Turunan: Perbedaan antara revisi

{{Kalkulus}}

[[Berkas:Tangent to a curve.svg|jmpl|[[Grafik fungsi]] (warna hitam) dan [[garis tangen]] pada fungsi (warna merah). [[Kemiringan]] dari garis tangen sama dengan turunan fungsi pada titik tersebut.]]

 

 

 

Proses menemukan turunan disebut '''diferensiasi'''. Kebalikan proses ini disebut dengan ''[[antiturunan]]''. [[Teorema fundamental kalkulus]] menyatakan hubungan diferensiasi dengan [[integral|integrasi]]. Turunan dan integral adalah dua operasi dasar dalam kalkulus satu-variabel.

 

Konsep turunan fungsi yang universal banyak digunakan dalam berbagai cabang matematika maupun bidang ilmu yang lain. Dalam bidang [[ekonomi]], turunan digunakan untuk menghitung [[biaya marginal]], total penerimaan, dan biaya produksi. Bidang [[biologi]] menggunakan turunan untuk menghitung laju pertumbuhan mikroorganisme, dalam bidang [[fisika]] untuk menghitung kepadatan kawat, dalam bidang [[kimia]] untuk menghitung laju pemisahan, dalam bidang [[geografi]] untuk menghitung laju pertumbuhan penduduk, dan masih banyak lagi.

 

== Pendahuluan ==

 

: <math>m=\frac{\text{perubahan nilai } y}{\text{perubahan nilai } x} = \frac{\Delta y}{\Delta x},</math>

 

=== Asal-usul definisi ===

Salah satu cara umum untuk menyatakan cara diferensiasi yang intuitif ke dalam definisi yang matematis adalah dengan mendefinisikan turunan sebagai [[limit]] dari perbandingan dua bilangan real.<ref>Spivak 1994, chapter 10.</ref> Pendekatan ini dapat dijabarkan sebagai berikut.

 

<math>Q(h)</math> secara geometris menyatakan kemiringan dari garis sekan yang melalui <math>(a,\, f(a))</math> dan <math>(a+h,\, f(a+h))</math>. Jika {{math|''f''}} adalah [[fungsi kontinu]], secara informal mengartikan grafik fungsinya berupa kurva tak putus dan tidak mengandung celah, maka fungsi {{math|''Q''}} kontinu selain di <math>h=0</math>. Jika limit <math>\lim_{h\to0}Q(h)</math> ada, maka ada cara lain memilih nilai untuk {{math|''Q''(0)}} yang membuat {{math|''Q''}} menjadi fungsi kontinu, membuat fungsi {{math|''f''}} terdiferensialkan di {{math|''a''}}, dan besar turunannya di {{math|''a''}} sama dengan {{math|''Q''(0)}}. Pada praktiknya, keberadaan {{math|''Q''(''h'')}} yang kontinu di <math>h=0</math> ditunjukkan dengan mengubah ekspresi pada pembilang agar dapat "mencoret" semua suku {{math|''h''}} pada penyebut. Manipulasi seperti itu memungkinkan nilai limit dari {{math|''Q''}} untuk nilai {{math|''h''}} yang kecil terlihat jelas, walaupun {{math|''Q''}} masih tidak terdefinisi di <math>h=0</math>. Proses manipulasi ini dapat sangat panjang dan melelahkan untuk fungsi yang rumit, dan banyak jalan pintas digunakan untuk menyederhanakan proses.

 

[[Berkas:Parabola2.svg|jmpl|Fungsi kuadrat]]

 

<math display="block">

& = \lim_{h\to 0}\frac{a^2 + 2ah + h^2 - a^2}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{2ah + h^2}{h} \\[0.3em]

& = \lim_{h\to 0}{(2a + h)} = 2a

 

[[Berkas:Right-continuous.svg|ka|jmpl|Fungsi tangga tidak memiliki turunan pada titik berwarna merah, karena fungsi tidak kontinu di titik tersebut.]]

 

Secara singkat, fungsi yang terdiferensialkan adalah fungsi yang kontinu, tetapi ada fungsi kontinu yang tidak dapat didiferensialkan.

 

== Turunan sebagai sebuah fungsi ==

Misalkan {{math|''f''}} adalah fungsi yang memiliki turunan di setiap titik di [[Ranah fungsi|domainnya]]. Seseorang dapat mendefinisikan sebuah fungsi yang memetakan setiap titik {{mvar|x}} ke nilai dari turunan {{mvar|f}} di {{mvar|x}}. Salah satu notasi untuk menulis fungsi ini adalah <math>f'</math>, dan disebut sebagai ''fungsi turunan'' atau ''turunan dari'' {{math|''f''}}. Terkadang {{math|''f''}} memiliki turunan pada sebagian besar, tapi tidak semua, titik di domainnya. Fungsi yang nilainya di {{mvar|a}} sama dengan <math>f'(a)</math> kapanpun nilai <math>f'(a)</math> terdefinisi, dan tidak terdefinisi di nilai-nilai yang lainnya, juga disebut turunan dari {{math|''f''}}. Fungsi ini memiliki domain yang lebih kecil daripada domain dari {{math|''f''}}.

