Teorema Taylor: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
k →Pernyataan: pengembangan |
Tidak ada ringkasan suntingan |
||
| (26 revisi perantara oleh 15 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
[[Berkas:Taylorspolynomialexbig.svg|
{{Kalkulus}}
Dalam [[kalkulus]], '''teorema Taylor'''
== Teorema Taylor dalam satu variabel ==
Teorema Taylor menyatakan
:<math> \textrm{e}^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}.</math>
Hampiran ini dinamakan hampiran Taylor orde ke-''n''' terhadap
<math>R_n(x) = \textrm{e}^x - \left(1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}\right).</math>
Baris 20:
Suku sisa adalah perbedaan antara fungsi dan polinomial hampirannya:
:<math>R_n(x) = f(x) - \left(f(a) + f'(a)(x-a) +\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 +\dots \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\right).</math>
Baris 27 ⟶ 26:
=== Pernyataan ===
Pernyataan cermat teorema ini adalah sebagai berikut: bila ''n''
:<math> f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x - a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + R_n(x).
Di sini ''n''! melambangkan
'''Bentuk [[Joseph Louis Lagrange|Lagrange]]'''<ref>Klein (1998) 20.3; Apostol (1967) 7.7.</ref>
:<math>
Baris 47 ⟶ 46:
</math>
Secara umum, bila ''G''(''t'') adalah fungsi kontinu pada selang tertutup [''a'',''x''], yang terturunkan dengan turunan tidak nol pada (''a'',''x''), maka ada suatu bilangan
:<math>
Baris 61 ⟶ 60:
</math>
dengan syarat, seperti yang biasa ditemui, ''f''<sub>n</sub> [[kontinu mutlak]] dalam {{nowrap|[''a'', ''x'']}}. Ini menunjukkan teorema ini sebagai perampatan [[teorema dasar kalkulus]].
Secara umum, suatu fungsi tidak perlu sama dengan [[deret Taylor]]-nya, karena mungkin saja deret Taylor tersebut tidak konvergen, atau konvergen menuju fungsi yang ''berbeda''. Namun, untuk banyak fungsi ''f''(''x''), kita dapat menunjukkan bahwa suku sisa
===
Versi umum teorema Taylor lainnya berlaku pada selang {{nowrap|(''a'' − ''r'', ''a'' + ''r'')}} tempat variabel ''x'' mengambil nilainya. Perumusan teorema ini memiliki keuntungan bahwa mungkin mengendalikan ukuran suku-suku sisa, dan dengan demikian kita dapat menghitung hampiran fungsi yang sahih pada seluruh selang, dengan batas yang cermat untuk mutu hampirannya.
Versi yang cermat untuk teorema Taylor dalam bentuk ini adalah sebagai berikut. Misalkan ƒ adalah fungsi yang terturunkan kontinu ''n'' kali pada selang tertutup {{nowrap|[''a'' - ''r'', ''a'' + ''r'']}} dan terturunkan {{nowrap|''n'' + 1 }} kali pada selang terbuka {{nowrap|(''a'' − ''r'', ''a'' + ''r'').}} Bila ada konstanta positif riil ''M<sub>n</sub>'' sedemikian sehingga |ƒ<sup>(''n''+1)</sup>(''x'')| ≤ ''M<sub>n</sub>'' untuk semua ''x'' ∈ {{nowrap|(''a'' − ''r'', ''a'' + ''r''),}} maka
:<math> f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x - a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + R_n(x),</math>
di mana fungsi sisa ''R<sub>n</sub>'' memenuhi ketidaksamaan (dikenal sebagai estimasi Cauchy)
:<math> |R_n(x)| \le M_n \frac{r^{n+1}}{(n+1)!}</math>
untuk semua ''x'' ∈ {{nowrap|(''a'' − ''r'', ''a'' + ''r'').}} Ini disebut sebagai estimasi seragam [[galat]] pada polinomial Taylor yang terpusat pada ''a'', karena ini berlaku seragam untuk setiap ''x'' dalam selang.
