[[Berkas:Nicomachus_theorem_3D.svg|ka|jmpl| KotakPersegi yang panjang sisinya adalah angkabilangan segitiga dapat dipartisi menjadi kotakpersegi dan setengah kotakpersegi, yang luasnya menambahbertambah kubus.menjadi Darijumlah bilangan pangkat tiga.<ref>{{Harvard citation text|Gulley|2010}} .</ref> ]] ▼Dalam [[Teori bilangan|teorema bilangan]], jumlah <math>n </math> [[ Pangkatpangkat tiga |kubik]] pertama adalah kuadrat dari bilangan [[Bilangan segitiga|segitiga]] ke-<math>n </math>. Jumlah tersebut dirumuskan sebagai <math display="block">1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3 = \left(1+2+3+\cdots+n\right)^2.</math>Dengan menggunakan [[notasi Sigma]], persamaan tersebut dapat ditulis<math display="block">\sum_{k=1}^n k^3 = \bigg(\sum_{k=1}^n k\bigg)^2.</math> ▼
[[ Identitas (matematika) |Identitas]] tersebut terkadang disebut juga '''teorema Nicomachus''' , yang dinamai dari [[Nicomachus|Nicomachus dari Geresa]] (60 - 120 M). ▼▲[[Berkas:Nicomachus_theorem_3D.svg|ka|jmpl| Kotak yang panjang sisinya adalah angka segitiga dapat dipartisi menjadi kotak dan setengah kotak yang luasnya menambah kubus. Dari {{Harvard citation text|Gulley|2010}} . ]]
▲Dalam [[Teori bilangan|teorema bilangan]], jumlah <math>n </math> [[Pangkat tiga|kubik]] pertama adalah kuadrat dari bilangan [[Bilangan segitiga|segitiga]] ke-<math>n </math>. Jumlah tersebut dirumuskan sebagai
: <math>1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3 = \left(1+2+3+\cdots+n\right)^2.</math>
Dengan menggunakan [[notasi Sigma]], persamaan tersebut dapat ditulis:
: <math>\sum_{k=1}^n k^3 = \bigg(\sum_{k=1}^n k\bigg)^2.</math>
▲[[ Identitas (matematika) |Identitas]] tersebut terkadang disebut juga '''teorema Nicomachus''' yang dinamai dari [[Nicomachus|Nicomachus dari Geresa]] (60 - 120 M).
== Sejarah ==
PadaDalam bagian akhir Bab 20, daridi ''Pengantarbuku Aritmatika'' (''Introduction to Arithmetic''), Nicomachus menunjukkan bahwa jika ditulis daftar bilangan ganjil, yang pertama adalah <math>1^3</math>, maka jumlah kedua berikutnya adalah <math>2^3</math>, jumlah ketiga berikutnya adalah <math>3^3</math>, dan begitupula seterusnya. IaNichomacus tidak melangkahmenjelaskannya lebih jauh dari inilanjut, tetapi daripernyataan sinitersebut mendapatkandapat kesimpulandisimpulkan bahwa: ''jumlah dari'' ''<math>n^3</math> pertama sama dengan jumlah dari yangbilangan pertamaganjil <math display="inline">\frac{n(n+1)}{/2} </math> bilanganyang ganjilpertama, yaitu,dalam artian bahwa bilangan ganjil yang berawal dari 1 hinggasampai <math>n(n+1)-1</math>''. Rata-rata padadari bilangan tersebut jelasadalah <math display="inline">\frac{n(n+1)}{/2} </math>,. dan ada terdapat <math display="inline">\frac{n(n+1)}{/2} </math> daribilangan merekatersebut, jadisehingga jumlahnya adalah <math display="inline">\left[\frac{(n(n+1)}{/2}\right])^2</math>.
