Fungsi hiperbolik invers: Perbedaan antara revisi

Asal-usul prefiks '''ar-''' berasal dari singkatan dari notasi fungsi hiperbolik yang serupa (seperti, arsinh dan arcosh) berdasarkan [[ISO 80000-2]]. Prefiks '''arc-''' yang berasal dari fungsi hiperbolik yang serupa (seperti, arcsinh dan arccosh) juga seringkali dipakai berdasarkan penamaan [[fungsi invers trigonometri]]. Namun sayangnya, pemakaian kedua prefiks tersebut keliru sebab prefiks ''arc'' merupakan singkatan dari ''arcus'', sedangkan prefiks ''ar'' merupakan singkatan dari ''area'' ({{Lang-id|luas, daerah}}). Karena itu, fungsi hiperbolik secara tidak langsung dikaitkan dengan busur.<ref name="Gullberg1997">As stated byMenurut [[Jan Gullberg]], ''Mathematics: From the Birth of Numbers'' (New York: [[W. W. Norton & Company]], 1997), {{ISBN|0-393-04002-X}}, phlm. 539:<blockquote>Another form of notation, {{nowrap|arcsinh ''x''}}, {{nowrap|arccosh ''x''}}, etc., is a practice to be condemned as these functions have nothing whatever to do with <u>arc</u>, but with <u>ar</u>ea, as is demonstrated by their full Latin names,

arcosh &nbsp;&nbsp;&nbsp; ''area cosinus hyperbolicus, etc.''</blockquote>Terjemahan:<blockquote>Bentuk notasi yang lain, seperti fungsi arcsinh ''x'', arccosh ''x'', dsb., sebaiknya dihindari. Sebab fungsi-fungsi tersebut tidak mempunyai kaitan dengan [awalan] <u>arc</u>, melainkan <u>ar</u>ea ({{Lang-id|luas}}), seperti yang ditunjukkan berdasarkan nama panjang dalam bahasa Latin, seperti arsinh (''area sinus hyperbolicus''), arcosh (''area cosinus hyperbolicus''), dsb.</blockquote></ref><ref name="ZeidlerEtAl20042">As stated byMenurut [[Eberhard Zeidler (mathematician)|Eberhard Zeidler]], [[Wolfgang Hackbusch]] anddan Hans Rudolf Schwarz, translated(diterjemahkan byoleh Bruce Hunt, ke ''[[Oxford Users' Guide to Mathematics]]'' (Oxford: [[Oxford University Press]], 2004), {{ISBN|0-19-850763-1}}, Section 0.2.13: "The inverse hyperbolic functions", phlm. 68: <blockquote>"The Latin names for the inverse hyperbolic functions are area sinus hyperbolicus, area cosinus hyperbolicus, area tangens hyperbolicus and area cotangens hyperbolicus (of ''x'').&nbsp;..." This aforesaid reference uses the notations arsinh, arcosh, artanh, and arcoth for the respective inverse hyperbolic functions.</blockquote>Terjemahan:<blockquote>"Nama-nama untuk fungsi hiperbolik invers, dalam bahasa Latin, adalah ''area sinus hyperbolicus'', ''area cosinus hyperbolicus'', ''area tangens hyperbolicus'', dan ''area kontangen hyperbolicus'' (dari ''x''). ...". Sumber yang telah disebutkan memakai notasi arsinh, arcosh, artanh, dan arcoth untuk masing-masing fungsi hiperbolik invers.</blockquote></ref><ref name="BronshteinEtAl20072">As stated byMenurut [[Ilja N. Bronshtein]], [[Konstantin A. Semendyayev]], Gerhard Musiol anddan Heiner Mühlig, ''[[Handbook of Mathematics]]'' (Berlin: [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]], 5th ed., 2007), {{ISBN|3-540-72121-5}}, {{doi|10.1007/978-3-540-72122-2}}, Section 2.10: "Area Functions", phlm. 91:<blockquote>The ''area functions'' are the inverse functions of the hyperbolic functions, i.e., the ''inverse hyperbolic functions''. The functions {{nowrap|sinh ''x''}}, {{nowrap|tanh ''x''}}, and {{nowrap|coth ''x''}} are strictly monotone, so they have unique inverses without any restriction; the function cosh ''x'' has two monotonic intervals so we can consider two inverse functions. The name ''area'' refers to the fact that the geometric definition of the functions is the area of certain hyperbolic sectors ...</blockquote>Terjemahan:<blockquote>''Area functions'' ({{Lang-id|''fungsi luas''}}) merupakan fungsi invers dari fungsi hiperbolik, atau disebut sebagai ''fungsi hiperbolik invers''. Fungsi-fungsi tersebut seperti {{nowrap|sinh ''x''}}, {{nowrap|tanh ''x''}}, dan {{nowrap|coth ''x''}} merupakan [fungsi yang] monoton dengan sempurna, yang membuat fungsi tersebut hanya mempunyai satu buah fungsi invers tanpa adanya batasan. Di sisi lain, fungsi cosh ''x'' mempunyai dua interval monotonik, dan begitupula kita dapat menganggap kedua fungsi invers [yang lain]. Nama ''area'' ({{Lang-id|''luas''}}) mengacu pada fakta bahwa definisi geometri dari fungsi merupakan luas dari daerah-daerah hiperbolik tertentu ...</blockquote></ref>

