|
Ketika Peano merumuskan aksiomanya, bahasa [[logika matematika]] masih dalam masa pertumbuhannya. Sistem notasi logika yang dia buat untuk menyampaikan aksiomanya tidak menjadi populer, walaupun sistem tersebut merupakan asal mula dari notasi modern untuk [[Elemen (matematika)|keanggotaan himpunan]] (∈, yang berasal dari ε dari Peano) dan [[Konsekuensi logis|implikasi]] (⊃, yang berasal dari 'C' dari Peano yang dibalik.) Peano menjaga perbedaan antara simbol matematika dan logika, yang pada saat itu belum sering dijumpai dalam matematika; pemisahan seperti itu pertama kali diperkenalkan dalam ''[[Begriffsschrift]]'' oleh [[Gottlob Frege]], diterbitkan pada tahun 1879.{{sfn|van Heijenoort|1967|page=2}} Peano tidak mengetahui tentang karya Frege dan secara terpisah membuat ulang peraltan logikanya berdasarkan karya [[George Boole|Boole]] dan [[Ernst Schröder|Schröder]].{{sfn|van Heijenoort|1967|page=83}}
Aksioma Peano mendefinisikan sifat-sifat aritmetis dari ''[[bilangan asli]]'', biasanya dilambangkan sebagai sebuah [[Himpunan (matematika)|himpunan]] '''<math>\mathbf{N'''}</math> atau <math>\mathbb{N}.</math> [[Simbol non-logistaklogis]] untuk aksiomanya terdiri dari simbol konstantatetapan 0 dan simbol fungsi uner ''<math>S''</math>.
Aksioma pertama menyatakan bahwa konstantatetapan 0 adalah bilangan asli:
{{ordered list|start=1
| 1= 0 adalah sebuah bilangan asli.
Empat aksioma berikutnya menjelaskan [[relasi (matematika)|relasi]] [[kesamaan (matematika)|kesamaan]]. Karena mereka secara logika valid dalam logika predikat tingkat pertama dengan kesamaan, mereka tidak dianggap sebagai bagian dari "aksioma Peano" dalam penafsiran modern.{{sfn|van Heijenoort|1967|page=83}}
{{ordered list|start=2
| 2= Untuk setiap bilangan asli ''<math> x'' </math>, {{nowrap|1=''
<math> x'' = ''x''}} </math>. Artinya, kesamaan bersifat [[Relasi refleksif|refleksif]].
| 3= Untuk semua bilangan asli ''<math> x'' </math> dan ''<math> y'' </math>, jika {{nowrap|1=''<math> x'' = ''y''}} </math>, maka {{nowrap|1=''<math> y'' = ''x''}} </math>. Artinya, kesamaan bersifat [[Relasi simetrissimetrik|simetrissimetrik]].
| 4= Untuk semua bilangan asli ''<math> x'' </math>, ''<math> y'' </math> dan ''<math> z'' </math>, jika ''<math> x'' = ''y'' </math> dan ''<math> y'' = ''z'' </math>, maka {{nowrap|1=''<math> x'' = ''z''}} </math>. Artinya, kesamaan bersifat [[Relasi transitif|transitif]].
| 5= Untuk semua ''<math> a'' </math> dan ''<math> b'' </math>, jika ''<math> b'' </math> merupakan sebuah bilangan asli dan {{nowrap|1=''<math> a'' = ''b''}} </math>, maka ''<math> a'' </math> juga merupakan bilangan asli. Artinya, bilangan-bilangan asli bersifat [[ketertutupanKetertutupan (matematika)|tertutup]] di bawahterhadap kesamaan.
}}
Aksioma berikutnya mendefinisikan sifat-sifat aritmetis dari bilangan asli. Bilangan asli diasumsikan tertutup di bawah sebuah [[fungsi (matematika)|fungsi]] "[[fungsi penerus|penerus]]" dengan satu nilai, yang disebut ''<math>S''</math>.