Bila ƒ adalah fungsi mulus pada {{nowrap|[''a'' − ''r'', ''a'' + ''r''],}} maka konstanta positif ''M<sub>n</sub>'' ada untuk tiap ''n'' = 1, 2, 3, … sedemikian sehingga | ƒ<sup>(''n''+1)</sup>(''x'')| ≤ ''M<sub>n</sub>'' untuk semua ''x'' ∈ {{nowrap|(''a'' − ''r'', ''a'' + ''r'').}} Tambahan lagi, jika mungkin memilih konstanta ini, sehingga
:<math> M_n\frac{r^{n+1}}{(n+1)!} \rightarrow 0</math> as <math>n \rightarrow \infin,\!</math>
maka ƒ adalah [[fungsi analitik]] pada {{nowrap|(''a'' − ''r'', ''a'' + ''r'').}} Secara khusus, suku sisa pada hampiran Taylor, ''R<sub>n</sub>''(''x'') cenderung menuju nol secara seragam saat ''n''→∞. Dengan kata lain, fungsi analitik adalah limit seragam dari polinomial Taylornya pada sebuah selang.
== Pembuktian: satu variabel ==
Berikut adalah bukti teorema Taylor dengan suku sisa integral<ref>Perhatikan bahwa bukti ini mensyaratkan bahwa ''f''<sup>n</sup> kontinu mutlak pada{{nowrap|[''a'', ''x'']}} sehingga [[teorema dasar kalkulus]] berlaku. Kecuali pada bagian akhir saat teorema nilai rata-rata diterapkan, keterdiferensialan ''f''<sup>n</sup> tidak perlu diasumsikan, karena kekontinan mutlak menyiratkan keterdiferensialan hampir di mana saja, serta kesahihan teorema dasar kalkulus, dengan syarat integral yang terlibat dipahami sebagai [[integral Lebesgue]]. Sebagai akibatnya, bentuk integral suku sisa berlaku dengan pelemahan asumsi terhadap ''f''.</ref>
[[Teorema dasar kalkulus]] menyatakan bahwa
:<math>\int_a^x \, f'(t) \, dt=f(x)-f(a),</math>
yang dapat disusun ulang menjadi:
:<math>f(x)=f(a)+ \int_a^x \, f'(t) \, dt.</math>
Sekarang kita dapat melihat bahwa penerapan [[integrasi parsial]] menghasilkan
:<math> \begin{align}
f(x) &= f(a)+xf'(x)-af'(a)-\int_a^x \, tf''(t) \, dt \\
&= f(a)+\int_a^x \, xf''(t) \,dt+xf'(a)-af'(a)-\int_a^x \, tf''(t) \, dt \\
&= f(a)+(x-a)f'(a)+\int_a^x \, (x-t)f''(t) \, dt.
\end{align} </math>
Persamaan pertama diperoleh dengan memisalkan <math>u=f'(t)\,</math> dan{{nowrap|1=''dv'' = ''dt'';}} persamaan kedua didapatkan dengan mencatat bahwa <math>\int_a^x \, xf''(t) \,dt = xf'(x)-xf'(a)</math>; yang ketiga didapatkan dengan mengeluarkan faktor yang sama.
Bila integrasi parsial ini diteruskan didapatkan:
:<math>f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+ \frac 1 2 (x-a)^2f''(a) + \frac 1 2 \int_a^x \, (x-t)^2f'''(t) \, dt.</math>
Dengan mengulangi proses ini, kita dapat menurunkan teorema Taylor untuk nilai ''n'' yang lebih tinggi.
Proses ini dapat diformalkan dengan menerapkan teknik [[induksi matematika]]. Jadi misalkan teorema Taylor berlaku unutk ''n'' tertentu, yaitu, misalkan
:<math>
f(x) = f(a)
+ \frac{f'(a)}{1!}(x - a)
+ \cdots
+ \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n
+ \int_a^x \frac{f^{(n+1)} (t)}{n!} (x - t)^n \, dt. \qquad(*)
</math>
Kita dapat menulis ulang integral dengan integrasi parsial. Sebuah antiturunan {{nowrap|(''x'' − ''t'')<sup>''n''</sup>}} sebagai fungsi dari ''t'' diberikan sebagai {{nowrap|−(''x''−''t'')<sup>''n''+1</sup> / (''n'' + 1),}} sehingga
:<math> \int_a^x \frac{f^{(n+1)} (t)}{n!} (x - t)^n \, dt </math>
::<math> {} = - \left[ \frac{f^{(n+1)} (t)}{(n+1)n!} (x - t)^{n+1} \right]_a^x + \int_a^x \frac{f^{(n+2)} (t)}{(n+1)n!} (x - t)^{n+1} \, dt </math>
::<math> {} = \frac{f^{(n+1)} (a)}{(n+1)!} (x - a)^{n+1} + \int_a^x \frac{f^{(n+2)} (t)}{(n+1)!} (x - t)^{n+1} \, dt.</math>
Mensubstitusikan ini dalam (*) membuktikan teorema Taylor untuk {{nowrap|''n'' + 1,}} dan karenanya untuk semua ''n'' bilangan bulat non-negatif.
