Analisis kompleks: Perbedaan antara revisi

 

 

== Konsep analisis kompleks ==

 

=== Bilangan kompleks ===

Dalam matematika, khususnya analisis kompleks, bilangan kompleks merupakan himpunan bilangan yang terdiri dua himpunan bilangan, yakni [[bilangan real|bilangan riil]] dan [[Bilangan imajiner|imajiner]]. Mengenai definisi bilangan kompleks, kita misalkan <math>z</math> adalah bilangan kompleks, sehingga dapat didefinisikan

 

:<math>R(z) = \frac{a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\cdots +a_{n}}{c_{0}z^{m}+c_{1}z^{m-1}+\cdots +c_{m}}</math>

 

 

:<math>R(z) = \frac{az + b}{cz + d}, \quad ad - bc \ne 0</math>

 

==== Fungsi logaritma ====

Dalam konsep ini, fungsi ini berupa generalisasi [[logaritma alami]] terhadap [[bilangan kompleks]] bukan nol. Misalkan <math>w = \log z</math>, dimana <math>z = e^{a+bi} = e^a \cdot e^{bi}</math> dan persamaan ini ekuivalen dengan

 

Dengan substitusi, maka diperoleh

 

 

dimana <math>b = \arg w</math>.

:<math> \int_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, \mathrm dz = 2 \pi i f(z_0) </math>

jika dan hanya jika

 

*

 

=== Residu ===

 

:<math>f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z - z_0)^n</math>.

 

==== Teorema residu Cauchy ====

[[Teorema residu]] (kadangkala disebut teorema residu Cauchy) merupakan teorema yang cukup penting untuk menghitung integral garis fungsi analitik terhadap kurva tertutup dan kerap kala dipakai untuk menghitung integral riil dan deret takhingga juga. Diberikan <math>C</math> adalah lintasan tertutup sederhana yang berorientasi positif, dengan eksepsi pada berhingga banyaknya titik <math>z_1,\dots,z_n</math> yang masing-masing merupakan singularitas terasing <math>f</math>. Maka,

 

 

=== Pemetaan konformal ===

Pemetaan konformal (terkadang disebut juga sebagai transformasi konformal atau pemetaan bihomorfik) merupakan suatu pemetaan yang mempertahankan besar dan arah [[Sudut (geometri)|sudut]]. Pemetaan ini juga didefinisikan sebagai suatu teknik dalam matematika (terutama analisis kompleks) yang digunakan untuk mentransformasikan suatu permasalahan matematika beserta penyelesaiannya ke bentuk lain.

 

Dengan meninjau diberikan suatu pemetaan, <math>w = f(z) = f(x + iy)</math>, beserta sebarang dua kurva <math>C_1</math>, <math>C_2</math> pada bidang <math>z</math> berpotongan pada titik <math>(x_0,y_0)</math> dipetakan berturut-turut sebagai kurva <math>C_1</math> dan <math>C_2</math> pada bidang <math>w</math> yang berpotongan di <math>(u_0,v_0)</math> antara kurva <math>C_1</math> dan <math>C_2</math>, maka pemetaan <math>w = f(z) = f(x + iy)</math> konformal pada <math>(x_0,y_0)</math>.<ref>H. A. Parhusip, Sulistyono, ''[https://www.researchgate.net/profile/Hanna-Parhusip/publication/312210534_Pemetaaan_Konformal_dan_Modifikasinya_untuk_suatu_Bidang_Persegi/links/58763b3b08ae8fce492dcbe1/Pemetaaan-Konformal-dan-Modifikasinya-untuk-suatu-Bidang-Persegi.pdf Pemetaan Konformal Dan Modifikasinya Untuk Suatu Bidang Persegi]'', hlm. AA-43.</ref>

 

 

 

 

 

== Lihat pula ==

== Referensi ==

<references responsive="" />{{Analysis-footer}}

[[Kategori:Analisis kompleks]]