Faktor persekutuan terbesar: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif

← Revisi sebelumnya

Konten dihapus Konten ditambahkan

VisualTeks wiki

Revisi per 27 Juli 2019 12.43 sunting Akuindo (bicara \| kontrib) 43.799 suntingan →‎Cara sederhana ← Revisi sebelumnya		Revisi terkini sejak 17 Juli 2023 14.44 sunting balikkan InternetArchiveBot (bicara \| kontrib) Bot 667.181 suntingan Rescuing 7 sources and tagging 0 as dead.) #IABot (v2.0.9.5
(40 revisi perantara oleh 16 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 1: Dalam [[matematika]], khususnya [[teori bilangan]], '''faktor persekutuan terbesar''' atau dikenal juga sebagai [[persekutuan bilangan terbesar]] (dilambangkan <math>\operatorname{FPB}</math><ref name=":4">{{Cite news\|last=Itsnaini\|first=Faqihah Muharroroh\|title=Apa Perbedaan KPK dan FPB? Ini Penjelasannya\|url=https://www.detik.com/edu/detikpedia/d-5379049/apa-perbedaan-kpk-dan-fpb-ini-penjelasannya\|work=[[Detik.com\|detikcom]]\|language=id-ID\|access-date=2021-11-14\|archive-date=2022-09-28\|archive-url=https://web.archive.org/web/20220928031226/https://www.detik.com/edu/detikpedia/d-5379049/apa-perbedaan-kpk-dan-fpb-ini-penjelasannya\|dead-url=no}}</ref> atau <math>\operatorname{PBT}</math><ref>Suci Yuniati, [https://jurnalbeta.ac.id/index.php/betaJTM/article/download/74/81/295 MENENTUKAN KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL (KPK) DAN FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR (FPB) DENGAN MENGGUNAKAN METODE “PEBI”] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20220527054533/https://jurnalbeta.ac.id/index.php/betaJTM/article/download/74/81/295 \|date=2022-05-27 }}, hlm. 158</ref> dalam [[bahasa Indonesia]], dan <math>\gcd</math> dalam [[bahasa Inggris]], [[Daftar singkatan matematis\|abreviasi]] dari kata ''greatest common divisor''<ref>{{Cite web\|title=Definition of greatest common divisor {{!}} Dictionary.com\|url=https://www.dictionary.com/browse/greatest-common-divisor\|website=www.dictionary.com\|language=en\|access-date=2021-11-14\|archive-date=2023-03-24\|archive-url=https://web.archive.org/web/20230324101637/https://www.dictionary.com/browse/greatest-common-divisor\|dead-url=no}}</ref>) terhadap bilangan adalah [[bilangan bulat]] terbesar yang membagi setiap bilangan bulat. Sebagai contoh, diberikan bilangan bulat <math>12</math> dan <math>20</math>. Maka, <math>\operatorname{FPB}(12,20) = 4</math>. Mengenai cara-cara dan metode akan dijelaskan di bawah. ~~Dalam [[matematika]], '''Faktor Persekutuan Terbesar''' (FPB) dari dua bilangan adalah [[bilangan bulat]] positif terbesar yang dapat membagi habis kedua bilangan itu.~~ Gagasan faktor persekutuan terbesar dapat diperluas melalui polinomial, lihat [[faktor persekutuan terbesar polinomial]] atau [[persekutuan bilangan terbesar polinomial]] untuk melihat lebih lanjut. ~~Dalam [[bahasa Inggris]] FPB dikenal dengan ''Greatest Common Divisor'' (GCD), sering djiuga disebut sebagai ''Greatest Common Factor'' (GCF) atau ''Highest Common Factor'' (HCF),~~ == ~~Contoh~~Notasi == Untuk <math>a</math> dan <math>b</math> bilangan bulat sembarang, notasi faktor persekutuan terbesar dinotasikan sebagai <math>\operatorname{FPB}(a,b)</math> atau <math>\operatorname{PBT}(a,b)</math>. Dalam versi bahasa Inggris, dinotasikan sebagai <math>\gcd(a,b)</math> atau <math>\operatorname{GCD}(a,b)</math>. Ada beberapa penulisan notasi faktor persekutuan terbesar, yaitu <math>\operatorname{g.c.d}(a,b)</math> atau <math>(a,b)</math>.