}</ref>
<ref name=discretely>{{cite book | last1 = Beck | first1 = Matthias | last2 = Robins | first2 = Sinai | contribution = 2.6 Pick's theorem | doi = 10.1007/978-1-4939-2969-6 | edition = 2nd | isbn = 978-1-4939-2968-9 | mr = 3410115 | pages = 40–43 | publisher = Springer | series = Undergraduate Texts in Mathematics | title = Computing the Continuous Discretely: Integer-Point Enumeration in Polyhedra | year = 2015}}</ref>
<ref name=br2>{{harvtxt|Beck|Robins|2015}}, 3.6 "From the discrete to the continuous volume of a polytope", pp. 76–77</ref>
<ref name=edward>{{cite book|last=Martin|first=George Edward|doi=10.1007/978-1-4612-5680-9|isbn=0-387-90636-3|mr=718119|at=Theorem 12.1, page 120|publisher=Springer-Verlag|series=Undergraduate Texts in Mathematics|title=Transformation geometry|url=https://books.google.com/books?id=gevlBwAAQBAJ&pg=PA120|year=1982}}</ref>
<ref name=ehrhart>{{cite journal | last1 = Diaz | first1 = Ricardo | last2 = Robins | first2 = Sinai | doi = 10.2307/2951842 | issue = 3 | journal = [[Annals of Mathematics]] | mr = 1454701 | pages = 503–518 | series = Second Series | title = The Ehrhart polynomial of a lattice polytope | volume = 145 | year = 1997| jstor = 2951842 }}</ref>
<ref name=equivalence>{{cite journal
| last1 = DeTemple | first1 = Duane
| last2 = Robertson | first2 = Jack M.
| date = March 1974
| doi = 10.5951/mt.67.3.0222
| issue = 3
| journal = [[The Mathematics Teacher]]
| jstor = 27959631
| mr = 0444503
| pages = 222–226
| title = The equivalence of Euler's and Pick's theorems
| volume = 67}}</ref>
<ref name=funkenbusch>{{cite journal
| last = Funkenbusch | first = W. W.
| department = Classroom Notes
| date = June–July 1974
| doi = 10.2307/2319224
| issue = 6
| journal = [[The American Mathematical Monthly]]
| jstor = 2319224
| mr = 1537447
| pages = 647–648
| title = From Euler's formula to Pick's formula using an edge theorem
| volume = 81}}</ref>
<ref name=gs>{{cite journal | last1 = Grünbaum | first1 = Branko | author1-link = Branko Grünbaum | last2 = Shephard | first2 = G. C. | author2-link = Geoffrey Colin Shephard | date = February 1993 | doi = 10.2307/2323771 | issue = 2 | journal = [[The American Mathematical Monthly]] | jstor = 2323771 | pages = 150–161 | title = Pick's theorem | volume = 100 | mr = 1212401}}</ref>
<ref name=guy>{{cite book
| last = Guy | first = Richard K. | author-link = Richard K. Guy
| contribution = F1: Gauß's lattice point problem
| doi = 10.1007/978-0-387-26677-0
| edition = 3rd
| isbn = 0-387-20860-7
| mr = 2076335
| pages = 365–367
| publisher = Springer-Verlag | location = New York
| series = Problem Books in Mathematics
| title = Unsolved Problems in Number Theory
| year = 2004}}</ref>
<ref name=minkowski>{{cite journal
| last1 = Ram Murty | first1 = M.
