Grup kuaternion: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif

Konten dihapus Konten ditambahkan

VisualTeks wiki

Revisi per 22 Desember 2020 02.05 sunting 123569yuuift (bicara \| kontrib) 2.955 suntingan Membuat halaman baru Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan		Revisi terkini sejak 3 September 2023 04.52 sunting balikkan Lim Natee (bicara \| kontrib) 533 suntingan Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan. Tag: VisualEditor Tugas pengguna baru Disarankan: tambahkan pranala
(3 revisi perantara oleh 3 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 2: [[Gambar:GroupDiagramQ8.svg\|240px\|thumb\|[[Grafik siklus (grup) \| Diagram siklus]] dari Q<sub>8</sub>. Setiap warna menentukan rangkaian kekuatan elemen apa pun yang terhubung ke elemen identitas e = 1. Misalnya, siklus berwarna merah mencerminkan fakta bahwa i<sup>2</sup> = {{overline\|e}}, i<sup>3</sup> = {{overline\|i}} dan i<sup>4</sup> = e. Siklus merah juga mencerminkan bahwa {{overline\|i}}<sup>2</sup> = {{overline\|e}}, {{overline\|i}}<sup>3</sup> = i dan {{overline\|i}}<sup>4</sup> = e.]] Dalam [[teori grup]], '''grup angka empat''' Q<sub>8</sub> (terkadang hanya dilambangkan dengan Q) adalah [[grup non-abelian]] dari [[Urutan grup \| urutan]] delapan, isomorfik ke [[himpunan bagian]] delapan elemen <math>\{1,i,j,k,-1,-i,-j,-k\}</math> dari [[angka empat]] di bawah perkalian. Ini diberikan oleh [[~~presentasi grup \|~~ presentasi grup]] :<math>\mathrm{Q}_8 = \langle \bar{e},i,j,k \mid \bar{e}^2 = e, \;i^2 = j^2 = k^2 = ijk = \bar{e} \rangle ,</math> di mana e adalah [[elemen identitas]] dan {{overline\|e}} [[~~komutatif \|~~ komutatif]] dengan elemen lain dalam grup. [[Presentasi grup#Contoh \| Presentasi Q<sub> 8 </sub>]] lainnya adalah: Baris 35: == Tabel Cayley == [[Tabel Cayley]] (tabel perkalian) untuk Q<sub> 8 </sub> diberikan oleh:<ref>See also [http://www.wolframalpha.com/input/?i=Quaternion+group a table] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20180428182021/http://www.wolframalpha.com/input/?i=Quaternion+group \|date=2018-04-28 }} dari [[Wolfram Alpha]]</ref> {\|class="wikitable" style="text-align:right" Baris 67: == Sifat == Perhatikan bahwa '' i '', '' j '', dan '' k '' semuanya memiliki [[urutan (teori grup) \| urutan]] empat di Q<sub> 8 </sub> dan dua di antaranya menghasilkan seluruh grup. [[Presentasi grup \| Presentasi]] lainnya dari Q<sub>8</sub><ref name="Johnson44-45">{{harvnb\|Johnson\|1980\|loc=pp. ~~44–45~~44–45}}</ref> berdasarkan hanya dua elemen untuk melewati redundansi ini adalah: :<math>\langle x,y \mid x^4 = 1, x^2 = y^2, y^{-1}xy = x^{-1}\rangle.</math> Baris 73: Seseorang mungkin mengambil, misalnya, <math>i = x, j = y</math>, dan <math>k = xy</math>. Grup quaternion memiliki properti yang tidak biasa sebagai [[grup Hamiltonian \| Hamiltonian]]: Q<sub>8</sub> non-abelian, tetapi setiap [[subgrup]] adalah [[subgrup normal \| normal]].<ref>See Hall (1999), [https://books.google.com/books?id=oyxnWF9ssI8C&pg=PA190 p. 190] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20230809152949/https://books.google.com/books?id=oyxnWF9ssI8C&pg=PA190 \|date=2023-08-09 }}</ref> Every Hamiltonian group contains a copy of Q<sub>8</sub>.<ref>See Kurosh (1979), [https://books.google.com/books?id=rp9c0nyjkbgC&pg=PA67 p. 67]</ref> Grup angka empat Q<sub> 8 </sub> dan grup dihedral D<sub> 4 </sub> adalah dua contoh terkecil dari grup non-abelian [[grup nilpoten \| nilpoten]]. Baris 103: \|} Karena karakter yang tidak dapat direduksi <math>\chi_\rho</math> pada baris di atas memiliki nilai riil, ini memberikan [[aljabar setengah sederhana#Klasifikasi \| dekomposisi]] ~~dari~~dari [[gelanggang grup \| aljabar grup]] nyata dari <math>G = Q_8</math> menjadi minimal dua sisi [[Ideal (teori gelanggang) \| ideal]]: <math>\textstyle \R[Q_8] \ = \ \bigoplus_\rho (e_\rho)</math>, di mana [[Idempoten (teori gelanggang) \| idempotensi]] <math>e_\rho\in \R[Q_8]</math> sesuai dengan irreducibles: <math>\textstyle e_\rho = \frac{\dim(\rho)}{\|G\|}\sum_{g\in G} \chi_\rho(g^{-1})g</math>, seperti<blockquote><math>e_{\text{triv}} = \tfrac 18(e + \bar e + i +\bar i+j+\bar j+k+\bar k)</math> <math>e_{i\text{-ker}} = \tfrac 18(e + \bar e + i +\bar i-j-\bar j-k-\bar k)</math> Baris 122: == Representasi matriks == [[Berkas:Quaternion group; Cayley table; subgroup of SL(2,C).svg\|thumb\|Tabel perkalian grup quaternion sebagai subkelompok [[Grup linier khusus \| SL]] (2, [[Bilangan kompleks\|'''C''']]). Entri diwakili oleh sektor yang sesuai dengan argumennya: 1 (hijau), '' i '' (biru), -1 (merah), -'' i '' (kuning).]] Kompleks tak tersederhanakan dua dimensi [[representasi grup \| representasi]] yang dijelaskan di atas memberikan grup kuatnion Q<sub>8</sub> sebagai subgrup dari [[grup linier umum]] <math>\operatorname{GL}_2(\Complex)</math>. Grup kuaternion adalah subgrup perkalian dari aljabar quaternion <math>\mathbb H=\mathbb R1+\mathbb Ri+\mathbb Rj+\mathbb Rk= \mathbb C1+\mathbb Cj</math>, yang memiliki [[representasi reguler]] <math>\rho:\mathbb H\to \mathrm{M}_2(\mathbb{C})</math> perkalian kiri dengan sendirinya dianggap sebagai [[ruang vektor]] kompleks dengan basis <math>\{1,j\}</math>, sehingga <math>z\in \mathbb H</math> sesuai dengan '''C'''-pemetaan linier <math>\rho_z:a{+}jb\mapsto z\cdot(a{+}jb)</math>. Representasi yang dihasilkan <math>\rho:\mathrm{Q}_8 \to \mathrm{GL}_{2}(\Complex),\ g\mapsto\rho_g,</math> diberikan oleh: :<math>\begin{matrix} Baris 162: Karena semua matriks di atas memiliki determinan unit, ini adalah representasi dari Q<sub> 8 </sub> dalam [[grup linear khusus]] SL<sub>2</sub>('''C''').<ref>{{harvnb\|Artin\|1991}}</ref> Varian memberikan representasi oleh [[~~Matriks kesatuan \|~~ matriks kesatuan]] (<nowiki/>tabel di kanan). Maka <math>g\in Q_8</math> sesuai dengan pemetaan linier <math>\rho_g:a{+}bj\mapsto (a{+}bj)\cdot jg^{-1}j^{-1}</math>, sehingga <math>\rho:\mathrm{Q}_8 \to \mathrm{SU}_{2}</math> diberikan oleh: <math>\begin{matrix} Baris 325: }} {{cite book \| author=Coxeter, H. S. M. \| author-link=H. S. M. Coxeter \| author2=Moser, W. O. J. \| name-list-style=amp\| title=Generators and Relations for Discrete Groups \| location=New York \| publisher=Springer-Verlag \| year=1980 \| isbn=0-387-09212-9}} Dean, Richard A. (1981) "A rational polynomial whose group is the quaternions", [[American Mathematical Monthly]] 88:~~42–5~~42–5. {{Citation \| last1=Gorenstein \| first1=D. \| author1-link=Daniel Gorenstein \| title=Finite Groups \| publisher=Chelsea \| location=New York \| isbn=978-0-8284-0301-6 \| mr=569209 \| year=1980}} {{citation Baris 345: \| isbn=978-0-387-94285-8 }} * P.R. Girard (1984) "The quaternion group and modern physics", [[European Journal of Physics]] 5:~~25–32~~25–32. {{Citation \| last=Hall Baris 368: == Pranala luar == {{MathWorld \| urlname = QuaternionGroup \| title = Quaternion group}} * [http://groupnames.org/#?quaternion Quaternion groups on GroupNames] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20230809151837/https://people.maths.bris.ac.uk/~matyd/GroupNames/#?quaternion \|date=2023-08-09 }} * Quaternion group on [https://groupprops.subwiki.org/wiki/Quaternion_group GroupProps] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20230514031705/http://groupprops.subwiki.org/wiki/Quaternion_group \|date=2023-05-14 }} * Conrad, Keith. [https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/grouptheory/genquat.pdf "Generalized Quaternions"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20230602170727/https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/grouptheory/genquat.pdf \|date=2023-06-02 }} [[Kategori: Teori grup]] [[Kategori: Grup hingga]] [[Kategori: Kuaternion]]