Pengguna:Dedhert.Jr/Uji halaman 01/7: Perbedaan antara revisi

{{for|theteorema theoremdalam inanalisis complexkompleks|Lema analysis|Schwarz#Teorema lemma#Schwarz–Pick theorem}}

Dalam [[geometri]], '''teorema Pick''' merupakan sebuah teorema yang menyediakan rumus luas [[poligon sederhana]] dengan koordinat simpul berupa bilangan bulat dengan menjumlahkan titik-titik bilangan bulat dalam poligon dan batasnya. Hasil teorema ini dijelaskan pertama kali oleh [[Georg Alexander Pick]] pada tahun 1899.{{r|pick}} Teorema ini dipopulerkan dalam bahasa Inggris oleh [[Hugo Steinhaus]] dalam bukunya berbahasa Inggris yang berjudul ''Mathematical Snapshots'', edisi tahun 1950.{{r|gs|steinhaus}} ItTeorema hasini multiplememiliki proofsbanyak bukti, anddan canteorema beini generalizeddapat todirampat formulaske forrumus certainuntuk kindsjenis-jenis ofpoligon non-simpletak polygonssederhana.

Tinjau bahwa sebuah poligon memiliki koordinat bilangan bulat untuk semua simpul pada poligon. Misalkan <math>i</math> adalah jumlah titik bilangan bulat yang ada di dalam poligon, dan misalkan  <math>b</math> adalah jumlah titik bilangan bulat pada batas poligon (termasuk verteks dan juga titik di sisi-sisi poligon). Maka, luas poligon <math>A</math> adalah:{{r|az|wells|discretely|ball}}

SalahBukti satuyang buktipertama adalah melalui rumus Vieta. Bukti teorema ini melibatkan subpembagian poligon menjadi menjadi segitiga dengan tiga verteks bilangan bulat dan tidak ada titik bilangan bulat lain. Lalu, rumus ini dapat membuktikan bahwa setiap subpembagian segitiga memiliki luas setidaknya <math>\tfrac{1}{2}</math>. Oleh karena itu, luas seluruh poligon sama dengan setengah jumlah segitiga yang dibagi. Setelah mengaitkan luas dengan jumlah segitiga, bukti teorema ini dapat diselesaikan dengan mengaitkan jumlah segitiga dengan jumlah titik kisi dalam poligon melalui [[rumus polihedron Euler]].{{r|az}}

Bagian pertama mengenai bukti ini memperlihatkan bahwa segitiga dengan tiga verteks bilangan bulat dan tidak ada titik bilangan bulat lain memiliki setidaknya <math>\tfrac{1}{2}</math>, seperti yang dijelaskan melalui rumus Pick. Faktanya, bukti ini menggunakan semua segitiga yang [[Teselasi|mengubin di bidang]]<u>,</u> dengan segitiga yang berdampingan berputar 180° <u>fromdari eachmasing-masing othersisi aroundsegitiga theirlain shared edgedisekitarnya.</u>{{r|edward}} ForPada tilingspengubinan bysegitiga amelalui triangletiga withpuncak threebilangan integerbulat verticesdan andbukan notitik otherbilangan integerbulat pointslainnya, each pointmasing-masing oftitik thedari integerkisi gridbilangan isbulat amerupakan vertexpuncak ofdari sixenam tilespengubinan. Because the number of triangles per grid point (six) is twice the number of grid points per triangle (three), the triangles are twice as dense in the plane as the grid points. Any scaled region of the plane contains twice as many triangles (in the limit as the scale factor goes to infinity) as the number of grid points it contains. Therefore, each triangle has area <math>\tfrac{1}{2}</math>, as needed for the proof.{{r|az}} A different proof that these triangles have area <math>\tfrac{1}{2}</math> is based on the use of [[Minkowski's theorem]] on lattice points in symmetric convex sets.{{r|minkowski}}

[[Berkas:Grid_polygon_triangulation.svg|jmpl|SubdivisionSubpembagian ofpoligon akisi gridmenjadi polygonsegitiga into special triangleskhusus]]

