Grup abelian bebas: Perbedaan antara revisi

Dalam [[matematika]], '''grup abelian bebas''' atau '''modul Z bebas''' adalah [[grup abelian]] dengan [[Modul bebas | basis]], atau, ekuivalen, [[modul bebas]] di atas bilangan bulat.

Menjadi grup abelian berarti bahwa ini adalah [[Himpunan (matematika) | himpunan]] dengan operasi penjumlahan yaitu [[asosiatif]], [[komutatif]], dan dapat dibalik. Basis adalah himpunan bagian sehingga setiap elemen grup dapat diekspresikan secara unik sebagai [[kombinasi linear]] elemen basis dengan koefisien [[bilangan bulat]]. Misalnya, bilangan bulat dengan penjumlahan membentuk grup abelian gratis dengan basis {1}. Grup abelian bebas memiliki properti yang membuatnya mirip dengan [[ruang vektor]]. Mereka memiliki aplikasi di [[topologi aljabar]], di mana mereka digunakan untuk mendefinisikan [[Kaidah (topologi aljabar) | grup kaidah]], dan di [[geometri aljabar]], di mana mereka digunakan untuk mendefinisikan [[Pembagian (geometri aljabar) | pembagi]]. [[Kisi bilangan bulat]] juga merupakan contoh dari kelompok abelian bebas, dan [[Kisi (grup) | teori kisi]] mempelajari [[subkelompok]] ruang vektor nyata abelian bebas.

Setiap set '' B '' memiliki grup abelian bebad dengan '' B '' sebagai dasarnya. Grup ini unik dalam arti bahwa setiap dua grup abelian bebas dengan basis yang sama adalah [[grup isomorfisme | isomorfik]]. Alih-alih membangunnya dengan mendeskripsikan elemen individualnya, grup bebas dengan basis '' B '' dapat dibuat sebagai [[jumlah langsung]] salinan grup aditif dari bilangan bulat, dengan satu salinan per anggota '' B ''. Sebagai alternatif, grup abelian gratis dengan basis '' B '' dapat dijelaskan dengan [[presentasi grup | presentasi]] dengan elemen '' B '' sebagai generatornya dan dengan [[komutator]] pasangan anggota sebagai relatornya. '' Pangkat '' dari grup abelian bebas adalah kardinalitas suatu basis; setiap dua basis untuk grup yang sama memberikan peringkat yang sama, dan setiap dua grup abelian gratis dengan peringkat yang sama adalah isomorfik. Setiap subkelompok dari grup abelian gratis adalah abelian gratis itu sendiri; fakta ini memungkinkan grup abelian umum dipahami sebagai [[grup hasil bagi | hasil bagi]] dari grup abelian bebas dengan "relasi", atau sebagai [[kokernel]] dari [[group homomorphism | homomorphism]] antara kelompok abelian bebas. Satu-satunya grup abelian gratis yang merupakan [[grup bebas]] adalah [[grup trivial]] dan [[grup siklik tak hingga]].

Secara lebih umum, setiap [[Kisi (grup) | kisi]] membentuk grup abelian gratis [[Grup yang dihasilkan tak hingga | dihasilkan dengan baik]].<ref>{{citation|title=Advanced Number Theory with Applications|first=Richard A.|last=Mollin|publisher=CRC Press|year=2011|isbn=9781420083293|page=182|url=https://books.google.com/books?id=6I1setlljDYC&pg=PA182}}.</ref> Kisi-kisi bilangan bulat berdimensi '' d '' memiliki basis alami yang terdiri dari bilangan bulat positif [[vektor satuan]], tetapi memiliki banyak basis lain juga: jika '' M '' adalah matriks integer '' d '' × '' d '' dengan [[determinan]] ± 1, maka baris '' M '' membentuk basis, dan sebaliknya setiap basis dari integer kisi memiliki bentuk ini.<ref>{{citation|title=Lattice Basis Reduction: An Introduction to the LLL Algorithm and Its Applications|first=Murray R.|last=Bremner|publisher=CRC Press|year=2011|isbn=9781439807026|page=6|url=https://books.google.com/books?id=i5AkDxkrjPcC&pg=PA6}}.</ref> Untuk lebih lanjut tentang kasus dua dimensi, lihat [[pasangan periode fundamental]].