<ref name=":0">{{Cite web\|last=Weisstein\|first=Eric W.\|title=Greatest Common Divisor\|url=https://mathworld.wolfram.com/GreatestCommonDivisor.html\|website=mathworld.wolfram.com\|language=en\|access-date=2021-11-20\|archive-date=2023-04-06\|archive-url=https://web.archive.org/web/20230406035526/https://mathworld.wolfram.com/GreatestCommonDivisor.html\|dead-url=no}}</ref> == Definisi == ~~Cara sederhana dapat digunakan untuk mencari FPB dari 2 atau 3 [[bilangan]] yang tidak terlalu besar, namun untuk bilangan yang lebih besar sebaiknya menggunakan cara [[faktorial]].~~ Misalkan <math>a</math> dan <math>b</math> adalah dua bilangan bulat yang diberikan. Misalkan <math>d </math> membagi <math>a</math> dan <math>b</math> dan <math>d</math> [[bilangan asli]] terbesar, maka faktor persekutuan terbesar terhadap bilangan bulat <math>a</math> dan <math>b</math> adalah<ref>{{Cite web\|date=2017-09-20\|title=8.1: The Greatest Common Divisor\|url=https://math.libretexts.org/Bookshelves/Mathematical_Logic_and_Proof/Book%3A_Mathematical_Reasoning__Writing_and_Proof_(Sundstrom)/8%3A_Topics_in_Number_Theory/8.1%3A_The_Greatest_Common_Divisor\|website=Mathematics LibreTexts\|language=en\|access-date=2021-11-21\|archive-date=2021-11-21\|archive-url=https://web.archive.org/web/20211121014446/https://math.libretexts.org/Bookshelves/Mathematical_Logic_and_Proof/Book:_Mathematical_Reasoning__Writing_and_Proof_(Sundstrom)/8:_Topics_in_Number_Theory/8.1:_The_Greatest_Common_Divisor\|dead-url=no}}</ref> {{Equation box 1 ~~=== Cara sederhana ===~~ \|indent =: \|title= \|equation = <math>\operatorname{FPB}(a,b) = d</math>. \|cellpadding= 6 \|border \|border colour = #0073CF \|background colour=#F5FFFA}} Lebih umumnya lagi, untuk sebarang bilangan bulat <math>a_1, \dots, a_n</math> dan <math>d</math> [[bilangan asli]] terbesar yang membagi <math>a_1, \dots, a_n</math>, maka faktor persekutuan terbesarnya adalah<ref name=":0" /> ~~Mencari FPB dari '''12''' dan '''20''':~~ * Faktor dari 12 = 1, 2, 3, '''4''', 6 dan 12 * Faktor dari 20 = 1, 2, '''4''', 5, 10 dan 20 * FPB dari 12 dan 20 adalah faktor sekutu (sama) yang terbesar, yaitu '''4'''. ~~Mencari FPB dari '''15''' dan '''25''':~~ * Faktor dari 15 = 1, 3, '''5''', dan 15 * Faktor dari 25 = 1, '''5''', dan 25 * FPB dari 15 dan 25 adalah faktor sekutu (sama) yang terbesar, yaitu '''5'''. {{Equation box 1 ~~=== Cara faktorial ===~~ \|indent =: \|title= \|equation = <math>\operatorname{FPB}(a_1,\dots,a_n) = d</math>. \|cellpadding= 6 \|border \|border colour = #0073CF \|background colour=#F5FFFA}} == Sifat == ~~Mencari FPB dari bilangan 147, 189 dan 231:~~ {{Sect-stub}} Berikut adalah sifat-sifat faktor persekutuan terbesar, antara lain: * Untuk sebarang bilangan bulat positif <math>a,b,d</math>, bila <math>d</math> membagi <math>a</math> dan <math>b</math>, maka <math>d \mid \operatorname{FPB}(a,b)</math>. * Buat pohon faktor dari masing-masing bilangan: * Untuk sebarang bilangan bulat positif <math>a,b</math>, <math>\operatorname{FPB}(a,b) = b</math> jika dan hanya jika <math>b \mid a</math>. * Untuk sebarang bilangan bulat positif <math>a,b,d</math>, <math>\operatorname{FPB}(ad,bd) = d \cdot \operatorname{FPB}(a,b)</math>. ~~147 189 231~~ * <math>\operatorname{FPB}(a,0) = \operatorname{FPB}(0,a) = \|a\|</math>, sifat ini sangat penting dalam kalkulasi [[algoritme Euklides]] ~~/\ /\ /\~~ ~~3 49 3 63 3 77~~ ~~/\ /\ /\~~ ~~7 7 7 9 7 11~~ /\ ~~3 3~~ == Contoh == * Susun bilangan dari pohon faktor utk mendapatkan faktorialnya: Terdapat cara sederhana mengenai pencarian suatu faktor persekutuan terbesar terhadap dua bilangan. Sebagai contoh, kita ambil contoh bilangan bulat di atas sebelumnya, yakni <math>12</math> dan <math>20</math>. Untuk mengetahui mengapa <math>\operatorname{FPB}(12,20) = 4</math>, kita perhatikan faktor-faktor dari kedua bilangan di bawah ini. * Faktor dari <math>12</math> adalah <math>1, 2, 3, {\color{red}{4}}, 6, 12</math> ~~:Faktorial 147 = '''3<sup>1</sup>''' x '''7<sup>2</sup>'''~~ * Faktor dari <math>20</math> adalah <math>1, 2, {\color{red}{4}}, 5, 10, 20</math> Karena faktor persekutuan terbesar dua bilangan adalah [[bilangan bulat]] terbesar yang membagi setiap bilangan bulat, maka kita simpulkan <math>\operatorname{FPB}(12,20) = 4</math>. Terdapat cara lain untuk mengerjakan ini. ~~:Faktorial 189 = '''3<sup>3</sup>''' x '''7<sup>1</sup>'''~~ === Pohon faktor === ~~:Faktorial 231 = '''3<sup>1</sup>''' x '''7<sup>1</sup>''' x 11<sup>1</sup>~~ Sebagai contoh, tinjau kedua bilangan di atas. Kita buatkan pohon faktor dari masing-masing bilangan: 12 20 /\ /\ 3 4 2 10 /\ /\ 2 2 2 5 Kita memperoleh <math>12 = {\color{red}{2^2}} \times 3</math> dan <math>20 = {\color{red}{2^2}} \times 5</math>, maka, <math>\operatorname{FPB}(12,20) = 2^2</math>, di mana hasilnya adalah <math>4</math>. * Ambil faktor-faktor yang sekutu (sama) dari ketiga faktorial tersebut, dalam hal ini '''3''' dan '''7'''. [[Berkas:24x60.svg\|jmpl\|Sebuah ubin dengan ukuran 24 kali 60, masing-masing dibagi menjadi ukuran yang sama, yang terbesar adalah 12 kali 12.]] === Visualisasi geometri === * Kalikan faktor-faktor sekutu yang memiliki pangkat terkecil, dalam hal ini '''3<sup>1</sup>''' x '''7<sup>1</sup>''' = 21. Ada cara lain untuk mengetahui faktor persekutuan terbesar, yaitu melalui visualisasi geometri. Sebagai contoh, pada gambar di samping kanan, kita memperoleh ubin dengan ukuran 24 kali 60. Ubin tersebut kita bagi lagi menjadi 1 kali 1, 2 kali 2, 3 kali 3, 4 kali 4, 6 kali 6, dan terbesarnya adalah 12 kali 12. Jadi, 12 merupakan faktor persekutuan terbesar dari 24 dan 60, karena <math>\tfrac{24}{12} = 2</math> dan <math>\tfrac{60}{12} = 5</math>. == Koprima == * Maka FPB dari bilangan 147, 189 dan 231 adalah '''21'''. Dengan kata lain, tidak ada bilangan yang lebih besar dari 21 yang dapat membagi habis bilangan 147, 189 dan 231. {{Main\|Koprima (bilangan)}} * Anom dalam Intelegen of East, KPK adalah Kelipatan Persekutuan Terkecil. Dua buah bilangan dikatakan [[Koprima (bilangan)\|koprima]], atau [[relatif prima]], atau [[saling prima]] [[jika dan hanya jika]] faktor persekutuan terbesar dari kedua bilangan tersebut bernilai 1.