Kalkulus: Perbedaan antara revisi

Konten dihapus Konten ditambahkan
Dedhert.Jr (bicara | kontrib)
Tidak ada ringkasan suntingan
k Membatalkan 3 suntingan oleh Kakangkuh (bicara) ke revisi terakhir oleh Ariandi Lie
Tag: Pembatalan
 
(7 revisi perantara oleh 5 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 1:
{{calculus}}
'''Kalkulus''' ({{lang-la|calculus}}, artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalah cabang ilmu [[matematika]] yang mencakup [[Limit (matematika)|limit]], [[turunan]], [[integral]], dan [[0,999...#Deret dan barisan takterhingga|deret takterhingga]]. Kalkulus adalah ilmu yang mempelajari perubahan, sebagaimana [[geometri]] yang mempelajari bentuk dan [[aljabar]] yang mempelajari operasi dan penerapannya untuk memecahkan persamaan. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang [[ilmu|sains]], [[ekonomi]], dan [[teknik]]; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan [[aljabar elementer]].<ref name=concepts>{{citation
|title=Calculus Concepts: An Applied Approach to the Mathematics of Change
|first1=Donald R.
Baris 14:
|isbn=0-618-78981-2
|page=2
|url=http://books.google.com/books?id=bQhX-3k0LS8C}}, [http://books.google.com/books?id=bQhX-3k0LS8C&pg=PA2 Chapter 1, p 2]
|accessdate=2013-11-08
</ref>
|archive-date=2023-03-27
|archive-url=https://web.archive.org/web/20230327123024/https://books.google.com/books?id=bQhX-3k0LS8C&hl=en
|dead-url=no
}}, [http://books.google.com/books?id=bQhX-3k0LS8C&pg=PA2 Chapter 1, p 2] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230327123025/https://books.google.com/books?id=bQhX-3k0LS8C&pg=PA2&hl=en |date=2023-03-27 }}</ref>
 
Kalkulus memiliki dua cabang utama, '''[[kalkulus diferensial]]''' dan '''[[integral|kalkulus integral]]''' yang saling berhubungan melalui [[teorema dasar kalkulus]]. Contoh cabang kalkulus yang lain adalah kalkulus proposisional, kalkulus variasi, kalkulus lambda, dan kalkulus proses. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari [[fungsi (matematika)|fungsi]] dan [[limit]], yang secara umum dinamakan [[analisis matematika]].<ref name=concepts/>
Baris 25 ⟶ 29:
=== Perkembangan ===
 
Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode zaman, yaitu [[abad Kuno|zaman kuno]], [[abad Pertengahan|zaman pertengahan]], dan [[zaman modern]]. Pada periode zaman kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis.<ref>Morris Kline, ''Mathematical thought from ancient to modern times'', Vol. I</ref> Perhitungan [[volume]] dan luas yang merupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali pada [[Papirus Matematika Moskwa|Papirus Moskwa]] [[Mesir]] (c. 1800 SM). Pada papirus tersebut, orang Mesir telah mampu menghitung volume [[piramid]]a terpancung.<ref name=Aslaksen>Helmer Aslaksen. [http://www.math.nus.edu.sg/aslaksen/teaching/calculus.html Why Calculus?] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20101014164501/http://www.math.nus.edu.sg/aslaksen/teaching/calculus.html |date=2010-10-14 }} [[Universitas Nasional Singapura|National University of Singapore]].</ref> [[Archimedes]] mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan menciptakan [[heuristik]] yang menyerupai [[integral|kalkulus integral]].<ref>Archimedes, ''Method'', in ''The Works of Archimedes'' ISBN 978-0-521-66160-7</ref>
 