[[Produk langsung dari grup | produk langsung]] dari dua grup abelian bebas itu sendiri adalah abelian gratis, dengan basis [[persatuan disjoint]] dari basis kedua grup.<ref name="h74-ex5">{{harvtxt|Hungerford|1974}}, Exercise&nbsp;5, p.&nbsp;75.</ref> Secara umum, produk langsung dari beberapa grup abelian gratis yang jumlahnya terbatas adalah abelian gratis. Kisi bilangan bulat berdimensi '' d '', misalnya, isomorfik terhadap produk langsung dari salinan '' d '' dari grup bilangan bulat '''Z'''.

Misalnya [[grup Baer–Specker]] <math>\mathbb{Z}^\mathbb{N}</math>, sebuah kelompok tak terhitung dibentuk sebagai produk langsung dari [[terhitung tak hingga | terhitung]] banyak salinan <math>\mathbb{Z}</math>, ditunjukkan pada tahun 1937 oleh [[Reinhold Baer]] untuk tidak menjadi abelian bebas;<ref>{{citation

[[Jumlah langsung grup | jumlah langsung]] dari banyak grup hingga sama dengan produk langsung, tetapi berbeda dari produk langsung pada jumlah penjumlahan tak terbatas; unsur-unsurnya terdiri dari tupel unsur-unsur dari setiap kelompok dengan semua tetapi banyak dari mereka terbatas sama dengan unsur identitas. Seperti dalam kasus jumlah penjumlahan yang terbatas, jumlah langsung dari banyak kelompok abelian bebas yang tak terhingga tetap menjadi abelian bebas, dengan dasar yang dibentuk oleh (gambar dari) persatuan terputus dari dasar-dasar sumand.<ref name="h74-ex5"/>

[[Hasil kali tensor modul | produk tensor]] dari dua grup abelian bebas selalu merupakan abelian gratis, dengan basis [[produk Kartesius]] dari basis untuk dua grup dalam produk.<ref>{{citation

Setiap kelompok abelian dapat dianggap sebagai [[Modul (matematika) | modul]] di atas bilangan bulat dengan mempertimbangkan perkalian skalar dari anggota kelompok dengan bilangan bulat yang didefinisikan sebagai berikut:<ref>{{citation|title=Algebra|first1=Vivek|last1=Sahai|first2=Vikas|last2=Bist|publisher=Alpha Science Int'l Ltd.|year=2003|isbn=9781842651575|page=152|url=https://books.google.com/books?id=VsoyRX_nHLkC&pg=PA152}}.</ref>

Tidak seperti [[ruang vektor]], tidak semua grup abelian memiliki basis, oleh karena itu nama khusus untuk grup yang memilikinya. Misalnya, [[torsi (aljabar) | torsi]] modul <math> \mathbb Z</math>, dan dengan demikian setiap grup abelian terbatas, bukanlah grup abelian bebas, karena 0 dapat diuraikan dalam beberapa cara pada kumpulan elemen apa pun yang dapat menjadi kandidat untuk basis: <math>0 = 0\,b = n\,b</math> untuk beberapa bilangan bulat positif '' n ''. Di sisi lain, banyak properti penting dari grup abelian gratis dapat digeneralisasikan ke modul gratis melalui [[domain ideal utama]].<ref>Misalnya, submodul modul gratis di atas domain ideal utama adalah gratis, faktanya {{harvtxt|Hatcher|2002}} menulis memungkinkan untuk "generalisasi otomatis" mesin homologi untuk modul ini. Selain itu, teorema bahwa setiap proyektif modul <math>\Z</math> adalah generalisasi bebas dengan cara yang sama {{harv|Vermani|2004}}. {{citation|title=Algebraic Topology|first=Allen|last=Hatcher|publisher=Cambridge University Press|year=2002|isbn=9780521795401|page=196|url=https://books.google.com/books?id=BjKs86kosqgC&pg=PA196}}. {{citation|title=An Elementary Approach to Homological Algebra|series=Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics|first=L. R.|last=Vermani|publisher=CRC Press|year=2004|isbn=9780203484081|page=80|url=https://books.google.com/books?id=P27AtdajYRgC&pg=PA80}}.</ref>

