Turunan: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
kTidak ada ringkasan suntingan |
Add 1 book for Wikipedia:Pemastian (20231010)) #IABot (v2.0.9.5) (GreenC bot |
||
(24 revisi perantara oleh 6 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{about|istilah yang digunakan dalam kalkulus|ulasan
[[Berkas:Tangent to a curve.svg|jmpl|[[Grafik fungsi]] (warna hitam) dan [[garis tangen]] pada fungsi (warna merah). [[Kemiringan]] dari garis tangen sama dengan turunan fungsi pada titik tersebut.]]
Turunan sebuah fungsi satu variabel di suatu titik, jika itu ada, adalah [[kemiringan]] dari [[garis singgung]] dari grafik fungsi di titik tersebut. Garis singgung adalah [[Hampiran linear|hampiran (aproksimasi) linear]] terbaik dari fungsi di sekitar titik tersebut. Konsep turunan dapat diperumum untuk fungsi multivariabel. Dalam perumuman ini, turunan dianggap sebagai [[transformasi linear]], dengan translasi yang sesuai, menghasilkan hampiran [[linear]] dari grafik fungsi multivariabel tersebut. [[Matriks Jacobi]] adalah [[Matriks (matematika)|matriks]] yang merepresentasikan transformasi linear terhadap suatu [[Basis (aljabar linear)|basis]] yang ditentukan. Matriks ini dapat ditentukan dengan [[turunan parsial]] dari variabel-variabel independen. Pada fungsi multivariabel bernilai real, matriks
Proses menemukan turunan disebut '''diferensiasi'''. Kebalikan proses ini disebut dengan ''[[antiturunan]]''. [[Teorema fundamental kalkulus]] menyatakan hubungan diferensiasi dengan [[integral|integrasi]]. Turunan dan integral adalah dua operasi dasar dalam kalkulus satu-variabel.
Konsep turunan fungsi yang universal banyak digunakan dalam berbagai cabang matematika maupun bidang ilmu yang lain. Dalam bidang [[ekonomi]], turunan digunakan untuk menghitung [[biaya marginal]], total penerimaan, dan biaya produksi. Bidang [[biologi]] menggunakan turunan untuk menghitung laju pertumbuhan mikroorganisme, dalam bidang [[fisika]] untuk menghitung kepadatan kawat, dalam bidang [[kimia]] untuk menghitung laju pemisahan, dalam bidang [[geografi]] untuk menghitung laju pertumbuhan penduduk, dan masih banyak lagi.
== Pendahuluan ==
Secara informal, turunan dari sebuah [[Fungsi (matematika)|fungsi]] {{math|1=''y'' = ''f''(''x'')}} dengan variabel {{math|''x''}} adalah ukuran dari rasio perubahan nilai {{math|''y''}} terhadap perubahan nilai variabel {{math|''x''}}. Jika {{math|''x''}} dan {{math|''y''}} adalah [[bilangan real]], dan jika grafik fungsi {{math|''f''}} diplot terhadap {{math|''x''}}, besar turunan dari fungsi ini pada sembarang titik
: <math>m=\frac{\text{perubahan nilai } y}{\text{perubahan nilai } x} = \frac{\Delta y}{\Delta x},</math>
Baris 47 ⟶ 40:
=== Asal-usul definisi ===
[[Berkas:
Salah satu cara umum untuk menyatakan cara diferensiasi yang intuitif ke dalam definisi yang matematis adalah dengan mendefinisikan turunan sebagai [[limit]] dari perbandingan dua bilangan real.<ref>Spivak 1994, chapter 10.</ref> Pendekatan ini dapat dijabarkan sebagai berikut.
Baris 66 ⟶ 59:
<math>Q(h)</math> secara geometris menyatakan kemiringan dari garis sekan yang melalui <math>(a,\, f(a))</math> dan <math>(a+h,\, f(a+h))</math>. Jika {{math|''f''}} adalah [[fungsi kontinu]], secara informal mengartikan grafik fungsinya berupa kurva tak putus dan tidak mengandung celah, maka fungsi {{math|''Q''}} kontinu selain di <math>h=0</math>. Jika limit <math>\lim_{h\to0}Q(h)</math> ada, maka ada cara lain memilih nilai untuk {{math|''Q''(0)}} yang membuat {{math|''Q''}} menjadi fungsi kontinu, membuat fungsi {{math|''f''}} terdiferensialkan di {{math|''a''}}, dan besar turunannya di {{math|''a''}} sama dengan {{math|''Q''(0)}}. Pada praktiknya, keberadaan {{math|''Q''(''h'')}} yang kontinu di <math>h=0</math> ditunjukkan dengan mengubah ekspresi pada pembilang agar dapat "mencoret" semua suku {{math|''h''}} pada penyebut. Manipulasi seperti itu memungkinkan nilai limit dari {{math|''Q''}} untuk nilai {{math|''h''}} yang kecil terlihat jelas, walaupun {{math|''Q''}} masih tidak terdefinisi di <math>h=0</math>. Proses manipulasi ini dapat sangat panjang dan melelahkan untuk fungsi yang rumit, dan banyak jalan pintas digunakan untuk menyederhanakan proses.