Notasi seperti {{nowrap|sinh⁻¹(''x'')}}, {{nowrap|cosh⁻¹(''x'')}}, dst. juga dipakai sebagai penggantinya.<ref name=":0">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Inverse Hyperbolic Functions|url=https://mathworld.wolfram.com/InverseHyperbolicFunctions.html|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2020-08-30|archive-date=2023-06-23|archive-url=https://web.archive.org/web/20230623155645/https://mathworld.wolfram.com/InverseHyperbolicFunctions.html|dead-url=no}}</ref><ref name=":1">{{Cite web|title=Inverse hyperbolic functions - Encyclopedia of Mathematics|url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Inverse_hyperbolic_functions|website=encyclopediaofmath.org|access-date=2020-08-30|archive-date=2023-07-11|archive-url=https://web.archive.org/web/20230711184331/https://encyclopediaofmath.org/wiki/Inverse_hyperbolic_functions|dead-url=no}}</ref><ref name="Press1992">{{cite book|last1=Press|first1=WH|last2=Teukolsky|first2=SA|last3=Vetterling|first3=WT|last4=Flannery|first4=BP|year=1992|title=Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing|publisher=Cambridge University Press|isbn=0-521-43064-X|edition=2nd|publication-place=New York|chapter=Section 5.6. Quadratic and Cubic Equations}}</ref><ref>{{Citation|last=Woodhouse|first=N. M. J.|author-link=N. M. J. Woodhouse|title=Special Relativity|publisher=Springer|place=London|date=2003|page=71|isbn=1-85233-426-6}}</ref> Namun sayangnya, superskrip −1 membingungkan para pembaca karena dapat diartikan sebagai perpangkatan atau fungsi invers (sebagai contoh, bandingkan {{nowrap|cosh⁻¹(''x'')}} dengan {{nowrap|cosh(''x'')⁻¹).}}

Karena [[fungsi hiperbolik]] merupakan [[fungsi rasional]] dari {{math|''e''^''x''}}, dengan derajat pada pembilang maupun penyebut setidaknya bernilai dua, fungsi-fungsi tersebut dapat diselesaikan dalam bentuk {{math|''e''^''x''}} dengan menggunakan [[rumus kuadratik]]. Maka, dengan mengambil [[logaritma alami]] akan memberikan eksrespiekspresi berikut untuk fungsi hiperbolik invers.

</math><ref>{{Cite web|title=Identities with inverse hyperbolic and trigonometric functions|url=https://math.stackexchange.com/q/1878399|website=math stackexchange|publisher=[[stackexchange]]|access-date=3 November 2016|archive-date=2023-07-26|archive-url=https://web.archive.org/web/20230726134647/https://math.stackexchange.com/questions/1878399/identities-with-inverse-hyperbolic-and-trigonometric-functions-such-as-tanh|dead-url=no}}</ref>