Turunan: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Add 1 book for Wikipedia:Pemastian (20231010)) #IABot (v2.0.9.5) (GreenC bot |
|||
(20 revisi perantara oleh 6 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{about|istilah yang digunakan dalam kalkulus|ulasan
[[Berkas:Tangent to a curve.svg|jmpl|[[Grafik fungsi]] (warna hitam) dan [[garis tangen]] pada fungsi (warna merah). [[Kemiringan]] dari garis tangen sama dengan turunan fungsi pada titik tersebut.]]
Turunan sebuah fungsi satu variabel di suatu titik, jika itu ada, adalah [[kemiringan]] dari [[garis singgung]] dari grafik fungsi di titik tersebut. Garis singgung adalah [[Hampiran linear|hampiran (aproksimasi) linear]] terbaik dari fungsi di sekitar titik tersebut. Konsep turunan dapat diperumum untuk fungsi multivariabel. Dalam perumuman ini, turunan dianggap sebagai [[transformasi linear]], dengan translasi yang sesuai, menghasilkan hampiran [[linear]] dari grafik fungsi multivariabel tersebut. [[Matriks Jacobi]] adalah [[Matriks (matematika)|matriks]] yang merepresentasikan transformasi linear terhadap suatu [[Basis (aljabar linear)|basis]] yang ditentukan. Matriks ini dapat ditentukan dengan [[turunan parsial]] dari variabel-variabel independen. Pada fungsi multivariabel bernilai real, matriks
Proses menemukan turunan disebut '''diferensiasi'''. Kebalikan proses ini disebut dengan ''[[antiturunan]]''. [[Teorema fundamental kalkulus]] menyatakan hubungan diferensiasi dengan [[integral|integrasi]]. Turunan dan integral adalah dua operasi dasar dalam kalkulus satu-variabel.
Baris 12:
== Pendahuluan ==
Secara informal, turunan dari sebuah [[Fungsi (matematika)|fungsi]] {{math|1=''y'' = ''f''(''x'')}} dengan variabel {{math|''x''}} adalah ukuran dari rasio perubahan nilai {{math|''y''}} terhadap perubahan nilai variabel {{math|''x''}}. Jika {{math|''x''}} dan {{math|''y''}} adalah [[bilangan real]], dan jika grafik fungsi {{math|''f''}} diplot terhadap {{math|''x''}}, besar turunan dari fungsi ini pada sembarang titik
: <math>m=\frac{\text{perubahan nilai } y}{\text{perubahan nilai } x} = \frac{\Delta y}{\Delta x},</math>
Baris 40:
=== Asal-usul definisi ===
[[Berkas:
Salah satu cara umum untuk menyatakan cara diferensiasi yang intuitif ke dalam definisi yang matematis adalah dengan mendefinisikan turunan sebagai [[limit]] dari perbandingan dua bilangan real.<ref>Spivak 1994, chapter 10.</ref> Pendekatan ini dapat dijabarkan sebagai berikut.
Baris 61:
=== Contoh perhitungan ===
[[Berkas:Parabola2.svg|jmpl|Fungsi kuadrat]]
Fungsi kuadrat memiliki persamaan {{math|''f''(''x'') {{=}} ''x''<sup>2</sup>}} dan diferensialkan di {{math|''x'' {{=}} 3}}, dengan nilai turunan fungsi di titik tersebut adalah 6. Hasil ini didapatkan
<math display="block">
Baris 84:
== Definisi ==
Sebuah fungsi dengan variabel [[Bilangan real|real]], <math>y=f(x)</math>, dikatakan ''terdiferensialkan'' atau ''dapat diturunkan'' pada suatu titik <math>a</math> di [[Ranah fungsi|domainnya]], jika domain fungsi tersebut mengandung suatu [[Selang (matematika)|interval buka]] <math>I</math> yang beranggotakan <math>a</math>, dan nilai [[limit]]
<math display="block">L=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}h </math>ada. Hal ini mengartikan bahwa, untuk setiap [[bilangan real]] positif <math>\varepsilon</math> (bahkan jika nilainya sangat kecil), akan ada suatu bilangan real positif <math>\delta</math> sedemikian sehingga, untuk semua {{mvar|h}} yang memenuhi <math>|h| < \delta</math> dan <math>h\ne 0</math>, menyebabkan nilai <math>f(a+h)</math> terdefinisi dan<math display="block">\left|L-\frac{f(a+h)-f(a)}h\right|<\varepsilon,</math>dengan bar vertikal menyatakan [[Nilai absolut|nilai mutlak]] (lihat [[Limit fungsi|definisi epsilon-delta dari limit]]).