=== Contoh perhitungan ===
[[Berkas:Parabola2.svg|jmpl|Fungsi kuadrat]]
Fungsi kuadrat memiliki persamaan {{math|''f''(''x'') {{=}} ''x''<sup>2</sup>}} dan diferensialkan di {{math|''x'' {{=}} 3}}, dengan nilai turunan fungsi di titik tersebut adalah 6. Hasil ini didapatkan
<math display="block">
Baris 81 ⟶ 74:
& = \lim_{h\to 0}\frac{a^2 + 2ah + h^2 - a^2}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{2ah + h^2}{h} \\[0.3em]
& = \lim_{h\to 0}{(2a + h)} = 2a
\end{align}</math><!-- == Klasifikasi penerapan yang mungkin
=== Masalah nilai ekstrem
=== Permodelan matematika
=== Matematika murni
== Contoh pada dimensi tinggi -->
== Sejarah ==
[[Kalkulus]], atau dikenal dalam sejarah lebih awalnya, ''kalkulus infinitesimal'', merupakan cabang [[matematika]] yang berfokus pada konsep [[limit]], [[Fungsi (matematika)|fungsi]], turunan, [[integral]], dan [[deret takhingga]]. [[Isaac Newton]] dan [[Gottfried Leibniz]] menemukan kalkulus secara terpisah pada pertengahan abad ke-17. Namun dalam [[pertikaian kalkulus Leibniz–Newton|pertikaian]] yang pahit, Leibniz dituduh bahwa ia mencuri karya Newton dan sebaliknya. Pertikaian ini berlanjut hingga kematian mereka berdua.
== Definisi ==
Sebuah fungsi dengan variabel [[Bilangan real|real]], <math>y=f(x)</math>, dikatakan ''terdiferensialkan'' atau ''dapat diturunkan'' pada suatu titik <math>a</math> di [[Ranah fungsi|domainnya]], jika domain fungsi tersebut mengandung suatu [[Selang (matematika)|interval buka]] <math>I</math> yang beranggotakan <math>a</math>, dan nilai [[limit]]
<math display="block">L=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}h </math>ada. Hal ini mengartikan bahwa, untuk setiap [[bilangan real]] positif <math>\varepsilon</math> (bahkan jika nilainya sangat kecil), akan ada suatu bilangan real positif <math>\delta</math> sedemikian sehingga, untuk semua {{mvar|h}} yang memenuhi <math>|h| < \delta</math> dan <math>h\ne 0</math>, menyebabkan nilai <math>f(a+h)</math> terdefinisi dan<math display="block">\left|L-\frac{f(a+h)-f(a)}h\right|<\varepsilon,</math>dengan bar vertikal menyatakan [[Nilai absolut|nilai mutlak]] (lihat [[Limit fungsi|definisi epsilon-delta dari limit]]).
Jika fungsi <math>f</math> terdiferensialkan di <math>a</math>, dengan kata lain jika nilai limit <math>L</math> ada, maka nilai limit ini disebut ''turunan'' dari <math>f</math> di <math>a</math>, dan dinyatakan dengan <math>f'(a)</math> atau <math display="inline">\frac{df}{dx}(a)</math> (dibaca "turunan dari <math>f</math> terhadap <math>x</math> di <math>a</math>" atau "{{math|''dy''}} per {{math|''dx''}} di <math>a</math>").
== Kekontinuan dan
[[Berkas:Right-continuous.svg|ka|jmpl|Fungsi tangga tidak memiliki turunan pada titik berwarna merah, karena fungsi tidak kontinu di titik tersebut.]]
[[Berkas:
Tetapi, bahkan jika fungsi kontinu di suatu titik, fungsi tersebut mungkin tidak terdiferensialkan
Secara singkat, fungsi yang terdiferensialkan adalah fungsi yang kontinu, tetapi ada fungsi kontinu yang tidak dapat didiferensialkan.
Baris 94 ⟶ 101:
== Turunan sebagai sebuah fungsi ==
[[Berkas:
Misalkan {{math|''f''}} adalah fungsi yang memiliki turunan di setiap titik di [[Ranah fungsi|domainnya]]. Seseorang dapat mendefinisikan sebuah fungsi yang memetakan setiap titik {{mvar|x}} ke nilai dari turunan {{mvar|f}} di {{mvar|x}}. Salah satu notasi untuk menulis fungsi ini adalah <math>f'</math>, dan disebut sebagai ''fungsi turunan'' atau ''turunan dari'' {{math|''f''}}. Terkadang {{math|''f''}} memiliki turunan pada sebagian besar, tapi tidak semua, titik di domainnya. Fungsi yang nilainya di {{mvar|a}} sama dengan <math>f'(a)</math> kapanpun nilai <math>f'(a)</math> terdefinisi, dan tidak terdefinisi di nilai-nilai yang lainnya, juga disebut turunan dari {{math|''f''}}. Fungsi ini memiliki domain yang lebih kecil daripada domain dari {{math|''f''}}.