<ref name=":0" /> == ~~Algoritma Euklidean~~Penerapan == === Menyederhanakan pecahan === Salah satu penerapan terhadap faktor persekutuan terbesar adalah menyederhanakan pecahan<ref>{{Cite web\|title=Greatest Common Factor\|url=https://www.mathsisfun.com/greatest-common-factor.html\|website=www.mathsisfun.com\|access-date=2021-11-21\|archive-date=2005-10-29\|archive-url=https://web.archive.org/web/20051029072949/https://www.mathsisfun.com/greatest-common-factor.html\|dead-url=no}}</ref>. Sebagai contoh, tinjau pecahan <math>\frac{4}{8}</math>. Kita dapat sederhanakan pecahan ini dengan menggunakan faktor persekutuan terbesar. Faktor persekutuan terbesar dari <math>4</math> dan <math>8</math> adalah <math>\operatorname{FPB}(4,8) = 2</math>. Kita tuliskan sebagai :<math>\frac{4}{8} = \frac{2 \times 2}{2 \times 4} = \frac{1}{2}</math>. === Kelipatan persekutuan terkecil === ~~Cara lain untuk mencari '''FPB''' adalah dengan menggunakan [[algoritma Euklidean]]. Misalkan a dan b adalah 2 bilangan bulat yang tidak sama, maka algoritma Euklidean adalah sebagai berikut:~~ {{Main\|Kelipatan persekutuan terkecil}} Selain digunakan untuk menyederhanakan sebuah pecahan, faktor persekutuan terbesar juga dapat diterapkan dalam kelipatan persekutuan terkecil, di mana hubungan keduanya berkaitan dengan rumus berikut. {{Equation box 1 \|indent =: \|title= \|equation = <math>\operatorname{KPK}(a,b) = \frac{ab}{\operatorname{FPB}(a,b)}</math>.<ref>{{Cite web\|last=Weisstein\|first=Eric W.\|title=Least Common Multiple\|url=https://mathworld.wolfram.com/LeastCommonMultiple.html\|website=mathworld.wolfram.com\|language=en\|access-date=2021-11-21\|archive-date=2023-05-16\|archive-url=https://web.archive.org/web/20230516001830/https://mathworld.wolfram.com/LeastCommonMultiple.html\|dead-url=no}}</ref> \|cellpadding= 6 \|border \|border colour = #0073CF \|background colour=#F5FFFA}} == Algoritme Euklidean == {{Bagian tanpa referensi\|date=November 2021}} Cara lain untuk mencari '''FPB''' adalah dengan menggunakan [[algoritme Euklidean]]. Misalkan a dan b adalah 2 bilangan bulat yang tidak sama, maka algoritme Euklidean adalah sebagai berikut: :* a<sub>1</sub> = maximum(a,b)-minimum(a,b) Baris 64 ⟶ 97: ::b<sub>i</sub> = minimum(a<sub>i-1</sub>,b<sub>i-1</sub>) ~~Algoritma~~Algoritme tersebut berhenti hingga diperoleh a<sub>i</sub> = b<sub>i</sub>. FPB dari a dan b adalah a<sub>i</sub> = b<sub>i</sub>. Algoritme ini dapat lebih jauh disederhanakan lagi dengan pembagian Euklidean, yang dideskripsikan sebagai berikut: <math>\gcd(a, 0) = 0</math> <math>\gcd(a, b) = \gcd(b, a \,\mathrm{mod}\, b)</math> dengan <math>a \, \mathrm{mod} \, b</math> adalah [[operasi modulus]]. Pencarian algoritme Euklid dengan pembagian memerlukan sekitar <math>O(\log(\min(a, b)))</math> pembagian. == Lihat pula == * [[Kelipatan ~~Persekutuan~~persekutuan ~~Terkecil~~terkecil]] (KPK) == Rujukan == <references /> {{Authority control}} [[Kategori:Matematika]]