Analisis kompleks: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) |
Rescuing 1 sources and tagging 0 as dead.) #IABot (v2.0.9.5 |
||
(12 revisi perantara oleh 5 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
Dalam [[matematika]], '''analisis kompleks''' ({{Lang-en|complex analysis}}), merupakan cabang analisis matematis yang membahas fungsi dari [[bilangan kompleks]] (yakni mengkaji tidak hanya satu bilangan, melainkan dua bilangan, yakni [[bilangan real|bilangan riil]] dan [[bilangan imajiner]]<ref>Fitri Aryani (2014). Sifat Subkelas Fungsi Univalen, hlm. 1</ref>).
Analisis kompleks biasanya dikenal sebagai '''teori fungsi variabel kompleks''' atau '''teori fungsi peubah kompleks'''.
== Konsep analisis kompleks ==
Baris 7:
=== Bilangan kompleks ===
[[Berkas:Number-systems (NZQRC).svg|jmpl|Himpunan [[bilangan kompleks]] (<math>\C</math>) terdiri himpunan [[bilangan riil]] (<math>\R</math>) dan [[bilangan imajiner]].]]{{Main|Bilangan kompleks}}▼
{{Lihat pula|Bilangan kompleks}}▼
▲[[Berkas:Number-systems (NZQRC).svg|jmpl|Himpunan [[bilangan kompleks]] (<math>\C</math>) terdiri himpunan [[bilangan riil]] (<math>\R</math>) dan [[bilangan imajiner]].]]
Dalam matematika, khususnya analisis kompleks, bilangan kompleks merupakan himpunan bilangan yang terdiri dua himpunan bilangan, yakni [[bilangan real|bilangan riil]] dan [[Bilangan imajiner|imajiner]]. Mengenai definisi bilangan kompleks, kita misalkan <math>z</math> adalah bilangan kompleks, sehingga dapat didefinisikan
Baris 33 ⟶ 32:
:<math>R(z) = \frac{a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\cdots +a_{n}}{c_{0}z^{m}+c_{1}z^{m-1}+\cdots +c_{m}}</math>
adalah fungsi rasional bilangan kompleks,<ref>{{Cite book|last=Ahlfors|first=Lars V.|url=https://people.math.gatech.edu/~mccuan/courses/6321/lars-ahlfors-complex-analysis-third-edition-mcgraw-hill-science_engineering_math-1979.pdf|title=Complex Analysis, An Introduction to the Theory of Analytic Functions of One Complex Variable, Third Edition|pages=30|url-status=live}}</ref>
:<math>R(z) = \frac{az + b}{cz + d}, \quad ad - bc \ne 0</math>
Baris 62 ⟶ 61:
==== Fungsi logaritma ====
{{
Dalam konsep ini, fungsi ini berupa generalisasi [[logaritma alami]] terhadap [[bilangan kompleks]] bukan nol. Misalkan <math>w = \log z</math>, dimana <math>z = e^{a+bi} = e^a \cdot e^{bi}</math> dan persamaan ini ekuivalen dengan
Baris 69 ⟶ 68:
Dengan substitusi, maka diperoleh
:<math>w = \log e^a + \log e^{bi} = \log |w| + i \arg w</math><ref name=":1">{{Cite book|last=Howie|first=John. M.|date=January 2003|title=Complex Analysis|url=https://archive.org/details/complexanalysiss00howi|pages=[https://archive.org/details/complexanalysiss00howi/page/n36 24]|url-status=live}}</ref>
dimana <math>b = \arg w</math>.
Baris 105 ⟶ 104:
:<math> \int_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, \mathrm dz = 2 \pi i f(z_0) </math>
jika dan hanya jika
:<math> f(z_0) = \frac{1}{2 \pi i} \int_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, \mathrm dz </math>.<ref>Dra. Retno Marsitin, M.Pd, ''[https://docplayer.info/203785087-Fungsi-kompleks-yayasan-edelweis-all-right-reserved-penulis-dra-retno-marsitin-m-pd-desain-eko-fachtur-rochman-m-kom.html
*
=== Residu ===
{{Main|Residu (analisis kompleks)}}
:<math>f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z - z_0)^n</math>.
Baris 120 ⟶ 119:
==== Teorema residu Cauchy ====
{{Main|Teorema residu Cauchy}}
[[Teorema residu]] (kadangkala disebut teorema residu Cauchy) merupakan teorema yang cukup penting untuk menghitung integral garis fungsi analitik terhadap kurva tertutup dan kerap kala dipakai untuk menghitung integral riil dan deret takhingga juga. Diberikan <math>C</math> adalah lintasan tertutup sederhana yang berorientasi positif, dengan eksepsi pada berhingga banyaknya titik <math>z_1,\dots,z_n</math> yang masing-masing merupakan singularitas terasing <math>f</math>. Maka,
Baris 128:
=== Pemetaan konformal ===
{{
Pemetaan konformal (terkadang disebut juga sebagai transformasi konformal atau pemetaan bihomorfik) merupakan suatu pemetaan yang mempertahankan besar dan arah [[Sudut (geometri)|sudut]]. Pemetaan ini juga didefinisikan sebagai suatu teknik dalam matematika (terutama analisis kompleks) yang digunakan untuk mentransformasikan suatu permasalahan matematika beserta penyelesaiannya ke bentuk lain.