Baris 116 ⟶ 123:
Karena {{math|''D''}} menghasilkan sebuah fungsi, hasil dari {{math|''D''}} dapat dievaluasi di suatu titik. Sebagai contoh, ketika {{math|''D''}} diterapkan pada fungsi kuadrat {{math|''x'' ↦ ''x''<sup>2</sup>}}, {{math|''D''}} akan menghasilkan fungsi {{math|''x'' ↦ 2''x''}}, yang dapat diberi nama {{math|''f''(''x'')}}. Fungsi hasil ini selanjutnya dapat digunakan untuk menghitung {{math|''f''(1) {{=}} 2}}, {{math|''f''(2) {{=}} 4}}, dan seterusnya.
== Notasi turunan ==
{{Main|Notasi untuk diferensiasi}}
Beberapa notasi untuk menyatakan turunan dikembangkan pada awal perkembangan kalkulus, dan beberapa notasi tersebut masih digunakan saat ini.
Baris 180 ⟶ 159:
=== Notasi Newton ===
Notasi Newton untuk turunan juga disebut sebagai notasi dot/[[titik]]. Notasi ini menggunakan titik yang diletakkan di atas nama fungsi, untuk merepresentasikan turunan terhadap waktu. Jika <math>y = f(t)</math>, maka
: <math>\dot{y}</math>   dan   <math>\ddot{y}</math>
masing-masing menyatakan turunan pertama dan turunan kedua dari <math>y</math>. Notasi Newton saat ini hanya digunakan untuk turunan terhadap waktu atau terhadap [[panjang busur]], yang umum ditemukan dalam [[persamaan diferensial]] di [[fisika]] dan [[geometri diferensial]].<ref>{{Cite book|last=Evans|first=Lawrence|year=1999|title=Partial Differential Equations|url=https://archive.org/details/partialdifferent0019evan|publisher=American Mathematical Society|isbn=0-8218-0772-2|pages=[https://archive.org/details/partialdifferent0019evan/page/63 63]}}</ref><ref>{{Cite book|last=Kreyszig|first=Erwin|year=1991
=== Notasi Euler ===
Baris 193 ⟶ 172:
walaupun tika bawah umumnya tidak digunakan jika konteks variabel <math>x</math> dapat dipahami, contohnya ketika <math>x</math> adalah satu-satunya variabel bebas dalam ekspresi. Notasi Euler berguna dalam menyatakan dan menyelesaikan sistem [[persamaan diferensial linear]].
== Kaidah dalam
{{see also|Tabel integral}}
Definisi turunan dapat digunakan untuk menentukan turunan suatu fungsi, seperti <math>x^n</math> dan <math>\sin(x)</math>. Proses ini dilakukan membuat persamaan perbandingan beda, lalu menghitung limitnya. Tapi pada praktiknya proses ini seringkali melelahkan. Dalam pendidikan terkait kalkulus diferensial, proses ini hanya dilakukan pada awal pembelajaran. Selanjutnya, menentukan turunan fungsi dilakukan dengan merujuk pada tabel/daftar turunan fungsi yang umum maupun dengan menggunakan ''aturan-aturan'' turunan.
=== Kaidah untuk fungsi-fungsi dasar ===
Setiap aturan pada bagian ini dapat dihasilkan dengan membuat persamaan beda, lalu menghitung limit <math>h\to0</math>. Proses tersebut memerlukan strategi yang berbeda untuk mendapatkan hasil turunan, tergantung jenis fungsinya. Pada bagian ini, <math>a</math> berupa bilangan real.
* ''[[Turunan pangkat]]'':
*: <math> \frac{d}{dx}x^a = ax^{a-1}.</math>
*: <math> \frac{d}{dx} x^a = \frac{d}{dx}x \cdot a \cdot x^{a-1}</math>
* ''[[Turunan implisit]]<ref>{{Cite web|date=2021-01-02|title=3.4: Implicit Differentiation|url=https://math.libretexts.org/Bookshelves/Calculus/Book%3A_Elementary_Calculus_(Corral)/03%3A_Topics_in_Differential_Calculus/3.04%3A_Implicit_Differentiation|website=Mathematics LibreTexts|language=en|access-date=2022-11-05}}</ref>'':
Contoh 1: mencari turunan ''dy/dx'' ''dari'':<blockquote><math>x^3+3x+2=y^2</math></blockquote>dapat dilakukan dengan cara berikut:<blockquote><math>\rightarrow \quad \frac{d}{dx}(x^3+3x+2) = \frac{d}{dx}(y^2)
</math>
<math>\rightarrow \quad \frac{d}{dx}x^3 + \frac{d}{dx}3x + \frac{d}{dx}2 = \frac{d}{dx}y^2</math>
<math>\rightarrow \quad 3x^2 + 3 = \frac{d}{dx}\frac{dy}{dy}y^2
</math>
<math>\rightarrow \quad 3x^2 + 3 = \frac{dy}{dx}\frac{d}{dy}y^2
</math>
<math>\rightarrow \quad 3x^2 + 3 = \frac{dy}{dx}2y
</math>
<math>\rightarrow \quad \frac{dy}{dx} = \frac{3x^2 + 3}{2y}</math></blockquote>Contoh 2: mencari turunan ''dx/dy dari'':<blockquote><math>x^3+3x+2=y^2</math></blockquote>dapat dilakukan dengan cara berikut:<blockquote><math>\rightarrow \quad \frac{d}{dy}x^3 + \frac{d}{dy}3x + \frac{d}{dy}2 = \frac{d}{dy}y^2
</math>
<math>\rightarrow \quad \frac{d}{dy}\frac{dx}{dx}x^3 + \frac{d}{dy}\frac{dx}{dx}3x = 2y</math>
<math>\rightarrow \quad \frac{dx}{dy}\frac{d}{dx}x^3 + \frac{dx}{dy}\frac{d}{dx}3x = 2y
</math>
<math>\rightarrow \quad \frac{dx}{dy}3x^2 + \frac{dx}{dy}3 = 2y
</math>
<math>\rightarrow \quad \frac{dx}{dy} = \frac{2y}{3x^2+3}
</math></blockquote>
* Fungsi ''[[Fungsi eksponensial|eksponensial]]'' dan ''[[logaritma]]'':
*: <math> \frac{d}{dx}e^x = e^x.</math>
Baris 215 ⟶ 224:
*: <math> \frac{d}{dx}\arctan(x)= \frac{1}{{1+x^2}}</math>
=== Kaidah
Beberapa aturan berikut dapat digunakan untuk menentukan turunan [[komposisi fungsi]] dengan membaginya menjadi masalah-masalah turunan yang lebih sederhana. Pada bagian ini, <math>f</math>, <math>g</math>, dan <math>h</math> adalah fungsi yang terdiferensialkan pada [[Selang (matematika)|selang]] <math>I</math>.