Awalnya, banyakBanyak matematikawan pada awalnya telah mempelajari dan membuktikanmemberikan tentangbukti teorema Nicomachus. {{Harvard citation text|Stroeker|1995}} mengatakan: bahwa "''setiap orangsiswa yang mempelajari teoremateori bilangan pastiini, tentunya akan kagum dengan fakta ajaib ini''". {{Harvard citation text|Pengelley|2002}} menemukan sumber untuk identitas yang tidak hanya dalam karya [[Nicomachus]] di tempat yang sekarang di [[Yordania|Jordan]] pada abad pertama M,. tetapiSumber identitas tersebut juga padaditemukan orang-orangdalam karya [[Aryabhata]] di [[India]] pada abad kelima, dan pada orang-orang darikarya [[Al-Karaji]] sekitar 1000 di [[Iran|Persia]]. {{Harvard citation text|Bressoud|2004}} menyebutkan beberapa tambahan awal karya matematika pada rumus ini, ditambahkan oleh [[ Al-Qabisi |Al-Qabisi]] (di Arab pada abad kesepuluh), [[Lewi ben Gerson|Gersonides]] (di Prancis sekitar tahun 1300 Prancis), dan [[Nilakantha Somayaji]] (di India sekitar 1500 India); ia memancarkanmenyalin kembali tentang bukti visual Nilakantha.
== Nilai numerik; interpretasipandangan geometris dan probabilistik ==
[[Berkas:Grid_rectangle_count_puzzle.svg|jmpl|270x270px|Semua 36 ({{nowrap|1== (1 + 2 + 3)<sup>2</sup>}} = {{nowrap|1<sup>3</sup> + 2<sup>3</sup> + 3<sup>3</sup>}}) persegi panjang, berisi [[Square pyramidal number#Geometric enumeration|14 ({{nowrap|1== 1<sup>2</sup> + 2<sup>2</sup> + 3<sup>2</sup>}}) persegi]] (merah), dalam persegi 3×3, {{nowrap|di kisi (4×4)}}.]]
Urutan-urutan padaBarisan bilangan segitiga kuadrat adalah:
: [[0]],[[1]], [[9]], [[36]], [[100]], 225, 441, 784, 1296, 225, 3025, 4356, 084, 8281, .... {{OEIS|id=A000537}}.
Bilangan-bilangan inisegitiga kuadrat tersebut dapat dilihatdipandang sebagai [[bilangan figurasi]], sebuahsuatu generalisasiperumuman hiperpiramidal empat dimensi dari [[bilangan segitiga]] dan [[ Jumlah piramidal persegi |jumlahbilangan piramidal persegi]].
{{Harvard citation text|Stein|1971}} mengamati bilangan tersebut bahwa bilangan ini juga menghitung jumlah persegi panjang dengan sisi horizontal dan vertikal dibentuk dalam sebuah <math>n \times n </math> [[ Kisi persegi |kisi]]. Sebagai contoh, titik-titik pada <math>4\times4</math> [[ Kisi persegi |kisi]], (atau kotak yang terdiri dari tiga kotak kecil di samping) dapat membentuk 36 persegi panjang yang berbeda Jumlah kuadrat dalam kisi kuadrat tersebut sama degan jumlah piramidal kuadrat. ▼
Identitas tersebut juga mengakui interpretasi probabilistik sebagai berikut. Misalkan <math>X,Y,Z,W \in \mathbb{Z} </math>. Keempat bilangan bulat tersebut dipilih secara independen dan beraturan secara acak antara <math>1</math> dan <math>n </math>. Kemudian, probabilitasnya adalah <math>W </math> menjadi yang paling terbesar dari keempat bilangan sama dengan probabilitas dimana kedua <math>Y </math> setidaknya sebesar <math>X </math> dan <math>W </math> setidaknya sebesar <math>Z </math>, yaitu: ▼
<math>\mathbf{P}({\max(X,Y,Z) \leq W}) = \mathbf{P}(\{X \leq Y\} \cap \{Z \leq W\}) </math>
Probabilitas masing-masing adalah ruas kiri dan ruas kanan pada identitas Nichomacus, dinormalisasi untuk membuat probabilitas dengan membagi kedua ruas dengan <math>n^4</math>.