Setiap dua basis dari grup abelian bebas yang sama memiliki [[kardinalitas]] yang sama, sehingga kardinalitas basis membentuk [[invarian (matematika) | invarian]] grup yang dikenal sebagai pangkatnya.<ref>{{harvtxt|Hungerford|1974}}, Theorem&nbsp;1.2, p.&nbsp;73.</ref><ref name="hm"/>

Secara khusus, grup abelian gratis adalah [[modul yang dihasilkan secara hingga | dihasilkan secara hingga]] jika dan hanya jika ranknya adalah bilangan terbatas '' n '', dalam hal ini grup tersebut isomorfik pada <math>\mathbb{Z}^n</math>.

Pengertian pangkat ini bisa digeneralisasikan, dari kelompok abelian bebas sampai kelompok abelian yang belum tentu bebas. [[Peringkat grup abelian]] '' G '' didefinisikan sebagai peringkat subgrup abelian bebas '' F '' dari '' G '' yang [[grup hasil bagi]] '' G ''/'' F '' adalah [[grup torsi]]. Sama halnya, itu adalah kardinalitas dari subset [[elemen maksimal | maksimal]] dari '' G '' yang menghasilkan subgrup bebas. Sekali lagi, ini adalah grup yang tidak berubah; itu tidak tergantung pada pilihan subgrup.<ref>{{citation|title=An Introduction to Algebraic Topology|volume=119|series=Graduate Texts in Mathematics|first=Joseph J.|last=Rotman|authorlink= Joseph J. Rotman |publisher=Springer|year=1988|isbn=9780387966786|pages=61–62|url=https://books.google.com/books?id=waq9mwUmcQgC&pg=PA61}}.</ref>

Setiap subgrup dari grup abelian gratis itu sendiri merupakan grup abelian gratis. Hasil dari [[Richard Dedekind]]<ref>{{Citation|title=Topics in the Theory of Group Presentations|volume=42|series=London Mathematical Society lecture note series|first=D. L.|last=Johnson|publisher=Cambridge University Press|year=1980|isbn=978-0-521-23108-4|page=9}}.</ref> adalah pendahulu dari analogi [[teorema Nielsen–Schreier]] bahwa setiap subkelompok dari [[grup bebas]] adalah bebas, dan merupakan generalisasi dari fakta bahwa [[Subgrup dari grup siklik | setiap subgrup nontrivial dari grup siklik tak hingga adalah siklik tak hingga]].

Semua grup abelian gratis adalah [[torsi (aljabar) | bebas torsi]], artinya tidak ada elemen grup (non-identitas) <math> x </math> dan integer bukan nol <math> n </math> semacam itu bahwa <math>nx=0</math>.

Sebaliknya, semua grup abelian bebas torsi yang dihasilkan tanpa batas adalah abelian bebas.<ref name="lee"/><ref name="h-ex9">{{harvtxt|Hungerford|1974}}, Exercise&nbsp;9, p.&nbsp;75.</ref> Hal yang sama berlaku untuk [[modul datar | kerataan]], karena grup abelian bebas torsi jika dan hanya jika datar.

Kelompok aditif dari [[bilangan rasional]] <math>\mathbb{Q}</math> memberikan contoh grup abelian bebas torsi (tetapi tidak dihasilkan secara hingga) yang bukan abelian gratis.<ref>{{harvtxt|Hungerford|1974}}, Exercise&nbsp;10, p.&nbsp;75.</ref> Salah satu alasannya <math>\mathbb{Q}</math> tidak abelian gratis adalah bahwa itu [[grup dibagi | habis dibagi]], artinya, untuk setiap elemen <math>x\in\mathbb{Q}</math> dan setiap bilangan bulat bukan nol <math> n </math>, dimungkinkan untuk mengekspresikan <math> x </math> sebagai beberapa skalar <math> ny </math> dari elemen lain <math>y=x/n</math>. Sebaliknya, kelompok abelian bebas bukan nol tidak pernah dapat dibagi, karena tidak mungkin salah satu elemen dasarnya menjadi kelipatan bilangan bulat nontrivial dari elemen lain.<ref>{{harvtxt|Hungerford|1974}}, Exercise&nbsp;4, p.&nbsp;198.</ref>