* ''
*: <math>f'(x) = 0. </math> untuk <math>f(x)</math> berupa fungsi konstan.
* ''[[Linearitas diferensiasi|Kaidah jumlah]]'':
*: <math>(\alpha f + \beta g)' = \alpha f' + \beta g' </math> untuk semua fungsi {{Math|''f''}} dan {{Math|''g''}}, dan untuk semua bilangan real ''<math>\alpha</math>'' dan ''<math>\beta</math>''.
* ''[[Kaidah darab]]'':
*: <math>(
* ''[[Kaidah hasil-bagi]]'':
*: <math>\left(\frac{
* ''[[Aturan rantai]]'' untuk komposisi fungsi
*: Jika fungsi <math>h</math> terdiferensialkan pada [[selang (matematika)|selang]] <math>I_1</math>, dan fungsi <math>g</math> terdiferensialkan pada selang <math>I_2 = h(I_1)</math> (<math>I_2</math> adalah citra dari <math>I_1</math> yang dihasilkan fungsi <math>h</math>), maka komposisi fungsi <math>g\circ h </math> terdiferensialkan di <math>I_1</math> dan
*: <math>(g\circ h)'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x). </math>
* ''Kaidah fungsi invers'':
*: Jika fungsi <math>f</math> bersifat [[bijektif]], dan <math>f^{-1}</math> adalah invers dari fungsi tersebut, maka
*: <math>[f^{-1}]'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}</math>
*: Hubungan ini berlaku sembarang titik <math>x</math> yang memenuhi <math>f'(f^{-1}(x))\ne0</math>
=== Contoh perhitungan ===
Baris 234 ⟶ 248:
: <math>f(x) = x^4 + \sin \left(x^2\right) - \ln(x) e^x + 7</math>
dapat dilakukan dengan pertama kali menerapkan kaidah jumlah; turunan dari penjumlahan fungsi-fungsi sama dengan penjumlahan dari turunan fungsi-fungsi:
<math display="block">
f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4) + \frac{d}{dx}\Big(\cos \left(x^2\right)\Big) - \frac{d}{dx}(e^x) - \frac{d}{dx}\Big(\ln(x)e^x\Big) + \frac{d}{dx}(7)
</math>Tahap selanjutnya adalah menghitung turunan dari masing-masing fungsi. Kaidah rantai digunakan untuk menentukan turunan dari <math>\cos(x^2)</math>, sedangkan kaidah darab digunakan untuk menentukan turunan <math>\ln(x)e^x</math>:
: <math>
Baris 243 ⟶ 261:
</math>
== Turunan tingkat tinggi ==
Misalkan <math>f</math> adalah fungsi terdiferensialkan, dan <math>f'</math> adalah fungsi turunannya. Turunan dari <math>f'</math> (jika ada) ditulis sebagai <math>f''</math> dan disebut ''[[turunan kedua]] dari <math>f</math>''. Serupa dengan itu, turunan dari turunan kedua, jika ada, ditulis sebagai <math>f'''</math> dan disebut ''[[turunan ketiga]] dari <math>f</math>''; dan seterusnya. Turunan berulang ini disebut ''turunan tingkat tinggi''. Turunan ke-{{math|''n''}} juga dapat dituliskan sebagai <math>f^{(n)}</math>. Jika <math>x(t)</math> menyatakan posisi suatu objek pada waktu <math>t</math>, maka turunan tingkat tinggi dari <math>x</math> memiliki interpretasi khusus dalam bidang [[fisika]]. Turunan pertama dari <math>x</math> menyatakan [[kecepatan]] objek, turunan kedua menyatakan besar [[Percepatan|akselerasinya]], sedangkan turunan ketiga dari <math>x</math> menyatakan [[Sentakan (fisika)|sentakan]].