Pada zaman pertengahan, matematikawan [[India]], [[Aryabhata]], menggunakan konsep kecil tak terhingga pada tahun [[499]] dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk [[persamaan diferensial]] dasar.<ref>[{{Cite web |url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Aryabhata_I.html |title=Aryabhata the Elder] |access-date=2007-08-09 |archive-date=2015-07-11 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150711055702/http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Aryabhata_I.html |dead-url=no }}</ref> Persamaan ini kemudian mengantar [[Bhāskara II]] pada abad ke-12 untuk mengembangkan bentuk awal [[turunan]] yang mewakili perubahan yang sangat kecil takterhingga dan menjelaskan bentuk awal dari "[[Teorema Rolle]]".<ref>Ian G. Pearce. [http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/Projects/Pearce/Chapters/Ch8_5.html Bhaskaracharya II.] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160901092504/http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/Projects/Pearce/Chapters/Ch8_5.html |date=2016-09-01 }}</ref> Sekitar tahun [[1000]], matematikawan [[Irak]] [[Ibnu Haitham|Ibn al-Haytham]] (Alhazen) menjadi orang pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan dengan menggunakan [[induksi matematika]], dia mengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus integral.<ref>Victor J. Katz (1995). "Ideas of Calculus in Islam and India", ''Mathematics Magazine'' '''68''' (3), hlm. 163-174.</ref> Pada abad ke-12, seorang [[Persia]] [[Sharaf al-Din al-Tusi]] menemukan [[turunan]] dari [[fungsi kubik]], sebuah hasil yang penting dalam kalkulus diferensial.<ref>J. L. Berggren (1990). "Innovation and Tradition in Sharaf al-Din al-Tusi's Muadalat", ''Journal of the American Oriental Society'' '''110''' (2), hlm. 304-309.</ref> Pada abad ke-14, [[Madhava dari Sangamagrama|Madhava]], bersama dengan matematikawan-astronom dari [[mazhab astronomi dan matematika Kerala]], menjelaskan kasus khusus dari [[deret Taylor]],<ref name="madhava">{{cite web
| publisher=School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland
| work=Biography of Madhava
Baris 37 ⟶ 41:
| dead-url=yes
}}</ref> yang dituliskan dalam teks ''[[Yuktibhasa]]''.<ref name="scotlnd">{{cite web
| publisher=School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland |
| work=Indian Maths
| url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Indian_mathematics.html
| title=An overview of Indian mathematics
| accessdate=2006-07-07
| archive-date=2006-07-03
}}
| archive-url=https://web.archive.org/web/20060703002618/http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Indian_mathematics.html
</ref><ref name="pdffile3">{{cite web
| dead-url=no
}}</ref><ref name="pdffile3">{{cite web
| publisher=Prof.C.G.Ramachandran Nair
| work=Government of Kerala — Kerala Call, September 2004
Baris 70 ⟶ 76:
Pemeriksaan secara terperinci menunjukkan bahwa keduanya bekerja secara terpisah, dengan Leibniz memulai dari integral dan Newton dari turunan. Sekarang, baik Newton dan Leibniz diberikan penghargaan dalam mengembangkan kalkulus secara terpisah. Adalah Leibniz yang memberikan nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagai kalkulus, sedangkan Newton menamakannya "The science of fluxions".<ref name=leibniz/>
 
Sejak itu, banyak matematikawan yang memberikan kontribusi terhadap pengembangan lebih lanjut dari kalkulus. Salah satu karya perdana yang paling lengkap mengenai analisis finit dan infinitesimal ditulis pada tahun 1748 oleh [[Maria Gaetana Agnesi]].<ref>{{cite web| url=http://www.agnesscott.edu/lriddle/women/agnesi.htm| title=Maria Gaetana Agnesi| first=Elif| last=Unlu| month=April| year=1995| publisher =Agnes Scott College| access-date=2013-11-08| archive-date=1998-12-03| archive-url=https://web.archive.org/web/19981203075738/http://www.agnesscott.edu/lriddle/women/agnesi.htm| dead-url=no}}</ref>
[[Berkas:Maria Gaetana Agnesi.jpg|jmpl|150px|ka|[[Maria Gaetana Agnesi]]]]
 
Baris 84 ⟶ 90:
{{see also|Daftar topik kalkulus}}
=== Limit dan kecil tak terhingga ===
{{main|Limit (matematika)}}
[[Berkas:Límite 01.svg|jmpl|300px|Definisi limit mengatakan bahwa ketika <math>x</math> mendekati titik <math>p</math>, maka limit <math>f(x)</math> mendekati <math>L</math>, jika untuk setiap bilangan <math>\varepsilon > 0</math>, terdapat bilangan <math>\delta > 0</math> sedemikian rupa sehingga <math display="block"> 0 < |x-p| <\delta \Longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon </math>]]
Kalkulus pada umumnya dikembangkan dengan memanipulasi sejumlah kuantitas yang sangat kecil. Objek ini, yang dapat diperlakukan sebagai angka, adalah sangat kecil. Sebuah bilangan ''dx'' yang kecilnya tak terhingga dapat lebih besar daripada 0, namun lebih kecil daripada bilangan apapun pada deret 1, {{Sfrac|1|2}}, {{Sfrac|1|3}}, ... dan bilangan real positif apapun. Setiap perkalian dengan kecil tak terhingga (infinitesimal) tetaplah kecil tak terhingga, dengan kata lain kecil tak terhingga tidak memenuhi "ciri-ciri Archimedes". Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik untuk memanipulasi kecil tak terhingga.<ref name=Larson>{{Cite book|first1=Ron|last1=Larson|authorlink1=Ron Larson (mathematician)|first2=Bruce H.|last2=Edwards|title=Calculus of a single variable|edition=Ninth|publisher=[[Brooks/Cole]], [[Cengage Learning]]|year=2010|isbn=978-0-547-20998-2}}</ref>
 