{{ordered list|start=6
| 6=Untuk setiap bilangan asli ''<math> n'' </math>, ''<math> S''(''n'') </math> adalah bilangan asli. Artinya, bilangan asli [[Ketertutupan (matematika)|tertutup]] diterhadap bawah<math> ''S'' </math>.
| 7=Untuk semua bilangan asli ''<math> m'' </math> dan ''<math> n'' </math>, {{nowrap|1=''<math> m'' = ''n''}} </math> jika dan hanya jika {{nowrap|1=''<math> S''(''m'') = ''S''(''n'')}} </math>. Artinya, ''<math> S'' </math> bersifat [[fungsiFungsi injektif|injektif]].
| 8=Untuk setiap bilangan asli ''<math> n'' </math>, {{nowrap|1=''<math> S''(''n'') = 0}} </math> bernilai salah. Artinya, tidak ada bilangan asli yang penerusnya adalah 0.
}}
Perumusan Peano yang asli menggunakan 1 bukannya 0 sebagai bilangan asli "pertama".{{sfn|Peano|1889|page=1}} Pilihan ini dilakukan semaunya, karena aksioma 1 tidak memberikan konstantatetapan 0 sifat tambahan apapun. Akan tetapi, karena 0 merupakan [[elemen identitas|identitas penambahan]] dalam aritmetika, kebanyakan perumusan aksioma Peano modern memulai dari 0. Aksioma 1, 6, 7, 8 mendefinisikan sebuah [[sistem bilangan uner|representasi uner]] dari ide intuitif bilangan asli: bilangan 1 bisa didefinisikan sebagai ''<math>S''(0)</math>, 2 sebagai ''<math>S''(''S''(0))</math>, dan seterusnya. Namun, mempertimbangkan ide bilangan asli sebagaimana didefinisikan oleh aksioma-aksioma tersebut, aksioma 1, 6, 7, 8 tidak mengimplikasikan bahwa fungsi penerus menghasilkan semua bilangan asli yang berbeda dari 0. Dengan kata lain, mereka tidak menjamin bahwa setiap bilangan asli selain nol harus meneruskan suatu bilangan asli lainnya.
Ide intuitif bahwa setiap bilangan asli bisa diperoleh dengan menerapkan ''penerus'' pada nol memerlukan aksioma tambahan, yang terkadang disebut ''[[aksioma induksi]]''.
{{ordered list|start=9
| 9=Jika ''<math> K'' </math> merupakan sebuah himpunan sehingga:
* 0 merupakan anggota ''<math> K'' </math>, dan
* untuk setiap bilangan asli ''<math> n'' </math> , ''<math> n'' </math> merupakan anggota ''<math> K'' </math> mengimplikasikan ''<math> S''(''n'') </math> merupakan anggota ''<math> K'' </math>,
maka ''<math> K'' </math> berisi setiap bilangan asli.
}}
Aksioma induksi terkadang dinyatakan dalam bentuk berikut:
{{ordered list|start=9
| 9=Jika ''φ''<math> \varphi </math> adalah [[predikat (matematika)|predikat]] uner sehingga:
* ''φ''<math> \varphi(0) </math> bernilai benar, dan
* untuk setiap bilangan asli ''<math> n'' </math>, ''φ''<math> \varphi(''n'') </math> bernilai benar mengimplikasikan ''φ''<math> \varphi(''S''(''n'')) </math> bernilai benar,
maka ''φ''<math> \varphi(''n'') </math> bernilai benar untuk setiap bilangan asli ''<math> n'' </math>.
}}
== Aritmetika ==
Aksioma Peano dapat ditambah dengan operasi [[penjumlahanpenambahan]] dan [[perkalian]] dan [[urutan total|urutan total (linear)]] biasa pada [[bilangan asli#Notasi|'''N''']]. Fungsi dan relasi masing-masing dibangun dalam [[teori himpunan]] atau [[logika orde kedua]], dan dapat ditampilkan unik menggunakan aksioma Peano.