=== Fungsi mulus ===
{{Main|Fungsi mulus}}
Sebuah fungsi yang dapat diturunkan tak hingga kali disebut ''fungsi mulus''. Tidak semua fungsi merupakan fungsi mulus; sebagai contoh, fungsi <math>f</math> yang tidak kontinu tidak dapat diturunkan. Serupa dengan itu, bahkan jika <math>f</math> memiliki turunan, fungsi turunan keduanya mungkin tidak ada. Sebagai contoh, misalkan fungsi
: <math>f(x) = \begin{cases} +x^2, & \text{jika }x\ge 0 \\ -x^2, & \text{jika }x \le 0.\end{cases}</math>
Perhitungan menunjukkan bahwa <math>f'(x)=2|x|</math> adalah fungsi yang terdiferensialkan namun tidak memiliki turunan di nol. Jika suatu fungsi dapat diturunkan {{math|''k''}} kali berturut-turut dan turunan ke-{{math|''k''}}-nya bersifat kontinu, maka fungsi tersebut merupakan anggota [[Kemulusan (matematika)|kelas keterdiferensialan]] {{math|''C<sup>k</sup>''}}.
=== Polinomial Taylor dengan sisa ===
{{Main|Teorema Taylor}}
Pada [[garis bilangan real]], setiap [[fungsi polinomial]] terdiferensialkan tak hingga kali. Dengan menggunakan kaidah turunan pangkat, sebuah polinomial berderajat {{math|''n''}} akan menjadi [[fungsi konstan]] jika diturunkan sebanyak {{math|''n''}} kali. Semua turunan fungsi tersebut selanjutnya sama dengan 0 (fungsi konstan). Hal ini mengartikan fungsi polinomial termasuk fungsi mulus.
Turunan tingkat tinggi dari sebuah fungsi <math>f</math> di suatu titik <math>x</math>, akan memberikan hampiran polinomial terbaik untuk fungsi tersebut di sekitar titik <math>x</math>. Sebagai contoh, jika <math>f</math> terdiferensialkan dua kali, maka
: <math> f(x+h) \approx f(x) + f'(x)h + \tfrac{1}{2} f''(x) h^2</math>
dalam artian bahwa
: <math> \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h) - f(x) - f'(x)h - \frac{1}{2} f''(x) h^2}{h^2} = 0.</math>
Jika <math>f</math> terdiferensialkan tak hingga kali, maka persamaan turunan kedua dapat diteruskan menjadi [[deret Taylor]] untuk fungsi <math>f</math> yang dievaluasi di {{math|''x'' + ''h''}} sekitar titik {{math|''x''}}.
=== Kaidah untuk turunan tingkat tinggi ===
* [[Kaidah darab|''Aturan Leibniz'']]
*: Jika <math>f</math> dan <math>g</math> dapat diturunkan sebanyak <math>n</math> kali, maka turunan ke-<math>n</math> dari fungsi <math>f(x)\cdot g(x)</math> adalah
*: <math>(fg)^{(n)}= \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}f^{(k)}g^{(n-k)}.</math>
*: Ekspresi <math display="inline">\binom{n}{k}</math> yang muncul pada persamaan tersebut menandakan [[koefisien binomial]]. Aturan ini adalah perumuman dari [[kaidah darab]].
== Turunan pada sistem bilangan kompleks ==
Definisi dan aturan-aturan terkait turunan dapat diperumum untuk fungsi dengan variabel [[Bilangan kompleks|kompleks]] dan nilai kompleks. Perumuman ini dapat dilakukan karena bilangan kompleks juga memiliki sifat penjumlahan, perkalian, dan pembagian; sama seperti bilangan real. Selain itu, konsep [[Jarak Euklides|jarak (Euklides)]] antar bilangan pada bilangan kompleks dapat dijelaskan secara sederhana.
Jika <math>U \sub \mathbb C</math> berupa himpunan buka, dan <math>f:U\to\mathbb C</math> adalah fungsi bernilai kompleks, maka <math>f</math> dikatakan terdiferensialkan di titik <math>z\in\mathbb C</math> bila nilai limit
: <math> \lim_{h \to 0} \frac{f(z+h) - f(z)}{h}</math>
ada.<ref>Eberhard Freitag, Rolf Busam: ''Funktionentheorie 1'', 4. Auflage, Springer, S. 35.</ref> Turunan kompleks ini disimbolkan dengan <math>f'(z).</math> Definisi ini memungkinkan untuk menggunakan konsep kelinearan: turunan menyatakan besar "kemiringan" dari fungsi [kompleks] linear terbaik yang menghampiri fungsi <math>f.</math> Tapi, perhatian lebih diperlukan karena nilai <math>h</math> pada limit berupa bilangan kompleks. Berbeda dengan limit pada bilangan real yang hanya memerlukan dua arah ("limit dari kanan" dan "limit dari kiri"), limit pada bilangan kompleks dapat "bergerak" dari takhingga banyaknya arah. Akibatnya, konsep turunan fungsi kompleks jauh lebih ketat ketimbang pada fungsi bernilai real. Sebagai contoh fungsi [[Nilai absolut|nilai mutlak]] kompleks tidak memiliki turunan ''dimanapun''. Sebuah fungsi kompleks dapat diturunkan pada suatu titik, jika dan hanya jika fungsi tersebut memenuhi [[persamaan Cauchy-Riemann]] di titik tersebut.