== Bukti ==
{{harvs|txt|first=Charles|last=Wheatstone|authorlink=Charles Wheatstone|year=1854}} memberikan bentukan yang sangat sederhana, dengan memperluas setiap kubus dalam jumlah menjadi satu himpunan bilangan ganjil berturut-turut. Dia mulai dengan memberikan identitas
: <math>n^3 = \underbrace{\left(n^2-n+1\right) + \left(n^2-n+1+2\right) + \left(n^2-n+1+4\right)+ \cdots + \left(n^2+n-1\right)}_{\text{bilangan ganjil berurutan }n}.</math>
Identitas itu terkait dengan [[bilangan segitiga]] <math>T_n</math> dengan cara berikut:
: <math>n^3 =\sum _{k=T_{n-1}+1}^{T_{n}} (2 k-1),</math>
dan demikian penjumlahan membentuk <math>n^3 </math> mulai setelah mereka membentuk semua nilai sebelumnya <math>1^3 </math> hingga <math>(n-1)^3</math> . Dengan menerapkan sifat tersebut, bersama dengan identitas terkenal lainnya:
▲{{Harvard citation text|Stein|1971}} mengamati bilangan tersebut bahwa bilangan inisegitiga kuadrat juga menghitung jumlah [[persegi panjang ]] dengan sisi horizontal dan vertikal dibentuk dalam sebuah <math>n \times n </math> [[ Kisi persegi |kisi]]. Sebagai contoh, titik-titik padadari <math>4\times4</math> [[ Kisi persegi |kisi ]], (atau kotakpersegi yang terdiri dari tiga kotakpersegi kecil di samping) dapat membentuk 36 persegi panjang yang berbeda . JumlahDengan cara yang serupa, jumlah bilangan kuadrat dalam kisi kuadratpersegi tersebut samadihitung degandengan jumlahbilangan piramidal kuadrat.
: <math>n^2 = \sum_{k=1}^n (2k-1),</math>
▲Identitas tersebut juga mengakuimengatakan interpretasipandangan probabilistik sebagai berikut .: Misalkan <math> W, X, Y, Z,W \in \mathbb{Z } </math> . Keempatmenyatakan [[bilangan bulat ]] tersebutyang dipilih secara independen dan beraturanseragam secaradi sebarang bilangan acakdi antara <math>1</math> dan <math>n </math>. KemudianMaka, probabilitasnyaprobabilitas adalahmengatakan bahwa <math>W </math> menjadiadalah yangbilangan palingbulat terbesar dari keempat bilangan yang sama dengan probabilitas dimanayang keduamengatakan <math>Y </math> setidaknya sebesar <math>X </math> , dan <math>W </math> setidaknya sebesar <math>Z </math> <math display="block">\mathbf{P}({\max(X, Y,Z) yaitu:\leq W}) = \mathbf{P}(\{X \leq Y\} \cap \{Z \leq W\}). </math>Probabilitas masing-masing adalah ruas kiri dan ruas kanan pada identitas Nichomacus, yang dinormalisasi untuk membuat probabilitas dengan membagi kedua ruas oleh <math>n^4</math>.{{Butuh rujukan}}
kita mendapatkan bentukan berikut:
== Pembuktian ==
: <math>
{{harvs|txt|first=Charles|last=Wheatstone|authorlink=Charles Wheatstone|year=1854}} memberikan pembuktian yang sangat sederhana, dengan memperluas setiap bilangan kubik dalam penjumlahan menjadi suatu himpunan dari bilangan ganjil yang berurutan. Wheatstone memulainya dengan memberikan identitas<math display="block">n^3 = \underbrace{\left(n^2-n+1\right) + \left(n^2-n+1+2\right) + \left(n^2-n+1+4\right)+ \cdots + \left(n^2+n-1\right)}_{n\text{ bilangan ganjil berurutan }}.</math>Identitas tersebut berkaitan dengan [[bilangan segitiga]] <math>T_n</math> yang disederhankan sebagai:<math display="block">n^3 =\sum _{k=T_{n-1}+1}^{T_{n}} (2 k-1).</math>Dengan demikian, tinambah di atas akan membentuk <math>n^3 </math> setelah semua bilangan segitiga membentuk nilai sebelumnya yang dimulai dari <math>1^3 </math> sampai <math>(n-1)^3</math> . Dengan menerapkan sifat tersebut, bersama dengan identitas terkenal lainnya:<math display="block">n^2 = \sum_{k=1}^n (2k-1),</math>maka akan menghasilkan bentuk berikut:<math display="block">
\begin{align}
\sum_{k=1}^n k^3 &= 1 + 8 + 27 + 64 + \cdots + n^3 \\
&= (1 + 2 + \cdots + n)^2 \\
&= \bigg(\sum_{k=1}^n k\bigg)^2.