Jika <math> F </math> dan <math> A </math> seperti di atas, [[Kernel (aljabar) | kernel]] <math> G </math> dari perkiraan dari <math> F </math> to <math> A </math> juga bebas abelian, karena ini adalah subgrup <math> F </math> (subgrup elemen yang dipetakan ke identitas).

di mana <math> F </math> dan <math> G </math> keduanya abelian gratis dan <math> A </math> isomorfik ke [[grup faktor]] <math> F/G </math>. Ini adalah [[resolusi bebas]] dari <math>A</math>.<ref>{{citation|title=Homology Theory: An Introduction to Algebraic Topology|volume=145|series=Graduate Texts in Mathematics|first=James W.|last=Vick|publisher=Springer|year=1994|isbn=9780387941264|page=70|url=https://books.google.com/books?id=5Bq8YlLrNc8C&pg=PA70|accessdate=2020-12-15|archive-date=2023-08-09|archive-url=https://web.archive.org/web/20230809145220/https://books.google.com/books?id=5Bq8YlLrNc8C&pg=PA70|dead-url=no}}.</ref> Furthermore, assuming the [[axiom of choice]],<ref>Teorema bahwa kelompok abelian bebas bersifat projektif setara dengan aksioma pilihan; Lihat {{citation|title=Zermelo's Axiom of Choice: Its Origins, Development, and Influence|first=Gregory H.|last=Moore|publisher=Courier Dover Publications|year=2012|isbn=9780486488417|page=xii|url=https://books.google.com/books?id=3RLGKcEjVIoC&pg=PR12}}.</ref> grup abelian gratis tepatnya adalah [[modul proyektif | objek proyektif]] dalam [[kategori grup abelian]].<ref>{{citation | author=Phillip A. Griffith | title=Infinite Abelian group theory | series=Chicago Lectures in Mathematics | publisher=University of Chicago Press | year=1970 | isbn=0-226-30870-7 |page=18}}.</ref>

Dalam [[topologi aljabar]], jumlah formal dimensi-<math> k </math> [[simpleks | kesederhanaan]] disebut kaidah-<math> k </math>, dan grup abelian gratis yang memiliki kumpulan <math> k </math> sebagai dasarnya disebut grup berkaidah. Kesederhanaan umumnya diambil dari beberapa ruang topologi, misalnya sebagai himpunan <math> k </math> dalam [[kompleks sederhana]], atau himpunan [[homologi tunggal | singular]] <math> k </math> dalam sebuah [[manifold]]. Simpleks berdimensi <math> k </math> apa pun memiliki batas yang dapat direpresentasikan sebagai jumlah formal dari kesederhanaan dimensi <math> (k-1) </math>, dan properti universal grup abelian gratis memungkinkan operator batas ini diperluas ke [[homomorfisme grup]] dari <math> k </math> ke <math> (k-1) </math>. Sistem grup rantai yang dihubungkan oleh operator batas dengan cara ini membentuk [[kompleks rantai]], dan studi kompleks rantai membentuk dasar dari [[teori homologi]].<ref>{{citation|title=Computational Topology: An Introduction|first1=Herbert|last1=Edelsbrunner|author1-link=Herbert Edelsbrunner|first2=John|last2=Harer|publisher=American Mathematical Society|year=2010|isbn=9780821849255|pages=79–81|url=https://books.google.com/books?id=MDXa6gFRZuIC&pg=PA79}}.</ref>

[[Berkas:Z4 over z4minus1.jpg|thumb|upright=1.3|[[Fungsi rasional]] <math>z^4/(z^4-1)</math> memiliki nol berorde empat di 0 (titik hitam di tengah plot), dan kutub sederhana di empat bilangan kompleks <math>\pm 1</math> dan <math>\pm i</math> (titik putih di ujung empat kelopak). Ini dapat direpresentasikan (hingga [[Skalar (matematika) | skalar]]) oleh pembagi <math>4e_0-e_1-e_{-1}-e_i-e_{-i}</math> dimana <math>e_z</math> adalah elemen dasar untuk bilangan kompleks <math> z </math> dalam grup abelian bebas di atas bilangan kompleks.]]