Walaupun (atau tepatnya ''karena'') konsep turunan yang jauh lebih ketat, aturan-aturan perhitungan turunan pada fungsi bilangan real dapat digunakan untuk fungsi bilangan kompleks. Hal ini mencakup aturan jumlah, darab, dan rantai, juga aturan fungsi invers. Banyak fungsi kompleks, seperti eksponensial dan logaritma, memiliki sifat turunan yang mirip dengan versi realnya.
Jika fungsi <math>f</math> terdiferensialkan di keseluruhan domain <math>U</math>, maka fungsi <math>f</math> disebut ''[[fungsi holomorfik]]'' ''di'' <math>U</math>.<ref>Eberhard Freitag, Rolf Busam: ''Funktionentheorie 1'', 4. Auflage, Springer, S. 45.</ref> Fungsi kompleks yang terdiferensialkan di keseluruhan <math>\mathbb C</math> disebut [[fungsi entire]]. Fungsi holomorfik memiliki beberapa sifat yang unik. Sebagai contoh, [[teorema Picard]] menyimpulkan bahwa [[Citra (matematika)|citra (range)]] dari fungsi entire hanya dapat berupa: {{nowrap|<math>\mathbb{C}</math>,}} {{nowrap|<math>\mathbb{C}\setminus\{z_0\}</math>,}} atau <math>\{z_0\}</math> untuk suatu {{nowrap|<math>z_0\in\mathbb{C}</math>.}} Hasil ini dapat digunakan untuk menyimpulkan bahwa, jika fungsi kompleks <math>f</math> tidak pernah menghasilkan nilai <math>z</math> maupun nilai <math>w</math>, maka <math>f</math> adalah fungsi konstan.
== Turunan untuk fungsi bernilai vektor ==
[[Berkas:Vector-valued function-2.png|jmpl|Grafik dari fungsi bernilai vektor <math>\mathbf r(z) = (2\cos z,\, 4\sin z,\, z)</math>yang berbentuk [[heliks]]. Panah menandakan vektor yang dihasilkan fungsi di <math>z=19{,}5</math>. ]]Sebuah [[fungsi bernilai vektor]] <math>\mathbf y</math> dengan variabel real, adalah fungsi yang memetakan [[bilangan real]] (ril) ke suatu vektor di suatu [[ruang vektor]] <math>\R^n</math>. Fungsi bernilai vektor dapat dibagi menjadi fungsi-fungsi koordinatnya, <math>y_1(t),\, y_2(t),\, \dots,\, y_n(t)</math>. Hal ini mengartikan fungsi <math>\mathbf y</math> dapat ditulis sebagai <math>\mathbf y(t) = (y_1(t),\,y_2(t),\,\dots,\,y_n(t))</math>. Contoh dari fungsi bernilai vektor adalah [[Persamaan parametrik|kurva parametrik]] di <math>\R^2</math> atau <math>\R^3</math>. Fungsi-fungsi koordinat adalah fungsi bernilai real, mengakibatkan definisi turunan dapat diterapkan bagi mereka semua. ''Turunan dari fungsi'' <math>\mathbf y(t)</math> didefinisikan sebagai sebuah [[Vektor (matematika)|vektor]], disebut vektor singgung, yang koordinatnya adalah nilai turunan dari semua fungsi koordinatnya. Dengan kata lain,<math display="block">\mathbf{y}'(t) = (y'_1(t), \ldots, y'_n(t)).</math>Bentuk tersebut dapat dihasilkan dari menghitung<math display="block">\mathbf{y}'(t)=\lim_{h\to 0}\frac{\mathbf{y}(t+h) - \mathbf{y}(t)}{h},</math>dengan mengasumsikan limit dari fungsi tersebut ada. Sebagai contoh, bila <math>\mathbf y(t)</math> adalah vektor yang menandakan posisi suatu partikel pada waktu <math>t</math>, turunan <math>\mathbf y'(t)</math> dapat dipandang sebagai vektor [[kecepatan]] dari partikel pada waktu <math>t</math>.
== Turunan untuk fungsi multivariabel ==
{{See also|Kalkulus multivariabel}}
Pembahasan pada bagian-bagian sebelumnya hanya memperhatikan fungsi dengan ''satu'' variabel. Fungsi yang memetakan vektor ke vektor maupun vektor ke bilangan juga dapat memiliki turunan. Tetapi, garis singgung pada grafik fungsi tersebut belum tentu unik, karena ada banyak arah yang mungkin untuk membuat garis tersebut. Oleh karena itu, perumuman turunan diperlukan untuk jenis fungsi ini.
=== Keterdiferensialan dan matriks Jacobi ===
==== Turunan parsial ====
{{Main|Turunan parsial}}{{multiple image
| align = right
Baris 303 ⟶ 357:
: <math>\frac{df_{a_1,\ldots,a_{i-1},a_{i+1},\ldots,a_n}}{dx_i}(a_i) = \frac{\partial f}{\partial x_i}(a_1,\ldots,a_n).</math>
Ekspresi ini juga menunjukkan bahwa perhitungan turunan parsial dapat disederhanakan menjadi perhitungan turunan satu variabel.