\end{align}</math>
{{harvtxt|Row|1893}} mendapatkan bukti lain dengan menjumlahkan bilangan-bilangan dalam suatu [[tabel perkalian]] persegi dengan dua cara berbeda. Jumlah dari baris ke-<math>i</math> adalah <math>i</math> dikalikan dengan bilangan segitiga, yang berarit bahwa jumlah dari semua baris adalah kuadrat dari bilangan segitiga. Cara lainnya adalah seseorang dapat menguraikan tabel menjadi barisan [[gnomon]] bersarang, yang masing-masing bilangan terdiri dari hasil kali yang lebih besar dari dua suku memberikan suatu nilai konstan. Jumlah dalam setiap gnomon adalah bilangan pangkat tiga, dan demikian bahwa jumlah seluruh tabel adalah jumlah bilangan pangkat tiga.
[[Berkas:Sum_of_cubes2.png |ka|jmpl| SecaraGambaran visual menyatakanyang mengatakan bahwa kuadrat dari bilangan segitiga sama dengan jumlah kubusbilangan pangkat tiga. |400x400px]] ▼baris ke-<math>i</math> adalah <math>i</math> dikalikan dengan bilangan segitiga, yang jumlah dari semua baris adalah kuadrat dari bilangan segitiga. Sebagai alternatif, salah satunya dapat menguraikan tabel menjadi urutan [[gnomon]], masing-masing terdiri dari hasil kali yang lebih besar dari dua suku adalah suatu nilai tetap. Jumlah dalam setiap gonmon adalah kubus, jadi jumlah seluruh tabel adalah jumlah kubus.
▲[[Berkas:Sum_of_cubes2.png|ka|jmpl| Secara visual menyatakan bahwa kuadrat dari bilangan segitiga sama dengan jumlah kubus. ]]
Dalam literatur matematika yang lebih baru, {{Harvard citation text|Edmonds|1957}} memberikan sebuah bukti menggunakan [[ Penjumlahan oleh bagian-bagian |penjumlahan oleh bagian-bagian]] . {{Harvard citation text|Stein|1971}} menggunakan interpretasi penghitungan persegi panjang pada bilangan-bilangan ini untuk membentuk bukti geometris pada identitas (lihat juga {{Harvard citation no brackets|Benjamin|Quinn|Wurtz|2006}} ); ia mengamati bahwa itu juga dapat dibuktikan dengan mudah (tetapi tidak informatif) dengan induksi, dan menyatakan bahwa {{Harvard citation text|Toeplitz|1963}} memberikan "bukti Arab kuno yang menarik". {{Harvard citation text|Kanim|2004}} memberikan bukti visual murni, {{Harvard citation text|Benjamin|Orrison|2002}} memberikan dua bukti tambahan, dan {{Harvard citation text|Nelsen|1993}} memberikan tujuh bukti geometris. ▼
▲Dalam literatur matematika yang lebihbaru-baru baruini, {{Harvard citation text|Edmonds|1957}} memberikan sebuah bukti menggunakandari [[jumlah Penjumlahanbilangan olehsegitiga bagian-bagiankuadrat |penjumlahandengan olehmenggunakan [[penjumlahan bagian -demi-bagian]] . {{Harvard citation text|Stein|1971}} menggunakan interpretasipandangan penghitunganperhitungan persegi panjang padadari bilangan-bilangan initersebut untukagar membentuk bukti geometris padadari identitas (lihat jugapula {{Harvard citation no brackets|Benjamin|Quinn|Wurtz|2006}} ); ia mengamati bahwa itupandangan tersebut juga dapat dibuktikan dengan mudah (tetapi tidak informatif) denganmemlalui induksi, dan menyatakan bahwa {{Harvard citation text|Toeplitz|1963}} memberikan "bukti Arab kuno yang menarik". {{Harvard citation text|Kanim|2004}} memberikan bukti visual murni, {{Harvard citation text|Benjamin|Orrison|2002}} memberikan dua bukti tambahan, dan {{Harvard citation text|Nelsen|1993}} memberikan tujuh bukti geometris.