Bukti ini sudah membuktikan rumus Pick untuk poligon yang merupakan salah satu dari segitiga-segitiga khusus tersebut. Suatu poligon lain dapat dibagi lagi menjadi segitiga khusus. <u>Todengan domenambahkan so,ruas addgaris non-crossingyang linetidak segmentsdisilang withindalam thepoligon polygondi betweenantara pairspasangan oftitik gridkisi pointssehingga untiltidak noada moreruas linegaris segmentsyang candapat be addedditambahkan.</u> ThePoligon onlyyang polygonstidak thatdapat cannotdibagi belagi subdividedmenjadi intobentuk smalleryang shapeslebih inkecil thishanyalah waysegitiga arekhusus. theOleh specialkarena trianglesitu, consideredhanya above.segitiga Therefore,istimewa onlyyang specialdapat trianglesmuncul candalam appearsubpembagian inyang the resulting subdivisiondihasilkan. BecauseKarena eachluas specialsetiap trianglesegitiga haskhusus areaadalah <math>\tfrac{1}{2}</math>, aluas polygon of areapoligon <math>A</math> willdapat bedibagi subdividedmenjadi intosegitiga khusus dengan luas <math>2A</math> special triangles.{{r|az}}

Poligon yang dapat dibagi menjadi segitiga membentuk [[graf planar]], dan rumus Euler <math>V - E + F = 2</math> memberikan persamaan yang berlaku untuk jumlah simpul, tepi dan wajah suatu poligon. Simpul poligon tersebut hanya berupa jumlah kisi dari poligon, yang berjumlahkan <math>V = i + b</math>. TheWajahnya facesmerupakan aresegitiga thedari trianglessubpembagian of the subdivisionpoligon, anddan thedaerah singletunggalnya regionberada ofdi theluar planebidang outside of the polygonpoligon. TheJumlah numbersegitiganya of triangles isadalah <math>2A</math>, sosehingga altogether there areterdapat <math>F=2A+1</math> faceswajah. ToUntuk countmenghitung thejumlah edgestepi, observeamati thatbahwa there areada <math>6A</math> sidessisi ofsegitiga trianglesdalam in thesubpembagian subdivisionpolihedron. Each edge interior to the polygon is the side of two triangles. However, there are <math>b</math> edges of triangles that lie along the boundary of the polygon, and form part of only one triangle. Therefore, the number of sides of triangles obeys an equation <math>6A=2E-b</math> from which one can solve for the number of edges, <math>E=\tfrac{6A+b}{2}</math>. PluggingDengan thesememasukkan valuesnilai foruntuk <math>V</math>, <math>E</math>, anddan <math>F</math> intoke Euler'spersamaan formulaEuler <math>V-E+F=2</math> givesmemberikan persamaan<math display="block">(i+b) - \frac{6A+b}{2} + (2A+1) = 2.</math>Rumus Pick's formuladapat candiperoleh bedengan obtained by simplifying thismenyederhanakan [[persamaan linear equation]] andtersebut solvingdan formemberikan solusi untuk nilai <math>A</math>.{{r|az}} AnAdapun alternativeperhitungan calculationlainnya, alongyakni theperhitungan samedi linessepanjang involvesgaris provingyang thatsama themelibatkan numberpembuktian ofbahwa edgesada ofjumlah thetepi sameyang subdivisionsama isdengan subpembagian yang sama dirumuskan sebagai <math>E=3i+2b-3</math>, leadingPerhitungan totersebut themengarah pada hasil sameyang resultsama.{{r|funkenbusch}}

ItPerhitungan istersebut alsojuga possibledapat todilakukan gomelalui thecara otherlain direction,dengan usingmenggunakan teorema Pick's theorem (provedyang indibuktikan adengan differentcara wayyang berbeda) assebagai thedasar basisuntuk forpembuktian a proof ofrumus Euler's formula.{{r|wells|equivalence}}

* OneBukti canlainnya recursivelydapat decomposemengurai thepoligon givenyang polygondiberikan intosecara trianglesberulang menjadi segitiga, allowingsehingga somememungkinkan trianglessetiap ofsegitiga thedari subdivisionsubpembagiannya tomempunyai haveluas areayang largerlebih thanbesar dari <math>\tfrac{1}{2}</2math>. BothLuas thesegtiga areabeserta andjumlah thetitiknya countsdipakai ofdalam points used inrumus Pick's formula add together <u>in the same way as each other, so the truth of Pick's formula for general polygons follows from its truth for triangles</u>. AnyHal triangleini subdividesberarti itsbahwa setiap segitiga yang membagi [[boundingkotak boxbatas]]<nowiki/>nya intolagi themenjadi trianglesegitiga itselfyang andserupa additionaldengannya dan menjadi [[Rightsegitiga triangle|right trianglessiku-siku]] tambahan, andserta theluas areaskotak ofbatas bothdan thesegitiga boundingdapat boxdihitung anddengan themudah. rightDengan trianglesmenggabungkan areperhitungan easyluas toini compute.memberikan Combiningrumus thesePick areauntuk computationssegitiga, givesdan Pick'sdengan formulamenggabungkan forsegitiga triangles,memberikan and combining triangles givesrumus Pick's formulauntuk forpoligon arbitrary polygonssembarang.{{r|discretely|ball|varberg}}