Suku sisa dalam bentuk Lagrange dapat diturunkan dengan [[teorema nilai rata-rata]] untuk integral dengan cara berikut:
:<math>
R_n = \int_a^x \frac{f^{(n+1)} (t)}{n!} (x - t)^n \, dt =f^{(n+1)}(\xi) \int_a^x \frac{(x - t)^n }{n!} \, dt,
</math>
di mana ''ξ'' adalah suatu bilangan dari selang [''a'', ''x'']. Integral terakhir dapat dievaluasi langsung, yang menghasilkan
:<math>
R_n = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-a)^{n+1}.
</math>
Secara lebih umum, untuk tiap fungsi ''G''(''t''), teorema nilai rata-rata menjamin eksistensi ''ξ'' dalam selang [''a'',''x''] yang memenuhi
:<math>
R_n = \int_a^x \frac{f^{(n+1)} (t)}{n!} (x - t)^n \frac{G'(t)}{G'(t)}\, dt =\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!} (x-\xi)^n \frac{1}{G'(\xi)} \int_a^x G'(t) \, dt
</math>
::<math> = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!} (x-\xi)^n \cdot \frac{G(x)-G(a)}{G'(\xi)}.</math>
== Teorema Taylor dalam satu variabel nyata ==
=== Pernyataan teorema ===
Pernyataan dari versi paling dasar dari teorema Taylor adalah sebagai berikut:
{{kutipan|'''Teorema Taylor.'''<ref>{{ catatan|first1=Angelo|last1=Genocchi|first2= Giuseppe|last2=Peano|title=Calcolo differenziale e principii di calcolo integrale|location=(N. 67, pp. XVII–XIX)|publisher=Fratelli Bocca ed.|year=1884}}</ref><ref>{{Citation | last1=Spivak | first1=Michael | author1-link=Michael Spivak | title=Calculus | publisher=Publish or Perish | location=Houston, TX | edition=3rd | isbn=978-0-914098-89-8 | year=1994| page=383}}</ref><ref>{{springer|title=Taylor formula|id=p/t092300}}</ref> Let ''k'' ≥ 1 jika nilai pada [[integer]] dan biarkan nilai [[Fungsi (matematika)|fungsi]] {{nowrap|''f'' : '''R''' → '''R'''}} jika nilai ''k'' kali ini [[Fungsi yang dapat dibedakan|dapat dibedakan]] pada titik tersebut {{nowrap|''a'' ∈ '''R'''}}. Setelah itu fungsi pada {{nowrap|''h<sub>k</sub>'' : '''R''' → '''R'''}}, dirumuskan:
:<math> f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + h_k(x)(x-a)^k,</math>
<math>\mbox{dan}\quad\lim_{x\to a}h_k(x)=0</math>. Hal ini disebut juga '''[[Peano]]'''.}}
Hasil teorema yang muncul dalam teorema Taylor adalah '''''k''''' urutan pada Teorema Taylor, yaitu:
:<math>P_k(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k </math>
dari fungsi ''f'' pada titik ''a''. Teorema Taylor adalah Teorema yang digunakan dalam arti, jika terdapat suatu fungsi {{nowrap|''h<sub>k</sub>'' : '''R''' → '''R'''}} dan ''k'' ke order teorema ``p'' dengan sedemikian rupa
:<math> f(x) = p(x) + h_k(x)(x-a)^k, \quad \lim_{x\to a}h_k(x)=0,</math>
setelah itu ''p'' = ''P<sub>k</sub>''. Teorema Taylor menggambarkan perilaku asimtotik dari '''istilah sisa'''
:<math> \ R_k(x) = f(x) - P_k(x),</math>
Salah satu [[kesalahan aproksimasi]] saat mendekati nilai ''f'' dengan teorema taylor. Menggunakan [[notasi o kecil]], pernyataan dalam teorema Taylor dibaca sebagai berikut
:<math>R_k(x) = o(|x-a|^{k}), \quad x\to a.</math>
=== Rumus eksplisit untuk sisa ===
Di bawah asumsi keteraturan yang lebih kuat pada nilai ''f'' ada beberapa rumus yang tepat untuk istilah sisa pada ''R<sub>k</sub>'' dari teorema taylor, yang paling relevan adalah sebagai berikut.