Baris 90:
Jika fungsi <math>f</math> terdiferensialkan di <math>a</math>, dengan kata lain jika nilai limit <math>L</math> ada, maka nilai limit ini disebut ''turunan'' dari <math>f</math> di <math>a</math>, dan dinyatakan dengan <math>f'(a)</math> atau <math display="inline">\frac{df}{dx}(a)</math> (dibaca "turunan dari <math>f</math> terhadap <math>x</math> di <math>a</math>" atau "{{math|''dy''}} per {{math|''dx''}} di <math>a</math>").
== Kekontinuan dan
[[Berkas:Right-continuous.svg|ka|jmpl|Fungsi tangga tidak memiliki turunan pada titik berwarna merah, karena fungsi tidak kontinu di titik tersebut.]]
[[Berkas:
Tetapi, bahkan jika fungsi kontinu di suatu titik, fungsi tersebut mungkin tidak terdiferensialkan
Secara singkat, fungsi yang terdiferensialkan adalah fungsi yang kontinu, tetapi ada fungsi kontinu yang tidak dapat didiferensialkan.
Baris 101:
== Turunan sebagai sebuah fungsi ==
[[Berkas:
Misalkan {{math|''f''}} adalah fungsi yang memiliki turunan di setiap titik di [[Ranah fungsi|domainnya]]. Seseorang dapat mendefinisikan sebuah fungsi yang memetakan setiap titik {{mvar|x}} ke nilai dari turunan {{mvar|f}} di {{mvar|x}}. Salah satu notasi untuk menulis fungsi ini adalah <math>f'</math>, dan disebut sebagai ''fungsi turunan'' atau ''turunan dari'' {{math|''f''}}. Terkadang {{math|''f''}} memiliki turunan pada sebagian besar, tapi tidak semua, titik di domainnya. Fungsi yang nilainya di {{mvar|a}} sama dengan <math>f'(a)</math> kapanpun nilai <math>f'(a)</math> terdefinisi, dan tidak terdefinisi di nilai-nilai yang lainnya, juga disebut turunan dari {{math|''f''}}. Fungsi ini memiliki domain yang lebih kecil daripada domain dari {{math|''f''}}.
Baris 159:
=== Notasi Newton ===
Notasi Newton untuk turunan juga disebut sebagai notasi dot/[[titik]]. Notasi ini menggunakan titik yang diletakkan di atas nama fungsi, untuk merepresentasikan turunan terhadap waktu. Jika <math>y = f(t)</math>, maka
: <math>\dot{y}</math>   dan   <math>\ddot{y}</math>
masing-masing menyatakan turunan pertama dan turunan kedua dari <math>y</math>. Notasi Newton saat ini hanya digunakan untuk turunan terhadap waktu atau terhadap [[panjang busur]], yang umum ditemukan dalam [[persamaan diferensial]] di [[fisika]] dan [[geometri diferensial]].<ref>{{Cite book|last=Evans|first=Lawrence|year=1999|title=Partial Differential Equations|url=https://archive.org/details/partialdifferent0019evan|publisher=American Mathematical Society|isbn=0-8218-0772-2|pages=[https://archive.org/details/partialdifferent0019evan/page/63 63]}}</ref><ref>{{Cite book|last=Kreyszig|first=Erwin|year=1991|url=https://archive.org/details/differentialgeom0000krey|title=Differential Geometry|location=New York|publisher=Dover|isbn=0-486-66721-9|pages=[https://archive.org/details/differentialgeom0000krey/page/n16 1]}}</ref> Notasi Newton, malangnya, sulit digunakan untuk turunan tingkat tinggi (turunan ke-4 atau lebih), dan tidak dapat digunakan untuk fungsi multivariabel.