== Generalisasi ==
== Perumuman ==
HasilTerdapat hasil yang mirip dengan teorema Nicomachus, dan hasil tersebut berlaku untuk semua [[Rumus Faulhaber|jumlah bereksponenpangkat]], yaitu bahwa: jumlah bereksponenpangkat ganjil adalahsama dengan polinomial dalam bilangan segitiga. IniHasil pernyataan itu disebut [[ Formula Faulhaber |polinomial Faulhaber]], disuatu manapolinomial dengan jumlah kubikbilangan pangkat tiga yang adalahmerupakan contoh paling sederhana dan paling elegan. Namun, tidak ada kasus lain yang memiliki satu jumlah bereksponen satupangkat kuadrat dari yang lain .<ref>{{Harvard citation|Edmonds|1957}}. .</ref>
{{harvtxt|Stroeker|1995}} mempelajari kondisisyarat-syarat yang lebih umum, di manadengan jumlah urutanbarisan bilangan kubus berturut-turutberurutan membentuk suatu bilangan kuadrat. {{harvtxt|Garrett|Hummel|2004}} dan {{harvtxt|Warnaar|2004}} mempelajari analog polinomial dari rumus bilangan segitiga triangularkuadrat, di manadengan deret pada polinomial menambahbertambah menjadi kuadrat dari polinomial lain.
== Referensi ==
{{Reflist}} {{refbegin|colwidth=30em}}
*{{citation|last1=Benjamin|first1=Arthur T.|author1-link=Arthur T. Benjamin|last2=Orrison|first2=M. E.|title=Two quick combinatorial proofs of <math>\textstyle \sum k^3 = {n+1\choose 2}^2</math>|journal=[[College Mathematics Journal]]|year=2002|volume=33|issue=5|pages=406–408|url=http://www.math.hmc.edu/~orrison/research/papers/two_quick.pdf|doi=10.2307/1559017|jstor=1559017}}.
*{{citation|doi=10.2307/27646391|title=Summing cubes by counting rectangles|url=http://www.math.hmc.edu/~benjamin/papers/rectangles.pdf|pages=387–389|issue=5|volume=37|year=2006|journal=[[College Mathematics Journal]]|first3=Calyssa|last1=Benjamin|last3=Wurtz|author2-link=Jennifer Quinn|first2=Jennifer J.|last2=Quinn|author1-link=Arthur T. Benjamin|first1=Arthur T.|jstor=27646391}}.
* {{mathworld|urlname=NicomachussTheorem|title=Nicomachus's theorem}}
* [http://users.tru.eastlink.ca/~brsears/math/oldprob.htm#s32 A visual proof of Nicomachus's theorem] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170129125403/http://users.tru.eastlink.ca/~brsears/math/oldprob.htm#s32 |date=2017-01-29 }}
[[Kategori:Category:Artikel mengenai pembuktian]]
[[Kategori:Category:Identitas matematika]]
[[Kategori:Category:Urutan bilangan bulat]]
[[Kategori:Category:Teorema Bilangan]]
[[Kategori:Matematika dasar]]
| 