{{kutipan|'''Bentuk nilai rata-rata dari sisa.''' Mari mencari nilai {{nowrap|''f'' : '''R''' → '''R'''}} berada pada nilai ''k'' + 1 saat kita [[Fungsi yang dapat dibedakan|dapat membedakan]] pada [[interval terbuka]] dengan ''f''<sup>(''k'')</sup> saat fungsi [[fungsi berkelanjutan|kontinu]] pada [[interval tertutup]] antara ''a'' serta ''x''.<ref><!--The hypothesis of ''f''<sup>(''k'')</sup> being [[continuous function|continuous]] on the [[closed interval|''closed'' interval]] between ''a'' and ''x'' is ''not'' redundant. Although ''f'' being ''k'' + 1 times [[Differentiable function|differentiable]] on the [[open interval]] between ''a'' and ''x'' does imply that ''f''<sup>(''k'')</sup> is [[continuous function|continuous]] on the [[open interval|''open'' interval]] between ''a'' and ''x'', it does ''not'' imply that ''f''<sup>(''k'')</sup> is [[continuous function|continuous]] on the [[closed interval|''closed'' interval]] between ''a'' and ''x'', i.e. it does not imply that ''f''<sup>(''k'')</sup> is [[continuous function|continuous]] at the ''endpoints'' of that interval. Consider, for example, the [[Function (mathematics)|function]] {{nowrap|''f'' : ''[0,1]'' → '''R'''}} defined to equal <math> \sin(1/x)</math> on <math>(0,1]</math> and with <math>f(0)=0</math>. This is not [[continuous function|continuous]] at ''0'', but is [[continuous function|continuous]] on <math>(0,1)</math>. Moreover, one can show that this [[Function (mathematics)|function]] has an [[Antiderivative|antiderivative]]. Therefore that [[Antiderivative|antiderivative]] is [[Differentiable function|differentiable]] on <math>(0,1)</math>, its [[Derivative|derivative]] (the function ''f'') is [[continuous function|continuous]] on the [[open interval|''open'' interval]] <math>(0,1)</math>, but its [[Derivative|derivative]] ''f'' is ''not'' [[continuous function|continuous]] on the [[closed interval|''closed'' interval]] <math>[0,1]</math>. So the theorem would not apply in this case.--></ref> Kemudian
:<math> R_k(x) = \frac{f^{(k+1)}(\xi_L)}{(k+1)!} (x-a)^{k+1} </math>
untuk beberapa bilangan real pada nilai ''ξ<sub>L</sub>'' di antara nilai ''a'' dan ''x''. Hal tersebut adalah dari '''[[Joseph Louis Lagrange|Lagrange]]'''<ref>{{harvnb|Kline|1998|loc=§20.3}}; {{harvnb|Apostol|1967|loc=§7.7}}.</ref> pada sisa pernyataan.
Demikian pula,
:<math> R_k(x) = \frac{f^{(k+1)}(\xi_C)}{k!}(x-\xi_C)^k(x-a) </math>
untuk beberapa bilangan real pada ''ξ<sub>C</sub>'' di antara ''a'' dan ''x''. Hal tersebut adalah bentuk dari '''[[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]]'''<ref>{{harvnb|Apostol|1967|loc=§7.7}}.</ref> dari sisa pernyataan.