=== Penambahan ===
[[Penjumlahan N | PenjumlahanPenambahan]] adalah fungsi yang [[peta (matematika) | petamemetakan]] dua bilangan asli (dua elemen '''N''') satuke samabilangan lain. Ini didefinisikan secara [[rekursi | rekursif]]f sebagai:
: <math>\begin{align}
: <math>\begin{align}
a + 1 &= a + S(0) & \mbox{bymenggunakan definitiondefinisi} \\
&= S(a + 0) & \mbox{usingmenggunakan (2)} \\
&= S(a), & \mbox{usingmenggunakan (1)} \\
\\
a + 2 &= a + S(1) & \mbox{bymenggunakan definitiondefinisi} \\
&= S(a + 1) & \mbox{usingmenggunakan (2)} \\
&= S(S(a)) & \mbox{usingmenggunakan } a + 1 = S(a) \\
\\
a + 3 &= a + S(2) & \mbox{bymenggunakan definitiondefinsi} \\
&= S(a + 2) & \mbox{usingmenggunakan (2)} \\
&= S(S(S(a))) & \mbox{usingmenggunakan } a + 2 = S(S(a)) \\
\text{etcdst.} & \\
\end{align}</math>
[[Struktur matematika | struktur]] {{nowrap|<math>('''\N''', +)}}</math> adalah [[komutatifmonoid]] [[monoidkomutatif]] dengan elemen identitas 0. {{nowrap|<math>('''\N''', +)}}</math> juga merupakan [[propertiSifat pembatalan | pembatalan]] [[magma (aljabar) | magma]], dan dengan demikian [[embedding Pembenaman| dapat disematkandibenamkan]] dalam [[grup (matematika) | grup]]. Grup terkecil yang menyematkanmembenamkan '''<math>\N'''</math> adalah [[bilangan bulat]].
=== Perkalian ===
a \cdot S (b) &= a + (a \cdot b).
\end{align}</math>
Sangat mudah untuk melihat bahwa '' <math>S ''(0)</math> (atau "1", dalam bahasa familiar [[representasi desimal]]) adalah perkalian [[elemen identitas | identitas kanan]]:
: ''<math>a'' ·\cdot ''S''(0) = ''a'' + (''a'' ·\cdot 0) = ''a'' + 0 = ''a''</math>
Untuk menunjukkan bahwa '' <math>S ''(0)</math> juga merupakan identitas multiplikatifperkalian kiri memerlukan aksioma induksi karena cara perkalian didefinisikan:
* ''<math>S''(0)</math> adalah identitas kiri 0: ''<math>S''(0) ·\cdot 0 = 0</math>.
* Jika ''<math>S''(0)</math> adalah identitas kiri dari '' <math>a ''</math> (yaitu ''<math>S''(0) ·\cdot ''a'' = ''a''</math>), maka ''<math>S''(0)</math> juga merupakan identitas kiri ''<math>S''(''a'')</math>: ''<math>S''(0) ·\cdot ''S''(''a'') = ''S''(0) + ''S''(0) ·\cdot ''a'' = ''S''(0) + ''a'' = ''a'' + ''S''(0) = ''S''(''a'' + 0) = ''S''(''a'')</math>.
Oleh karena itu, dengan aksioma induksi '' <math>S ''(0)</math> adalah identitas kiri perkalian dari semua bilangan asli. Selain itu, dapat ditunjukkan bahwa perkalian bersifat komutatif dan penjumlahan [[hukum distributif | distributif]]:
: ''<math>a'' ·\cdot (''b'' + ''c'') = (''a'' ·\cdot ''b'') + (''a'' ·\cdot ''c'')</math>.
Jadi, <math>(\mathbb{{nowrap|('''N'''}, + , 0, ·\cdot, ''S''(0))}}</math> adalah komutatif [[semigelanggang]].
=== KetimpanganPertidaksamaan ===
Relasi [[totalurutan ordertotal]] biasa ≤ pada bilangan asli dapat didefinisikan sebagai berikut, dengan asumsi 0 adalah bilangan asli:
: Untuk semua {{nowrap|''<math>a'', ''b'' ∈\in '''\mathbb{N'''}}</math>, {{nowrap|''<math>a'' ≤\le ''b''}}</math> jika dan hanya jika adaterdapatu beberapasuatu {{nowrap|''<math>c'' ∈\in '''\mathbb{N'''}}</math> suchsehingga that {{nowrap|1=''<math>a'' + ''c'' = ''b''}}</math>.
Hubungan ini stabil dalamterhadap penjumlahan dan perkalian: untuk <math> a, b, c \in \mathbfmathbb{N} </math>, ifjika {{nowrap|''<math>a'' ≤\le ''b''}}</math>, kemudianmaka:
* ''<math>a'' + ''c'' ≤\le ''b'' + ''c''</math>, dan
* ''<math>a'' ·\cdot ''c'' ≤\le ''b'' ·\cdot ''c''</math>.
Jadi, struktur <math>(\mathbb{{nowrap|('''N'''}, +, ·\cdot, 1, 0, ≤\le)}}</math> adalah [[gelanggang order| semiringsemigelanggang terurut]]; karena tidak ada bilangan asli antara 0 dan 1, ini adalah semiring terurut diskrit.