Dengan meninjau diberikan suatu pemetaan, <math>w = f(z) = f(x + iy)</math>, beserta sebarang dua kurva <math>C_1</math>, <math>C_2</math> pada bidang <math>z</math> berpotongan pada titik <math>(x_0,y_0)</math> dipetakan berturut-turut sebagai kurva <math>C_1</math> dan <math>C_2</math> pada bidang <math>w</math> yang berpotongan di <math>(u_0,v_0)</math> antara kurva <math>C_1</math> dan <math>C_2</math>, maka pemetaan <math>w = f(z) = f(x + iy)</math> konformal pada <math>(x_0,y_0)</math>.<ref>H. A. Parhusip, Sulistyono, ''[https://www.researchgate.net/profile/Hanna-Parhusip/publication/312210534_Pemetaaan_Konformal_dan_Modifikasinya_untuk_suatu_Bidang_Persegi/links/58763b3b08ae8fce492dcbe1/Pemetaaan-Konformal-dan-Modifikasinya-untuk-suatu-Bidang-Persegi.pdf Pemetaan Konformal Dan Modifikasinya Untuk Suatu Bidang Persegi]'', hlm. AA-43.</ref>
== Dimensi fraktal dalam bilangan kompleks ==
== Hubungan analisis kompleks dengan cabang matematika lainnya ==▼
{{Main|Dimensi fraktal}}
Dimensi fraktal merupakan dimensi dengan rasio yang memberikan [[kompleksitas]] indeks statistik dengan membandingkan bagaimana detail dalam [[pola]] [[fraktal]] berubah [[Skala (geometri)|skalanya]] pada saat diukur. Namun, halaman ini membahas dimensi fraktal dalam bilangan kompleks, salah satu himpunan yang terkenal adalah [[himpunan Julia]] dan [[himpunan Mandelbrot]].<ref>Yohanes Dimas Nugrahanto Wibowo, ''[http://repository.usd.ac.id/27101/2/093114006_full.pdf Dimensi Hausdorff dari Beberapa Bangun Fraktal] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20211023192242/http://repository.usd.ac.id/27101/2/093114006_full.pdf |date=2021-10-23 }}'', hlm. 75.</ref>
=== Himpunan Julia ===
[[Berkas:Julia_set,_plotted_with_Matplotlib.svg|jmpl]]
* [[Kombinatorik analitik]], dimana cabang ini dapat diterapkan pada ekspansi binomial pada bilangan kompleks, seperti [[deret Taylor]], [[deret Laurent]], dan [[teorema binomial]].<ref>Siti Ayu Setia Nastiti, ''[http://lib.ui.ac.id/file?file=digital/20319595-S42449-Fungsi%20pembangkit.pdf Fungsi Pembangkit dari Polinomial Chebyshev Berdasarkan Ekspansi Binomial <math>(1 - te^{i \theta})^{- \mu}</math>]'', hlm. 11.</ref>▼
[[Himpunan Julia]], himpunan yang pertama kali diselidiki matematikawan Prancis, [[Gaston Julia]], merupakan salah satu contoh himpunan fraktal yang didefinisikan pada bilangan kompleks dan dibangun dari iterasi-iterasi fungsi kompleks.<ref name=":4">Titik Murwani, ''[https://repository.usd.ac.id/2272/2/063114002_Full.pdf Dimensi Fraktal Himpunan Julia] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20211027182324/https://repository.usd.ac.id/2272/2/063114002_Full.pdf |date=2021-10-27 }}'', hlm. 63.</ref> Salah satu fungsi yang sederhana yang membangun himpunan Julia adalah
: <math>z_{n+1} = z_n^2 + c, \quad c \in \C</math>.
Dalam dinamika kompleks, himpunan Julia sangat terkait erat dengan [[himpunan Mandelbrot]].<ref name=":4" />
=== Himpunan Mandelbrot ===
* [[Mekanika kuantum]], bilangan kompleks dapat diterapkan pada dualitas gelombang partikel, kontroversi kucing [[Erwin Schrödinger|Schrödinger]], studi kasus spin dan dadu, percobaan celah ganda (berupa contoh pedagogik), dan lain sebagainya.<ref>Hendradi Hardhienata, [https://perpustakaan.gunungsitolikota.go.id/uploaded_files/temporary/DigitalCollection/MDYzZGQxNTk5OWZlNGUxYTE0ZjQyZjI2YTRmMjFiMzNlY2M1OTE4Nw==.pdf ''Tutorial Mekanika Kuantum''], (ver.1.1 [16.01.14] Vol. I.</ref>▼
{{Main|Himpunan Mandelbrot}}
Himpunan Mandelbrot, dinamai dari [[Benoît Mandelbrot]] (matematikawan berkebangsaan Prancis dan Amerika Serikat) merupakan kumpulan titik-titik <math>c</math> pada bidang kompleks yang dibangun dengan mengiterasikan fungsi <math>z_{n+1} = z_n^2 + c</math> dengan nilai awal <math>z</math> bernilai <math>0</math>.<ref>Endang Ekowati, ''[http://repository.unej.ac.id/handle/123456789/85444 Pewarnaan Himpunan Mandelbrot]'', hlm. 4.</ref><gallery widths="200" heights="200">
Berkas:Mandel zoom 00 mandelbrot set.jpg|Himpunan Mandelbrot
Berkas:Animation of the growth of the Mandelbrot set as you iterate towards infinity.gif|Animasi himpunan Mandelbrot berdasarkan jumlah iterasi statis per piksel
Berkas:Mandelbrot sequence new.gif|Himpunan Mandelbrot, yang diperbesar sehingga terdapat himpunan yang serupa.
Berkas:Logistic Map Bifurcations Underneath Mandelbrot Set.gif|Himpunan Mandelbrot berdasarkan visualisasi secara vertikal.
</gallery>
▲
▲
*
== Lihat pula ==
Baris 154 ⟶ 169:
== Referensi ==
<references responsive="" />{{Analysis-footer}}
[[Kategori:Analisis kompleks]]
|