}}
Perbaikan teorema Taylor tersebut terbiasa dibuktikan menggunakan [[teorema nilai rata-rata]], dari mana namanya. Hal tersebut ekspresi serupa lainnya. Contoh dari ''G''(''t'') kontinu pada interval tertutup dan dapat dibedakan dengan turunan pada interval terbuka di antaranya ''a'' dan ''x'', maka
:<math> R_k(x) = \frac{f^{(k+1)}(\xi)}{k!}(x-\xi)^k \frac{G(x)-G(a)}{G'(\xi)} </math>
Untuk beberapa nomor ''ξ'' di antara ''a'' dan ''x''. Versi tersebut mencakup bentuk Lagrange dan Cauchy sisanya sebagai kasus khusus dan dibuktikan dengan penggunaan di bawah [[Teorema Nilai Rata-rata#Teorema Nilai Rata-rata Cauchy|Teorema Nilai Rata-rata Cauchy]].
Pernyataan dalam bentuk integral dari sisa lebih maju dari yang sebelumnya, dan membutuhkan pemahaman tentang [[Lebesgue integral|teori integrasi Lebesgue]] untuk pencarian penuh. Namun, itu berlaku juga dalam arti [[integral Riemann]] asalkan nilai (''k'' + 1) keturunan dari ''f'' kontinu pada interval tertutup [''a'',''x''].
{{kutipan|'''Bentuk integral dari sisanya.'''<ref>{{harvnb|Apostol|1967|loc=§7.5}}.</ref> Mari ''f''<sup>(''k'')</sup> cara menjadikan [[bilangan berkelanjutan]] pada [[interval tertutup]] antara ''a'' dan ''x''. Setelah itu
:<math> R_k(x) = \int_a^x \frac{f^{(k+1)} (t)}{k!} (x - t)^k \, dt. </math>}}
<!--Due to [[absolutely continuous|absolute continuity]] of ''f''<sup>(''k'')</sup> on the [[closed interval]] between ''a'' and ''x'', its derivative ''f''<sup>(''k''+1)</sup> exists as an ''L''<sup>1</sup>-function, and the result can be proven by a formal calculation using [[fundamental theorem of calculus]] and [[integration by parts]].-->
=== Estimasi untuk sisanya ===
<!--It is often useful in practice to be able to estimate the remainder term appearing in the Taylor approximation, rather than having an exact formula for it. Suppose that ''f'' is {{nowrap|(''k'' + 1)}}-times continuously differentiable in an interval ''I'' containing ''a''. Suppose that there are real constants ''q'' and ''Q'' such that
:<math>q\le f^{(k+1)}(x)\le Q</math>
throughout ''I''. Then the remainder term satisfies the inequality<ref>{{harvnb|Apostol|1967|loc=§7.6}}</ref>
:<math>q\frac{(x-a)^{k+1}}{(k+1)!}\le R_k(x)\le Q\frac{(x-a)^{k+1}}{(k+1)!},</math>
if {{nowrap|''x'' > ''a''}}, and a similar estimate if {{nowrap|''x'' < ''a''}}. This is a simple consequence of the Lagrange form of the remainder. In particular, if
:<math>|f^{(k+1)}(x)|\le M</math>
on an interval {{nowrap|''I'' {{=}} (''a'' − ''r'',''a'' + ''r'')}} with some <math>r>0</math> , then
:<math>|R_k(x)|\le M\frac{|x-a|^{k+1}}{(k+1)!}\le M\frac{r^{k+1}}{(k+1)!}</math>
for all {{nowrap|''x''∈(''a'' − ''r'',''a'' + ''r'').}} The second inequality is called a [[uniform convergence|uniform estimate]], because it holds uniformly for all ''x'' on the interval {{nowrap|(''a'' − ''r'',''a'' + ''r'').}}-->
=== Contoh ===
<!--[[File:Expanimation.gif|thumb|400px|right|Approximation of ''e''<sup>''x''</sup> (blue) by its Taylor polynomials ''P<sub>k</sub>'' of order ''k'' = 1,...,7 centered at ''x'' = 0 (red).]] Suppose that we wish to find the approximate value of the function {{nowrap|''f''(''x'') {{=}} ''e''<sup>''x''</sup>}} on the interval {{nowrap|[−1,1]}} while ensuring that the error in the approximation is no more than 10<sup>−5</sup>. In this example we pretend that we only know the following properties of the exponential function:
:<math>(*) \qquad e^0=1, \qquad \frac{d}{dx} e^x = e^x, \qquad e^x>0, \qquad x\in\mathbb{R}.</math>
From these properties it follows that {{nowrap|''f''<sup>(''k'')</sup>(''x'') {{=}} ''e''<sup>''x''</sup>}} for all ''k'', and in particular, {{nowrap|''f''<sup>(''k'')</sup>(0) {{=}} 1}}. Hence the ''k''-th order Taylor polynomial of ''f'' at 0 and its remainder term in the Lagrange form are given by
:<math> P_k(x) = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^k}{k!}, \qquad R_k(x)=\frac{e^\xi}{(k+1)!}x^{k+1},</math>
where ''ξ'' is some number between 0 and ''x''. Since ''e''<sup>''x''</sup> is increasing by (*), we can simply use ''e<sup>x</sup>'' ≤ 1 for ''x'' ∈ [−1, 0] to estimate the remainder on the subinterval [−1, 0]. To obtain an upper bound for the remainder on [0,1], we use the property {{nowrap|''e<sup>ξ</sup>''<''e<sup>x</sup>''}} for 0<''ξ<x'' to estimate
:<math> e^x = 1 + x + \frac{e^\xi}{2}x^2 < 1 + x + \frac{e^x}{2}x^2, \qquad 0 < x\leq 1 </math>
using the second order Taylor expansion. Then we solve for ''e<sup>x</sup>'' to deduce that
:<math> e^x \leq \frac{1+x}{1-\frac{x^2}{2}} = 2\frac{1+x}{2-x^2} \leq 4, \qquad 0 \leq x\leq 1 </math>
simply by maximizing the [[numerator]] and minimizing the [[denominator]]. Combining these estimates for ''e<sup>x</sup>'' we see that
:<math> |R_k(x)| \leq \frac{4|x|^{k+1}}{(k+1)!} \leq \frac{4}{(k+1)!}, \qquad -1\leq x \leq 1, </math>
so the required precision is certainly reached, when
:<math> \frac{4}{(k+1)!} < 10^{-5} \quad \Longleftrightarrow \quad 4\cdot 10^5 < (k+1)! \quad \Longleftrightarrow \quad k \geq 9. </math>
(See [[factorial]] or compute by hand the values 9!=362 880 and 10!=3 628 800.) As a conclusion, Taylor's theorem leads to the approximation
:<math> e^x = 1+x+\frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^9}{9!} + R_9(x), \qquad |R_9(x)| < 10^{-5}, \qquad -1\leq x \leq 1. </math>
For instance, this approximation provides a [[decimal representation|decimal expression]] ''e'' ≈ 2.71828, correct up to five decimal places.-->
== Catatan kaki ==
{{reflist}}
== Rujukan ==
* {{cite book|title = Calculus|url = https://archive.org/details/calculus01apos|authorlink=Tom Apostol|first = Tom|last = Apostol|publisher = Jon Wiley & Sons, Inc.|year = 1967|isbn = 0-471-00005-1}}
* {{cite book|title = Calculus: An Intuitive and Physical Approach|url = https://archive.org/details/calculusintuitiv0000klin_o9z9|first = Morris|last = Klein|publisher = Dover|year = 1998|isbn = 0-486-40453-6}}
== Pranala luar ==
* {{en}}[http://cinderella.de/files/HTMLDemos/2C02_Taylor.html Trigonometric Taylor Expansion] Applet demonstrasi interaktif
* {{en}}[http://numericalmethods.eng.usf.edu/mws/gen/01aae/mws_gen_aae_txt_taylorseries.pdf Taylor Series Revisited] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20081010090303/http://numericalmethods.eng.usf.edu/mws/gen/01aae/mws_gen_aae_txt_taylorseries.pdf |date=2008-10-10 }} pada [http://numericalmethods.eng.usf.edu Holistic Numerical Methods Institute]
[[Kategori:Kalkulus]]
[[Kategori:Teorema matematika|Taylor]]
| |||