== Teori aritmetika orde pertama ==
Semua aksioma Peano kecuali aksioma kesembilan (aksioma induksi) adalah pernyataan dalam [[logika orde pertama]].{{sfn|Partee|Ter Meulen|Wall|2012|page=215}} Operasi aritmatikaaritmetika penjumlahan dan perkalian dan hubungan urutan juga dapat ditentukan menggunakan aksioma orde pertama. Aksioma induksi ada di [[logika orde kedua | orde kedua]], karena [[Pembilang (logika) | mengkuantifikasi]] melebihi predikat (setara, kumpulan bilangan asli daripada bilangan asli), tetapi dapat diubah menjadi induksi orde pertama '' [[skema aksioma]] ''. Skema seperti itu mencakup satu aksioma per predikat yang dapat didefinisikan dalam bahasa orde pertama aritmatikaaritmetika Peano, membuatnya lebih lemah daripada aksioma orde kedua.{{sfnp|Harsanyi|1983}} Alasan yang lebih lemah adalah bahwa jumlah predikat dalam bahasa orde pertama dapat dihitung, sedangkan jumlah himpunan bilangan asli tidak dapat dihitung. Jadi, ada himpunan yang tidak bisa dideskripsikan dalam bahasa urutan pertama (pada kenyataannya, sebagian besar himpunan memiliki sifat ini).
Aksiomatisasi orde pertama aritmatikaaritmetika Peano memiliki batasan teknis lain. Dalam logika orde kedua, dimungkinkan untuk menentukan operasi penjumlahan dan perkalian dari [[fungsi penerus | operasi penerus]], tetapi ini tidak dapat dilakukan dalam pengaturan logika orde pertama yang lebih ketat. Oleh karena itu, operasi penjumlahan dan perkalian secara langsung dimasukkan dalam [[tanda tangan (logika) | tanda tangan]] aritmatikaaritmetika Peano, dan aksioma dimasukkan yang menghubungkan ketiga operasi satu sama lain.
Daftar aksioma berikut (bersama dengan aksioma persamaan yang biasa), yang berisi enam dari tujuh aksioma [[aritmetika Robinson]], cukup untuk tujuan ini:{{sfn|Mendelson|1997|page=155}}
* <math>\forall x, y \ (x \cdot S ( y ) = x \cdot y + x )</math>
Selain daftar aksioma numerik ini, aritmatikaaritmetika Peano berisi skema induksi, yang terdiri dari [[himpunan yang dapat dihitung secara rekursif | dapat dihitung secara rekursif]] dari [[aksioma]]. Untuk setiap rumus {{nowrap|''φ''<math>\varphi(''x'', ''y''<sub>1</sub>y_1, ...\dots, ''y''<sub>''k''y_k)</submath>)}} dalam bahasa aritmatikaaritmetika Peano, '''aksioma induksi orde pertama''' untuk ''φ'<math>\varphi</math> 'adalah kalimat
:<math>\forall \bar{y} ((\varphi(0,\bar{y}) \land \forall x ( \varphi(x,\bar{y})\Rightarrow\varphi(S(x),\bar{y}))) \Rightarrow \forall x \varphi(x,\bar{y}))</math>
dimana <math>\bar{y}</math> adalah singkatan dari ''y''<sub>1</submath>y_1,... \dots,''y''<sub>''k'' y_k</submath>. Skema induksi orde pertama menyertakan setiap instancecontoh aksioma induksi orde pertama, yaitu, menyertakan aksioma induksi untuk setiap rumus '' φ ''.
=== Aksiomatisasi setara ===
Ada banyak aksiomatizasiaksiomatisasi aritmatikaaritmetika Peano yang berbeda, tetapi setara. Sementara beberapa aksioma, seperti yang baru saja dijelaskan, menggunakan tanda tangan yang hanya memiliki simbol untuk 0 dan operasi penerus, penjumlahan, dan perkalian, aksiomatizasiaksiomatisasi lain menggunakan bahasa [[gelanggang terurut | semiring terurut]], termasuk simbol hubungan ketertiban tambahan. Salah satu aksiomatisasi tersebut dimulai dengan aksioma-aksioma berikut yang menggambarkan semiring terurut diskrit.{{sfn|Kaye|1991|pages=16–18}}
<!-- Aksioma-aksioma ini diambil langsung dari Kaye 1991. Harap jangan "mengubah" mereka, menambahkan aksioma tambahan, atau menghapus aksioma tanpa diskusi di halaman pembicaraan. -->
# <math>\forall x, y, z \ ( (x + y) + z = x + (y + z) )</math>, yaitu, penambahan adalah [[sifat asosiatif | asosiatif]].