* Teorema Pick's theoremjuga maydapat alsodibuktikan be proved based onberdasarkan [[complexintegrasi integrationkompleks]] of asuatu [[doublyfungsi periodicperiodik functionganda]] relatedyang toterkait dengan [[Weierstrass'sfungsi ellipticeliptik functionsWeierstrass]].{{r|diaz-robins}}

* ApplyingDengan themenerapkan [[Poissonrumus summationpenjumlahan formulaPoisson]] to thedengan [[characteristicfungsi functionkarakteristik]] ofdari poligon themengacu polygonpada leadsbukti toteorema anotherPick prooflainnya.{{r|bcrt}}

Generalizations toTeorema Pick's theoremuntuk topoligon non-simplebukan polygonssederhana aredapat possiblediperumum, butnamun arehal moreini complicatedmenjadi andlebih requirerumit moredan informationmemerlukan thaninformasi justyang thelebih numberbanyak ofdaripada interiorsekedar andmenghitung boundaryverteks dalam dan verteks verticesbatas.{{r|gs|rosenholtz}} ForSebagai instancecontoh, asebuah polygonpoligon withdengan <math>h</math> holesluang boundedyang bydibatasi simpledengan integerpoligon polygonsbilangan bulat sederhana, disjointyang fromterlepas eachdari othersatu andsama fromlain thedan boundarydari batasnya, hasmempunyai area{{r|sankri}}luas<math display="block">A = i + \frac{b}{2} + h - 1.</math>ItHal isini alsojuga possibledapat tomemperumum generalizeteorema Pick's theoremuntuk todaerah regionsyang boundeddibatasi by more complexoleh [[Planargraf straight-linegaris lurus graph|planar straight-line graphs]] withyang integerlebih vertexbanyak coordinatesdengan koordinat verteks bilangan bulat, <u>using additional terms defined using the [[Euler characteristic]] of the region and its boundary</u>,{{r|rosenholtz}} or to polygons with a single boundary polygon that can cross itself, using a formula involving the [[winding number]] of the polygon around each integer point as well as its total winding number.{{r|gs}}

Ada beberapa topik dalam matematika yang mengaitkan luas daerah dengan jumlah titik kisi, di antaranya: [[teorema Blichfeldt]], yang mengatakan bahwa setiap bentuk yang dapat ditranslasikan memiliki setidaknya luas bentuk tersebut dalam titik kisi;{{r|olds}} [[masalah lingkaran Gauss]] yang melibatkan batas galat antara luas lingkaran dengan jumlah titik kisi dalam lingkaran;{{r|guy}} serta masalah menghitung [[Titik bilangan bulat dalam polihedron cembung|jumlah titik bilangan bulat dalam polihedron cembung]] yang muncul dalam cabang-cabang matematika dan ilmu komputer.{{r|barvinok}} InDalam applicationcabang areasterapan, the [[dotplanimeter planimetertitik]] ismerupakan aperangkat transparency-basedberbasis devicetransparansi foryang estimatingmengestimasi theluas areabentuk ofdengan amenghitung shapejumlah bytitik countingkisi theyang gridterdapat pointsdalam thatbentuk it containstersebut.{{r|bellhouse}} The [[Barisan Farey sequence]] isadalah anbarisan orderedbilangan sequencerasional ofterurut rationaldengan numberspenyebut withpecahan terbatas. boundedAnalisis denominatorsbarisan whosetersebut analysismelibatkan involvesteorema Pick's theorem.{{r|bruarc}}

AnotherMetode simplesederhana methodlainnya fordalam calculatingmenghitung theluas areapoligon of a polygon is theadalah [[shoelacerumus tali formulasepatu]]. ItMetode givesini thememberikan arealuas ofsuatu any simple polygonpoligon assederhana asebagai <u>sum of terms computed from the coordinates of consecutive pairs of vertices of the polygon</u>. UnlikeTidak Pick'sseperti theoremteorema Pick, <u>it does not require the vertices to have integer coordinates</u>.{{r|braden}}

* [http://demonstrations.wolfram.com/PicksTheorem/ Pick's Theorem] byoleh [[Ed Pegg, Jr.]], the [[Wolfram Demonstrations Project]].

* [https://www.geogebra.org/m/y2nuDV37 Pi using Pick's Theorem] byoleh Mark Dabbs, [[GeoGebra]]