=== Notasi Euler ===
Baris 181:
* ''[[Turunan pangkat]]'':
*: <math> \frac{d}{dx}x^a = ax^{a-1}.</math>
*: <math> \frac{d}{dx} x^a = \frac{d}{dx}x \cdot a \cdot x^{a-1}</math>
* ''[[Turunan implisit]]<ref>{{Cite web|date=2021-01-02|title=3.4: Implicit Differentiation|url=https://math.libretexts.org/Bookshelves/Calculus/Book%3A_Elementary_Calculus_(Corral)/03%3A_Topics_in_Differential_Calculus/3.04%3A_Implicit_Differentiation|website=Mathematics LibreTexts|language=en|access-date=2022-11-05}}</ref>'':
Contoh 1: mencari turunan ''dy/dx'' ''dari'':<blockquote><math>x^3+3x+2=y^2</math></blockquote>dapat dilakukan dengan cara berikut:<blockquote><math>\rightarrow \quad \frac{d}{dx}(x^3+3x+2) = \frac{d}{dx}(y^2)
</math>
<math>\rightarrow \quad \frac{d}{dx}x^3 + \frac{d}{dx}3x + \frac{d}{dx}2 = \frac{d}{dx}y^2</math>
<math>\rightarrow \quad 3x^2 + 3 = \frac{d}{dx}\frac{dy}{dy}y^2
</math>
<math>\rightarrow \quad 3x^2 + 3 = \frac{dy}{dx}\frac{d}{dy}y^2
</math>
<math>\rightarrow \quad 3x^2 + 3 = \frac{dy}{dx}2y
</math>
<math>\rightarrow \quad \frac{dy}{dx} = \frac{3x^2 + 3}{2y}</math></blockquote>Contoh 2: mencari turunan ''dx/dy dari'':<blockquote><math>x^3+3x+2=y^2</math></blockquote>dapat dilakukan dengan cara berikut:<blockquote><math>\rightarrow \quad \frac{d}{dy}x^3 + \frac{d}{dy}3x + \frac{d}{dy}2 = \frac{d}{dy}y^2
</math>
<math>\rightarrow \quad \frac{d}{dy}\frac{dx}{dx}x^3 + \frac{d}{dy}\frac{dx}{dx}3x = 2y</math>
<math>\rightarrow \quad \frac{dx}{dy}\frac{d}{dx}x^3 + \frac{dx}{dy}\frac{d}{dx}3x = 2y
</math>
<math>\rightarrow \quad \frac{dx}{dy}3x^2 + \frac{dx}{dy}3 = 2y
</math>
<math>\rightarrow \quad \frac{dx}{dy} = \frac{2y}{3x^2+3}
</math></blockquote>
* Fungsi ''[[Fungsi eksponensial|eksponensial]]'' dan ''[[logaritma]]'':
*: <math> \frac{d}{dx}e^x = e^x.</math>
Baris 187 ⟶ 215:
*: <math> \frac{d}{dx}\ln(x) = \frac{1}{x},\qquad x > 0.</math>
*: <math> \frac{d}{dx}\log_a(x) = \frac{1}{x\ln(a)},\qquad x, a > 0</math>
* ''[[Fungsi trigonometri]]'':
*: <math> \frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x).</math>
*: <math> \frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x).</math>
*: <math> \frac{d}{dx}\tan(x) = \sec^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} = 1 + \tan^2(x).</math>
* ''[[Fungsi invers trigonometri]]'':
*: <math> \frac{d}{dx}\arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\qquad -1<x<1.</math>
Baris 203 ⟶ 229:
* ''Aturan konstanta'':
*: <math>f'(x) = 0. </math> untuk <math>f(x)</math> berupa fungsi konstan.
* ''[[Linearitas diferensiasi|Kaidah jumlah]]'':
*: <math>(\alpha f + \beta g)' = \alpha f' + \beta g' </math> untuk semua fungsi {{Math|''f''}} dan {{Math|''g''}}, dan untuk semua bilangan real ''<math>\alpha</math>'' dan ''<math>\beta</math>''.
* ''[[Kaidah darab]]'':
*: <math>(f\cdot g)' = f'\cdot g + f\cdot g' </math> untuk semua fungsi {{Math|''f''}} dan {{Math|''g''}}. Aturan ini mencakup kasus yang istimewa, yakni fakta bahwa <math>(\alpha \cdot f)' = \alpha \cdot f'</math> dengan <math>\alpha</math> berupa konstanta. Karena menurut aturan konstanta, <math>(\alpha \cdot f)' = \alpha \cdot f' + \alpha' \cdot f = \alpha \cdot f' + 0 \cdot f = \alpha \cdot f'</math>.