Turunan parsial juga memainkan peran penting dalam pembahasan terkait fungsi bernilai vektor. Misalkan <math>\mathbf f(x_1,\,\dots,\,x_n)</math> sebagai fungsi bernilai vektor. Jika semua turunan parsial <math>\tfrac{\partial \mathbf f}{\partial x_j}</math> terdefinisi di titik <math>\mathbf a = (a_1,\,\dots,\,a_n)</math>, turunan-turunan parsial ini mendefinisikan sebuah vektor
Baris 311 ⟶ 365:
yang disebut sebagai [[gradien]] dari <math>\mathbf f</math> di <math>\mathbf a</math>. Jika <math>\mathbf f</math> terdiferensialkan di setiap titik di suatu domain, maka gradien adalah sebuah fungsi bernilai vektor <math>\nabla \mathbf f</math> yang memetakan titik <math>(a_1,\,\dots,\,a_n)</math> ke vektor <math>\nabla \mathbf f(a_1,\,\dots,\,a_n)</math>. Akibatnya, gradien menentukan suatu [[medan vektor]].
==== Turunan berarah ====
{{Main|Turunan berarah}}
[[Berkas:
Jika <math>f</math> adalah fungsi bernilai real di <math>\R^n</math>, maka turunan parsial <math>f</math> mengukur variasi turunan dalam arah sumbu koordinat. Sebagai contoh, jika <math>f</math> adalah fungsi dari <math>x</math> dan <math>y</math>'','' maka turunan parsial <math>f</math> mengukur variasi di <math>f</math> dalam arah <math>x</math> dan <math>y</math>. Tapi, turunan <math>f</math> tidak mengukur secara langsung variasi <math>f</math> pada setiap arah lainnya, contohnya di sepanjang garis diagonal <math>y = x</math>. Ini diukur menggunakan turunan berarah. Misalkan vektor
Baris 322 ⟶ 376:
: <math>D_{\mathbf{v}}{f}(\mathbf{x}) = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(\mathbf{x} + h\mathbf{v}) - f(\mathbf{x})}{h}}.</math>
Dalam beberapa kasus, menghitung atau menaksir turunan berarah akan lebih mudah setelah panjang vektor diubah. Proses ini seringkali dilakukan dengan mengubah suatu masalah menjadi perhitungan berupa turunan berarah dalam arah satuan vektor. Sebagai contoh, misalkan
: <math>\frac{f(\mathbf{x} + (k/\lambda)(\lambda\mathbf{u})) - f(\mathbf{x})}{k/\lambda}
Baris 337 ⟶ 391:
Definisi yang sama juga berlaku ketika <math>f</math> berupa fungsi yang memiliki nilai di <math>\R^m</math>; dengan menerapkan definisi pada setiap komponen vektor. Pada kasus ini, turunan berarah merupakan vektor di <math>\R^m</math>.
====
{{Main|Turunan total}}Jika <math>f</math> merupakan sebuah fungsi dari himpunan terbuka dari <math>\R^n</math> ke <math>\R^m</math>, maka turunan berarah <math>f</math> dalam arah yang dipilih merupakan hampiran linear terbaik ke <math>f</math> di titik dan arah tersebut. Tetapi jika <math>n > 1</math>, maka tidak ada turunan berarah tunggal yang dapat memberikan gambaran lengkap mengenai perilaku fungsi <math>f</math>. Turunan total memberikan gambaran lengkap dengan meninjau semua arah sekaligus. Dalam artian, untuk suatu vektor <math>\mathbf{v}</math> yang dimulai dari <math>\mathbf{a}</math>, terdapat rumus hampiran linear yang berlaku sebagai:
Baris 364 ⟶ 418:
\end{align}</math>
Rumus tersebut menyarankan bahwa <math>f'(\mathbf{a})</math> merupakan transformasi linear dari ruang vektor <math>\R^n</math> ke ruang vektor <math>\R^m</math>. Bahkan rumus ini dapat membuat sebuah turunan yang tepat dengan mengukur galat pada hampirannya. Asumsi bahwa galat pada rumus hampiran linear dibatasi oleh hasil kali dari konstanta dengan <math>\left \| \mathbf{v} \right \|</math>,
=== Kaidah untuk turunan fungsi multivariabel ===
=== Turunan implisit ===
=== Contoh penerapan ===
== Turunan pada sistem bilangan hiperreal ==
Dalam matematika, bilangan hiperreal adalah sebuah cara memaknai besaran [[tak hingga]] dan [[infinitesimal]] (tak hingga kecilnya tapi tidak nol). Hiperreal adalah perumuman dari himpunan bilangan real <math>\mathbb R</math>, dan mencakup bilangan-bilangan yang lebih besar daripada <math>1+1+\dots+1</math> (untuk sembarang terhingga banyaknya suku). Pada sistem bilangan ini, turunan fungsi real <math>y = f(x)</math> di titik real <math>x</math> dapat didefinisikan sebagai [[Bayangan (matematika)|bayangan]] perbandingan {{math|{{sfrac|∆''y''|∆''x''}}}} untuk [[infinitesimal]] {{math|∆''x''}}, dengan {{math|∆''y'' {{=}} ''f''(''x'' + ∆''x'') − ''f''(''x'')}}. Perluasan (perumuman, ekstensi) alami fungsi <math>f</math> untuk hiperreal masih dilambangkan sebagai <math>f</math>, dan turunannya dikatakan ada jika besar bayangan tidak bergantung pada pemilihan infinitesimal.