 

 

Karena {{math|''D''}} menghasilkan sebuah fungsi, hasil dari {{math|''D''}} dapat dievaluasi di suatu titik. Sebagai contoh, ketika {{math|''D''}} diterapkan pada fungsi kuadrat {{math|''x'' ↦ ''x''²}}, {{math|''D''}} akan menghasilkan fungsi {{math|''x'' ↦ 2''x''}}, yang dapat diberi nama {{math|''f''(''x'')}}. Fungsi hasil ini selanjutnya dapat digunakan untuk menghitung {{math|''f''(1) {{=}} 2}}, {{math|''f''(2) {{=}} 4}}, dan seterusnya.

 

== Notasi turunan ==

{{Main|Notasi untuk diferensiasi}}

Beberapa notasi untuk menyatakan turunan dikembangkan pada awal perkembangan kalkulus, dan beberapa notasi tersebut masih digunakan saat ini.

 

 

=== Notasi Newton ===

 

: <math>\dot{y}</math> &#x2003; dan &#x2003; <math>\ddot{y}</math>

 

 

=== Notasi Euler ===

walaupun tika bawah umumnya tidak digunakan jika konteks variabel <math>x</math> dapat dipahami, contohnya ketika <math>x</math> adalah satu-satunya variabel bebas dalam ekspresi. Notasi Euler berguna dalam menyatakan dan menyelesaikan sistem [[persamaan diferensial linear]].

 

 

 

* ''[[Turunan pangkat]]'':

*: <math> \frac{d}{dx}x^a = ax^{a-1}.</math>

* Fungsi ''[[Fungsi eksponensial|eksponensial]]'' dan ''[[logaritma]]'':

*: <math> \frac{d}{dx}e^x = e^x.</math>

*: <math> \frac{d}{dx}\arctan(x)= \frac{1}{{1+x^2}}</math>

 

 

* ''[[Linearitas diferensiasi|Kaidah jumlah]]'':

*: <math>(\alpha f + \beta g)' = \alpha f' + \beta g' </math> untuk semua fungsi {{Math|''f''}} dan {{Math|''g''}}, dan untuk semua bilangan real ''<math>\alpha</math>'' dan ''<math>\beta</math>''.

* ''[[Kaidah darab]]'':

* ''[[Kaidah hasil-bagi]]'':

 

=== Contoh perhitungan ===

: <math>f(x) = x^4 + \sin \left(x^2\right) - \ln(x) e^x + 7</math>

 

 

: <math>

</math>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{{Main|Turunan parsial}}{{multiple image

| align = right

: <math>\frac{df_{a_1,\ldots,a_{i-1},a_{i+1},\ldots,a_n}}{dx_i}(a_i) = \frac{\partial f}{\partial x_i}(a_1,\ldots,a_n).</math>

 

 

Turunan parsial juga memainkan peran penting dalam pembahasan terkait fungsi bernilai vektor. Misalkan <math>\mathbf f(x_1,\,\dots,\,x_n)</math> sebagai fungsi bernilai vektor. Jika semua turunan parsial <math>\tfrac{\partial \mathbf f}{\partial x_j}</math> terdefinisi di titik <math>\mathbf a = (a_1,\,\dots,\,a_n)</math>, turunan-turunan parsial ini mendefinisikan sebuah vektor

yang disebut sebagai [[gradien]] dari <math>\mathbf f</math> di <math>\mathbf a</math>. Jika <math>\mathbf f</math> terdiferensialkan di setiap titik di suatu domain, maka gradien adalah sebuah fungsi bernilai vektor <math>\nabla \mathbf f</math> yang memetakan titik <math>(a_1,\,\dots,\,a_n)</math> ke vektor <math>\nabla \mathbf f(a_1,\,\dots,\,a_n)</math>. Akibatnya, gradien menentukan suatu [[medan vektor]].

 

{{Main|Turunan berarah}}

Jika <math>f</math> adalah fungsi bernilai real di <math>\R^n</math>, maka turunan parsial <math>f</math> mengukur variasi turunan dalam arah sumbu koordinat. Sebagai contoh, jika <math>f</math> adalah fungsi dari <math>x</math> dan <math>y</math>'','' maka turunan parsial <math>f</math> mengukur variasi di <math>f</math> dalam arah <math>x</math> dan <math>y</math>. Tapi, turunan <math>f</math> tidak mengukur secara langsung variasi <math>f</math> pada setiap arah lainnya, contohnya di sepanjang garis diagonal <math>y = x</math>. Ini diukur menggunakan turunan berarah. Misalkan vektor

 

: <math>D_{\mathbf{v}}{f}(\mathbf{x}) = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(\mathbf{x} + h\mathbf{v}) - f(\mathbf{x})}{h}}.</math>

 

 

: <math>\frac{f(\mathbf{x} + (k/\lambda)(\lambda\mathbf{u})) - f(\mathbf{x})}{k/\lambda}

Definisi yang sama juga berlaku ketika <math>f</math> berupa fungsi yang memiliki nilai di <math>\R^m</math>; dengan menerapkan definisi pada setiap komponen vektor. Pada kasus ini, turunan berarah merupakan vektor di <math>\R^m</math>.