# <math>\forall x, y \ ( x + y = y + x )</math>, yaitu, penambahan adalah [[sifat komutatif | komutatif]].
# <math>\forall x, y, z \ ( (x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z) )</math>, i.e.yaitu, multiplicationperkaliannya isadalah associativeasosiatif.
# <math>\forall x, y \ ( x \cdot y = y \cdot x )</math>, yaitu, perkalian bersifat komutatif.
# <math>\forall x, y, z \ ( x \cdot (y + z) = (x \cdot y) + (x \cdot z) )</math>, yaitu, perkalian [[sifat distributif | mendistribusikan]] melebihiatas penjumlahanpenambahan.
# <math>\forall x \ ( x + 0 = x \land x \cdot 0 = 0 )</math>, yaitu, nol adalah [[elemen identitas | identitas]] untuk penjumlahanpenambahan, dan [[elemen penyerap]] untuk perkalian (sebenarnya berlebihan{{NoteTag|"<math> \forall x \ ( x \cdot 0 = 0 ) </math>" dapat dibuktikan dari aksioma lainnya (pada logika orde pertama) sebagai berikut. Pertama, <math> x \cdot 0 + x \cdot 0 = x \cdot (0+0) = x \cdot 0 = x \cdot 0 + 0 </math> dengan distribusi dan identitas aditif. Kedua, <math> x \cdot 0 = 0 \lor x \cdot 0 > 0 </math> dengan Aksioma 15. Jika <math> x \cdot 0 > 0 </math> kemudian <math> x \cdot 0 + x \cdot 0 > x \cdot 0 + 0 </math> bydengan penambahan elemen dan komutativitas yang sama, dan karenanya <math> x \cdot 0 + 0 > x \cdot 0 + 0 </math> dengan substitusi, bertentangan dengan ketidakfleksibelanketakrefleksifan. Oleh karena itu, ini harus haruslahbahwa <math> x \cdot 0 = 0 </math>.}}).
# <math>\forall x \ ( x \cdot 1 = x )</math>, yaitu, satu adalah [[elemen identitas | identitas]] untuk perkalian.
# <math>\forall x, y, z \ ( x < y \land y < z \Rightarrow x < z )</math>, yaitu, operator '<math><</math>' adalah [[relasi transitif | transitif]].
# <math>\forall x \ ( \neg (x < x) )</math>, yaitu, operator '<math><</math>' adalah [[Relasi refleksif | tidak refleksif]].
<!--
# <math>\forall x, y \ ( x < y \lor x = y \lor y < x )</math>, i.e., the ordering satisfies [[trichotomy (mathematics)|trichotomy]].
=== Sumber ===
{{div col|colwidth=30em}}
{{refbegin}}
* {{cite book |last1=Fritz|first =Charles A., Jr.|year=1952|title=Bertrand Russell's construction of the external world|url=https://archive.org/details/bertrandrussells0000frit|url-access=registration|ref=harv}}
* {{cite journal |last=Gentzen|first=Gerhard|author-link=Gerhard Gentzen|year=1936|title=Die Widerspruchsfreiheit der reinen Zahlentheorie|journal=[[Mathematische Annalen]]|volume=112|pages=132–213|doi=10.1007/bf01565428|others=Reprinted in English translation in his 1969 ''Collected works'', M. E. Szabo, ed. |ref=harv}}
* {{cite journal| last=Gödel| first=Kurt| author-link=Kurt Gödel| title=Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I| journal=Monatshefte für Mathematik| year=1931| volume=38| pages=173–198| url=http://www.w-k-essler.de/pdfs/goedel.pdf| doi=10.1007/bf01700692| others=See [[On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems]] for details on English translations.| ref=harv| access-date=2013-10-31| archive-url=https://web.archive.org/web/20180411113347/http://www.w-k-essler.de/pdfs/goedel.pdf| archive-date=2018-04-11| url-status=dead}}
* {{cite journal|last=Gödel|first=Kurt|author-link=Kurt Gödel|year=1958|title=Über eine bisher noch nicht benützte Erweiterung des finiten Standpunktes|journal=[[Dialectica]]|volume=12|pages=280–287|others=Reprinted in English translation in 1990. Gödel's ''Collected Works'', Vol II. [[Solomon Feferman]] et al., eds.|publisher=[[Oxford University Press]]|ref=harv|doi=10.1111/j.1746-8361.1958.tb01464.x }}