Pada abad ke-19, konsep kecil tak terhingga ini ditinggalkan karena tidak cukup cermat, sebaliknya ia digantikan oleh konsep [[limit (matematika)]]. Limit menjelaskan nilai suatu fungsi pada nilai input tertentu dengan hasil dari nilai input terdekat. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik memanipulasi limit-limit tertentu.<ref name=Larson/> Secara cermat, definisi limit suatu fungsi adalah:
 
{{quote|1=Diberikan fungsi <math>f(x)</math> yang didefinisikan pada interval di <math>p</math>, terkecuali mungkin pada <math>p</math> itu sendiri. Ketika <math>x</math> mendekati <math>p</math>, maka limit ''<math>f(x)</math>'' dapat dikatakan mendekati <math>L</math>, dan dituliskan sebagai:
Baris 172 ⟶ 178:
 
[[Berkas:Riemann.gif|jmpl|250px|ka|Seiring dengan semakin banyaknya subinterval dan semakin sempitnya lebar subinterval yang diambil, luas keseluruhan batangan akan semakin mendekati luas daerah di bawah kurva.]]
Terdapat berbagai jenis pendefinisian formal integral tertentu, namun yang paling umumnya digunakan adalah definisi [[integral Riemann]]. Integral Riemann didefinisikan sebagai limit dari "[[Jumlah Riemann|penjumlahan Riemann]]". Misalkan ingin mencari luas daerah yang dibatasi oleh fungsi <math>f</math> pada interval tertutup <math>[a, b]</math>. Dalam mencari luas daerah tersebut, interval <math>[a, b]</math> dapat dibagi menjadi banyak subinterval yang lebarnya tidak perlu sama, dan memilih sejumlah <math>n-1</math> titik <math>\{x_1,x_2,x_3,\dots,x_{n-1}\}</math> antara <math>a</math> dengan <math>b</math> sehingga memenuhi hubungan:<ref name=riemann>Bernard Riemann. "Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe" (On the representability of a function by a trigonometric series; i.e., when can a function be represented by a trigonometric series). Makalah ini diserahkan kepada Universitas Göttingen pada tahun 1854 sebagai ''Habilitationsschrift'' Riemann (kualifikasi untuk menjadi instruktur). Diterbitkan pada tahun 1868 dalam ''Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen'' (Proceedings of the Royal Philosophical Society at Göttingen), vol. 13, hlm. 87-132. (dapat dibaca [http://books.google.com/books?id=PDVFAAAAcAAJ&pg=RA1-PA87 di sini] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230327123004/https://books.google.com/books?id=PDVFAAAAcAAJ&pg=RA1-PA87&hl=en |date=2023-03-27 }}.) Definisi integral Riemann, lihat bagian 4, "Über der Begriff eines bestimmten Integrals und den Umfang seiner Gültigkeit" (On the concept of a definite integral and the extent of its validity), hlm. 101-103.</ref>
 
::<math> a = x_0 \le x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_{n-1} \le x_n = b . \,\!</math>
Baris 268 ⟶ 274:
Bahkan rumus umum dari hukum kedua Newton: Gaya&nbsp;=&nbsp;Massa&nbsp;×&nbsp;Percepatan, menggunakan perumusan kalkulus diferensial karena percepatan bisa dinyatakan sebagai turunan dari kecepatan. [[Persamaan Maxwell|Teori elektromagnetik Maxwell]] dan teori relativitas [[Albert Einstein|Einstein]] juga dirumuskan menggunakan kalkulus diferensial.<ref name=concepts/>
 
==Lihat pula==
{{Portal|Matematika |Ilmu}}
== Referensi ==
{{Reflist|2}}
Baris 304 ⟶ 312:
* [http://www.math.temple.edu/~cow/ COW: Calculus on the Web] di Universitas Temple
* [http://integrals.wolfram.com/ Online Integrator (WebMathematica)] dari Wolfram Research
* [http://www.ericdigests.org/pre-9217/calculus.htm The Role of Calculus in College Mathematics] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210726234750/http://www.ericdigests.org/pre-9217/calculus.htm |date=2021-07-26 }} dari ERICDigests.org
* [http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematics/index.htm OpenCourseWare Calculus] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100505005607/http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematics/index.htm |date=2010-05-05 }} dari [[Institut Teknologi Massachusetts]]
* [http://eom.springer.de/I/i050950.htm Infinitesimal Calculus] Encyclopaedia of Mathematics, Michiel Hazewinkel ed. .