== Perumuman ==
Baris 372 ⟶ 435:
* Perumuman penting mengenai turunan melibatkan [[fungsi kompleks]] dari [[Bilangan kompleks|variabel kompleks]], seperti fungsi (dengan domain) bilangan kompleks <math> \C </math> ke <math> \C </math>. Gagasan turunan fungsi kompleks diperoleh dengan menggantikan variabel real dengan variabel kompleks melalui definisi berikut: Jika '''<math> \C </math>''' diidentifikasi sebagai <math>\R^2</math> dengan menulis bilangan kompleks <math>z</math> sebagai <math>x + iy</math>, maka sebuah fungsi terdiferensialkan dari <math> \C </math> ke <math> \C </math> pasti terdiferensialkan sebagai sebuah fungsi dari <math>\R^2</math> ke <math>\R^2</math> (dalam artian bahwa semua turunan parsial juga ada), tetapi kebalikannya tidak benar pada umumnya: turunan kompleks hanya ada jika turunan real merupakan ''linear kompleks'' dan turunan kompleks memaksakan kaitannya antara turunan parsial yang disebut sebagai [[persamaan Cauchy–Riemann]] – lihat [[fungsi holomorfik]].
* Perumuman lainnya melibatkan fungsi antara [[Manifold mulus|manifold terdiferensialkan atau manifold mulus]]. Secara intuitif, manifold <math>M</math> dikatakan sebagai ruang yang dapat dihampiri mendekati setiap titik <math>x</math> melalui sebuah ruang vektor yang disebut sebagai [[ruang garis singgung]]: contoh prototipikalnya adalah [[permukaan mulus]] di <math>\R^3</math>. Turunan (atau diferensial) dari peta (terdiferensialkan) <math>f\colon M \to N</math> di antara manifold, di sebuah titik <math>x</math> di ''<math>M</math>'', merupakan [[peta linear]] dari ruang singgung ''<math>M</math>'' di <math>x</math> ke ruang singgung <math>N</math> di <math>f(x)</math>, sehingga turunan fungsi menjadi sebuah peta antara [[berkas garis singgung]] ''<math>M</math>'' dan <math>N</math>. Definisi tersebut merupakan bentuk dasar dalam [[geometri diferensial]], dan definisi tersebut mempunyai banyak kegunaan – lihat [[Pushforward (diferensial)|''pushforward'']] dan [[Pullback (geometri diferensial)|''pullback'']].
* Diferensiasi juga dapat didefinisikan sebagai pemetaan antara [[ruang vektor]] [[Dimensi (ruang vektor)|dimensi takhingga]], seperti [[ruang Banach]] dan [[ruang Fréchet]].
* Salah satu kekurangan turunan biasa adalah bahwa ada sangat banyak sekali fungsi yang tidak terdiferensialkan. Namun ada cara memperluas gagasan turunan sehingga semua [[fungsi kontinu]] dan fungsi lainnya dapat diturunkan melalui konsep yang dikenal sebagai [[turunan lemah]]. Tujuannya adalah agar memasukkan fungsi kontinu dalam sebuah ruang yang lebih besar yang disebut ruang [[Distribusi (matematika)|distribusi]], dan tujuan ini hanya mengharuskan bahwa fungsi "rata-rata" terdiferensialkan.
* Pengenalan dan studi mengenai banyak topik yang serupa dalam aljabar dan topologi diilhami melalui sifat-sifat turunan — sebagai contoh, lihat [[aljabar diferensial]].
* Definisi turunan yang ekuivalen diskret adalah [[beda hingga]]. Dalam [[kalkulus skala waktu]], studi mengenai kalkulus diferensial disatukan dengan kalkulus beda hingga.
== Lihat pula ==
Baris 398 ⟶ 457:
* [[Sejarah kalkulus]]
* [[Teorema Radon–Nikodym]]
* [[Turunan aritmetika]]
* [[Turunan fraktal]]
* [[Turunan Hasse]]
Baris 444 ⟶ 504:
*[[Khan Academy]]: [https://www.khanacademy.org/math/differential-calculus/taking-derivatives/intro_differential_calc/v/newton-leibniz-and-usain-bolt "Newton, Leibniz, and Usain Bolt"]
*{{MathWorld|title=Derivative|id=Derivative}}
* [http://www.wolframalpha.com/calculators/derivative-calculator/ Online Derivative Calculator] from [[Wolfram Alpha]].
[[Kategori:Analisis matematika]]
[[Kategori:Fungsi
[[Kategori:Kalkulus diferensial]]
[[Kategori:Kelajuan]]
|