* ''[[Kaidah hasil-bagi]]'':
*: <math>\left(\frac{g}{h} \right)' = \frac{g'\cdot h - g\cdot h'}{h^2}</math> untuk semua fungsi <math>g</math> dan <math>h</math>, di semua titik <math>x</math> di <math>I</math> yang memenuhi <math>h(x) \ne 0</math>. Pada kasus <math>g</math> berupa fungsi konstan bernilai <math>1</math>, akan didapatkan hubungan <math>\left(\frac{1}{h} \right)' = \frac{-h'}{h^2}</math>
* ''[[Aturan rantai]]'' untuk komposisi fungsi:
*: Jika fungsi <math>h</math> terdiferensialkan pada [[selang (matematika)|selang]] <math>I_1</math>, dan fungsi <math>g</math> terdiferensialkan pada selang <math>I_2 = h(I_1)</math> (<math>I_2</math> adalah citra dari <math>I_1</math> yang dihasilkan fungsi <math>h</math>), maka komposisi fungsi <math>g\circ h </math> terdiferensialkan di <math>I_1</math> dan
*: <math>
* ''Kaidah fungsi invers'':
*: Jika fungsi <math>f</math> bersifat [[bijektif]], dan <math>f^{-1}</math> adalah invers dari fungsi tersebut, maka
*: <math>[f^{-1}]'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}</math>
*: Hubungan ini berlaku sembarang titik <math>x</math> yang memenuhi <math>f'(f^{-1}(x))\ne0</math>
=== Contoh perhitungan ===
Baris 221 ⟶ 248:
: <math>f(x) = x^4 + \sin \left(x^2\right) - \ln(x) e^x + 7</math>
dapat dilakukan dengan pertama kali menerapkan kaidah jumlah; turunan dari penjumlahan fungsi-fungsi sama dengan penjumlahan dari turunan fungsi-fungsi:
<math display="block">
f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4) + \frac{d}{dx}\Big(\cos \left(x^2\right)\Big) - \frac{d}{dx}(e^x) - \frac{d}{dx}\Big(\ln(x)e^x\Big) + \frac{d}{dx}(7)
</math>Tahap selanjutnya adalah menghitung turunan dari masing-masing fungsi. Kaidah rantai digunakan untuk menentukan turunan dari <math>\cos(x^2)</math>, sedangkan kaidah darab digunakan untuk menentukan turunan <math>\ln(x)e^x</math>:
: <math>
Baris 229 ⟶ 260:
\end{align}
</math>
== Turunan tingkat tinggi ==
Misalkan <math>f</math> adalah fungsi terdiferensialkan, dan
=== Fungsi mulus ===
Sebuah fungsi <math>f</math> tidak harus memiliki turunan (sebagai contoh, karena fungsi tersebut tidak kontinu). Serupa dengan itu, bahkan jika <math>f</math> memiliki turunan, fungsi turunan keduanya mungkin tidak ada. Sebagai contoh, misalkan fungsi▼
{{Main|Fungsi mulus}}
▲Sebuah fungsi
: <math>f(x) = \begin{cases} +x^2, & \text{jika }x\ge 0 \\ -x^2, & \text{jika }x \le 0.\end{cases}</math>
Perhitungan menunjukkan bahwa <math>f'(x)=2|x|</math> adalah fungsi yang terdiferensialkan
=== Polinomial Taylor dengan sisa ===
Pada [[garis bilangan real]], setiap [[fungsi polinomial]] terdiferensialkan tak hingga kali. Dengan menggunakan aturan perhitungan turunan (lihat bagian di bawah), sebuah polinomial berderajat {{math|''n''}} akan menjadi [[fungsi konstan]] jika diturunkan sebanyak {{math|''n''}} kali. Semua turunan fungsi tersebut selanjutnya sama dengan 0 (ada). Hal ini mengartikan fungsi polinomial termasuk fungsi mulus.▼
{{Main|Teorema Taylor}}
▲Pada [[garis bilangan real]], setiap [[fungsi polinomial]] terdiferensialkan tak hingga kali. Dengan menggunakan
Turunan tingkat tinggi dari sebuah fungsi <math>f</math> di suatu titik <math>x</math>, akan memberikan hampiran polinomial terbaik untuk fungsi tersebut di sekitar titik <math>x</math>. Sebagai contoh, jika <math>f</math> terdiferensialkan dua kali, maka
: <math> f(x+h) \approx f(x) + f'(x)h + \tfrac{1}{2} f''(x) h^2</math>
Baris 258 ⟶ 287:
=== Kaidah untuk turunan tingkat tinggi ===
* [[Kaidah darab|''Aturan Leibniz'']]
*: Jika <math>f</math> dan <math>g</math> dapat diturunkan sebanyak <math>n</math> kali, maka turunan ke-<math>n</math> dari fungsi <math>f(x)\cdot g(x)</math> adalah
*: <math>(fg)^{(n)}= \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}f^{(k)}g^{(n-k)}.</math>
*: Ekspresi <math display="inline">\binom{n}{k}</math> yang muncul pada persamaan tersebut menandakan [[koefisien binomial]]. Aturan ini adalah perumuman dari [[kaidah darab]].