 

{{Main|Turunan total}}Jika <math>f</math> merupakan sebuah fungsi dari himpunan terbuka dari <math>\R^n</math> ke <math>\R^m</math>, maka turunan berarah <math>f</math> dalam arah yang dipilih merupakan hampiran linear terbaik ke <math>f</math> di titik dan arah tersebut. Tetapi jika <math>n > 1</math>, maka tidak ada turunan berarah tunggal yang dapat memberikan gambaran lengkap mengenai perilaku fungsi <math>f</math>. Turunan total memberikan gambaran lengkap dengan meninjau semua arah sekaligus. Dalam artian, untuk suatu vektor <math>\mathbf{v}</math> yang dimulai dari <math>\mathbf{a}</math>, terdapat rumus hampiran linear yang berlaku sebagai:

 

\end{align}</math>

 

 

== Perumuman ==

* Perumuman penting mengenai turunan melibatkan [[fungsi kompleks]] dari [[Bilangan kompleks|variabel kompleks]], seperti fungsi (dengan domain) bilangan kompleks <math> \C </math> ke <math> \C </math>. Gagasan turunan fungsi kompleks diperoleh dengan menggantikan variabel real dengan variabel kompleks melalui definisi berikut: Jika '''<math> \C </math>''' diidentifikasi sebagai <math>\R^2</math> dengan menulis bilangan kompleks <math>z</math> sebagai <math>x + iy</math>, maka sebuah fungsi terdiferensialkan dari <math> \C </math> ke <math> \C </math> pasti terdiferensialkan sebagai sebuah fungsi dari <math>\R^2</math> ke <math>\R^2</math> (dalam artian bahwa semua turunan parsial juga ada), tetapi kebalikannya tidak benar pada umumnya: turunan kompleks hanya ada jika turunan real merupakan ''linear kompleks'' dan turunan kompleks memaksakan kaitannya antara turunan parsial yang disebut sebagai [[persamaan Cauchy–Riemann]] – lihat [[fungsi holomorfik]].

* Perumuman lainnya melibatkan fungsi antara [[Manifold mulus|manifold terdiferensialkan atau manifold mulus]]. Secara intuitif, manifold <math>M</math> dikatakan sebagai ruang yang dapat dihampiri mendekati setiap titik <math>x</math> melalui sebuah ruang vektor yang disebut sebagai [[ruang garis singgung]]: contoh prototipikalnya adalah [[permukaan mulus]] di <math>\R^3</math>. Turunan (atau diferensial) dari peta (terdiferensialkan) <math>f\colon M \to N</math> di antara manifold, di sebuah titik <math>x</math> di ''<math>M</math>'', merupakan [[peta linear]] dari ruang singgung ''<math>M</math>'' di <math>x</math> ke ruang singgung <math>N</math> di <math>f(x)</math>, sehingga turunan fungsi menjadi sebuah peta antara [[berkas garis singgung]] ''<math>M</math>'' dan <math>N</math>. Definisi tersebut merupakan bentuk dasar dalam [[geometri diferensial]], dan definisi tersebut mempunyai banyak kegunaan – lihat [[Pushforward (diferensial)|''pushforward'']] dan [[Pullback (geometri diferensial)|''pullback'']].

* Salah satu kekurangan turunan biasa adalah bahwa ada sangat banyak sekali fungsi yang tidak terdiferensialkan. Namun ada cara memperluas gagasan turunan sehingga semua [[fungsi kontinu]] dan fungsi lainnya dapat diturunkan melalui konsep yang dikenal sebagai [[turunan lemah]]. Tujuannya adalah agar memasukkan fungsi kontinu dalam sebuah ruang yang lebih besar yang disebut ruang [[Distribusi (matematika)|distribusi]], dan tujuan ini hanya mengharuskan bahwa fungsi "rata-rata" terdiferensialkan.

* Pengenalan dan studi mengenai banyak topik yang serupa dalam aljabar dan topologi diilhami melalui sifat-sifat turunan — sebagai contoh, lihat [[aljabar diferensial]].

* Definisi turunan yang ekuivalen diskret adalah [[beda hingga]]. Dalam [[kalkulus skala waktu]], studi mengenai kalkulus diferensial disatukan dengan kalkulus beda hingga.

 

== Lihat pula ==

* [[Sejarah kalkulus]]

* [[Teorema Radon–Nikodym]]

* [[Turunan fraktal]]

* [[Turunan Hasse]]

*[[Khan Academy]]: [https://www.khanacademy.org/math/differential-calculus/taking-derivatives/intro_differential_calc/v/newton-leibniz-and-usain-bolt "Newton, Leibniz, and Usain Bolt"]

*{{MathWorld|title=Derivative|id=Derivative}}

* [http://www.wolframalpha.com/calculators/derivative-calculator/ Online Derivative Calculator] from [[Wolfram Alpha]].

 

[[Kategori:Analisis matematika]]

[[Kategori:Kalkulus diferensial]]

[[Kategori:Kelajuan]]