| last2 = Thain | first2 = Nithum
| doi = 10.1080/00029890.2007.11920465
| issue = 8
| journal = [[The American Mathematical Monthly]]
| jstor = 27642309
| mr = 2354443
| pages = 732–736
| title = Pick's theorem via Minkowski's theorem
| volume = 114
| year = 2007| s2cid = 38855683
}}</ref>
<ref name=olds>{{cite book
| last1 = Olds | first1 = C. D. | author1-link = Carl D. Olds
| last2 = Lax | first2 = Anneli | author2-link = Anneli Cahn Lax
| last3 = Davidoff | first3 = Giuliana P. | author3-link = Giuliana Davidoff
| contribution = Chapter 9: A new principle in the geometry of numbers
| isbn = 0-88385-643-3
| mr = 1817689
| pages = 119–127
| publisher = Mathematical Association of America, Washington, DC
| series = Anneli Lax New Mathematical Library
| title = The Geometry of Numbers
| title-link = The Geometry of Numbers
| volume = 41
| year = 2000}}</ref>
<ref name=pick>{{cite journal |last=Pick |first=Georg | author-link = Georg Alexander Pick |title=Geometrisches zur Zahlenlehre |journal=Sitzungsberichte des deutschen naturwissenschaftlich-medicinischen Vereines für Böhmen "Lotos" in Prag |series=(Neue Folge) |year=1899 |volume=19 |pages=311–319 |url=https://www.biodiversitylibrary.org/item/50207#page/327 |jfm=33.0216.01 }} [http://citebank.org/node/47270 CiteBank:47270]</ref>
<ref name=reeve>{{cite journal | last = Reeve | first = J. E. | doi = 10.1112/plms/s3-7.1.378 | journal = [[Proceedings of the London Mathematical Society]] | mr = 0095452 | pages = 378–395 | series = Third Series | title = On the volume of lattice polyhedra | volume = 7 | year = 1957}}</ref>
<ref name=rosenholtz>{{cite journal
| last = Rosenholtz | first = Ira
| doi = 10.1080/0025570X.1979.11976797
| issue = 4
| journal = [[Mathematics Magazine]]
| jstor = 2689425
| mr = 1572312
| pages = 252–256
| title = Calculating surface areas from a blueprint
| volume = 52
| year = 1979}}</ref>
<ref name=sankri>{{cite journal
| last1 = Sankar | first1 = P. V.
| last2 = Krishnamurthy | first2 = E. V.
| date = August 1978
| doi = 10.1016/s0146-664x(78)80021-5
| issue = 1
| journal = Computer Graphics and Image Processing
| pages = 136–143
| title = On the compactness of subsets of digital pictures
| volume = 8}}</ref>
<ref name=steinhaus>{{cite book
| last = Steinhaus | first = H. | author-link = Hugo Steinhaus
| mr = 0036005
| page = 76
| publisher = Oxford University Press
| title = Mathematical Snapshots
| year = 1950}}</ref>
<ref name=trainin>{{cite journal |last=Trainin |first=J. |title=An elementary proof of Pick's theorem |journal=[[The Mathematical Gazette]] |volume=91 |issue=522 |date=November 2007 |pages=536–540|doi=10.1017/S0025557200182270 | jstor = 40378436|s2cid=124831432 }}</ref>
<ref name=varberg>{{cite journal
| last = Varberg | first = Dale E.
| doi = 10.2307/2323172
| issue = 8
| journal = [[The American Mathematical Monthly]]
| jstor = 2323172
| mr = 812105
| pages = 584–587
| title = Pick's theorem revisited
| volume = 92
| year = 1985}}</ref>
<ref name=wells>{{cite book | last = Wells | first = David | title = The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry | publisher = Penguin Books | year = 1991 | contribution = Pick's theorem | pages = 183–184}}</ref>
<ref name=wiedijk>{{cite web|first=Freek|last=Wiedijk|url=https://www.cs.ru.nl/~freek/100/|title=Formalizing 100 Theorems|publisher=Radboud University Institute for Computing and Information Sciences|access-date=2021-07-10}}</ref>}}
== Pranala luar ==
* [http://demonstrations.wolfram.com/PicksTheorem/ Pick's Theorem] oleh [[Ed Pegg, Jr.]], the [[Wolfram Demonstrations Project]].
* [https://www.geogebra.org/m/y2nuDV37 Pi using Pick's Theorem] oleh Mark Dabbs, [[GeoGebra]]
| |||