* {{cite journal |last=Grassmann |first=Hermann |author-link=Hermann Grassmann| |title=Lehrbuch der Arithmetik |trans-title=A tutorial in arithmetic |year=1861 |publisher=Enslin |url = http://www.uni-potsdam.de/u/philosophie/grassmann/Werke/Hermann/Lehrbuch_der_Arithmetik_1861.pdf |ref=harv |journal= |access-date=2020-06-25 |archive-date=2013-11-03 |archive-url=https://web.archive.org/web/20131103151021/http://www.uni-potsdam.de/u/philosophie/grassmann/Werke/Hermann/Lehrbuch_der_Arithmetik_1861.pdf |dead-url=yes }}
* {{cite book |last=Gray |first=Jeremy |author-link=Jeremy Gray |title=Henri Poincaré: A scientific biography |chapter=The Essayist |chapterurl=https://books.google.com/books?id=w2Tya9gOKqEC&pg=PA133 |page=133 |year=2013 |publisher=[[Princeton University Press]] |isbn=0-691-15271-3 |ref=harv }}
* {{cite journal|last=Hilbert|first=David|year=1902|title=Mathematische Probleme|trans-title=Mathematical Problems|journal=Bulletin of the American Mathematical Society|volume=8|pages=437–479|url=http://www.ams.org/journals/bull/1902-08-10/S0002-9904-1902-00923-3/home.html|translator-first=Maby|translator-last=Winton|doi=10.1090/s0002-9904-1902-00923-3|ref=harv|doi-access=free}}
* {{cite journal|last=Peirce|first=C. S.|authorlink=Charles Sanders Peirce|title=On the Logic of Number |url=https://archive.org/details/jstor-2369151|journal=American Journal of Mathematics|volume=4|year=1881|pages=85–95|doi=10.2307/2369151|mr=1507856 |jstor=2369151|ref=harv}}
* {{cite book|last=Shields|first=Paul|year=1997|title=Studies in the Logic of Charles Sanders Peirce|url=https://archive.org/details/studiesinlogicof00nath|url-access=registration|chapter=3. Peirce's Axiomatization of Arithmetic|chapterurl=https://books.google.com/books?id=pWjOg-zbtMAC&pg=PA43 |editor1-last=Houser|editor1-first=Nathan|editor2-last=Roberts|editor2-first=Don D.|editor3-last=Van Evra|editor3-first=James |publisher=Indiana University Press |isbn=0-253-33020-3 |pages=43–52 |ref=harv}}
* {{cite book |author-last=van Heijenoort |author-first=Jean |author-link=Jean van Heijenoort |year=1967 |title=From Frege to Godel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931 |url=https://archive.org/details/fromfregetogodel0000vanh |publisher=Harvard University Press |isbn=9780674324497 |ref=harv }}
** Berisi terjemahan dari dua makalah berikut, dilengkapi komentar:
*** {{cite book |last=Dedekind|first=Richard|author-link=Richard Dedekind|year=1890|title=Letter to Keferstein.|pages=98–103|others= On p. 100, he restates and defends his axioms of 1888.|ref=harv}}
*** {{cite book |last=Peano|first=Giuseppe|author-link=Giuseppe Peano|year=1889|title=Arithmetices principia, nova methodo exposita |trans-title=The principles of arithmetic, presented by a new method|pages=83–97 |url = https://archive.org/details/arithmeticespri00peangoog |others= An excerpt of the treatise where Peano first presented his axioms, and recursively defined arithmetical operations.|ref=harv }}
*{{cite journal
| last = Willard
| first = Dan E.
| authorlink = Dan Willard
| doi = 10.2307/2695030
| issue = 2
| year = 2001
| ref = harv
| access-date = 2020-07-16
| archive-date = 2020-11-09
| archive-url = https://web.archive.org/web/20201109033211/http://www.cs.albany.edu/~dew/m/jsl1.pdf
| dead-url = yes
{{refend}}
{{div col end}}
== Bacaan lanjutan ==
| 