== Turunan pada sistem bilangan kompleks ==
Definisi dan aturan-aturan terkait turunan dapat diperumum untuk fungsi dengan variabel [[Bilangan kompleks|kompleks]] dan nilai kompleks. Perumuman ini dapat dilakukan karena bilangan kompleks juga memiliki sifat penjumlahan, perkalian, dan pembagian; sama seperti bilangan real. Selain itu, konsep [[Jarak Euklides|jarak (Euklides)]] antar bilangan pada bilangan kompleks dapat dijelaskan secara sederhana.
Jika <math>U \sub \mathbb C</math> berupa himpunan buka, dan <math>f:U\to\mathbb C</math> adalah fungsi bernilai kompleks, maka <math>f</math> dikatakan terdiferensialkan di titik <math>z\in\mathbb C</math> bila nilai limit
== Turunan untuk fungsi multivariabel ==▼
Sebuah [[fungsi bernilai vektor]] <math>\mathbf y</math> terhadap sebuah variabel real, adalah fungsi yang memetakan [[bilangan real]] ke suatu vektor di suatu [[ruang vektor]] <math>\R^n</math>. Fungsi bernilai vektor dapat dibagi menjadi fungsi-fungsi koordinatnya, <math>y_1(t),\, y_2(t),\, \dots,\, y_n(t)</math>. Hal ini mengartikan fungsi <math>\mathbf y</math> dapat ditulis sebagai <math>\mathbf y(t) = (y_1(t),\,y_2(t),\,\dots,\,y_n(t))</math>. Contoh dari fungsi bernilai vektor adalah [[Persamaan parametrik|kurva parametrik]] di <math>\R^2</math> atau <math>\R^3</math>. Fungsi-fungsi koordinat adalah fungsi bernilai real, mengakibatkan definisi turunan yang umum berlaku bagi mereka semua. ''Turunan dari fungsi'' <math>\mathbf y(t)</math> didefinisikan sebagai sebuah [[Vektor (matematika)|vektor]], disebut vektor singgung, yang koordinatnya adalah nilai turunan dari semua fungsi koordinatnya. Dengan kata lain,<math display="block">\mathbf{y}'(t) = (y'_1(t), \ldots, y'_n(t)).</math>Secara ekuivalen, bentuk tersebut dapat ditulis sebagai<math display="block">\mathbf{y}'(t)=\lim_{h\to 0}\frac{\mathbf{y}(t+h) - \mathbf{y}(t)}{h},</math>jika limit dari fungsi tersebut ada. Operasi pengurangan di pembilang terjadi pada vektor, bukan skalar (bilangan real). Jika turunan <math>\mathbf y</math> ada untuk semua nilai <math>t</math>, maka <math>\mathbf y'</math> akan berupa fungsi bernilai vektor.▼
: <math> \lim_{h \to 0} \frac{f(z+h) - f(z)}{h}</math>
ada.<ref>Eberhard Freitag, Rolf Busam: ''Funktionentheorie 1'', 4. Auflage, Springer, S. 35.</ref> Turunan kompleks ini disimbolkan dengan <math>f'(z).</math> Definisi ini memungkinkan untuk menggunakan konsep kelinearan: turunan menyatakan besar "kemiringan" dari fungsi [kompleks] linear terbaik yang menghampiri fungsi <math>f.</math> Tapi, perhatian lebih diperlukan karena nilai <math>h</math> pada limit berupa bilangan kompleks. Berbeda dengan limit pada bilangan real yang hanya memerlukan dua arah ("limit dari kanan" dan "limit dari kiri"), limit pada bilangan kompleks dapat "bergerak" dari takhingga banyaknya arah. Akibatnya, konsep turunan fungsi kompleks jauh lebih ketat ketimbang pada fungsi bernilai real. Sebagai contoh fungsi [[Nilai absolut|nilai mutlak]] kompleks tidak memiliki turunan ''dimanapun''. Sebuah fungsi kompleks dapat diturunkan pada suatu titik, jika dan hanya jika fungsi tersebut memenuhi [[persamaan Cauchy-Riemann]] di titik tersebut.
Walaupun (atau tepatnya ''karena'') konsep turunan yang jauh lebih ketat, aturan-aturan perhitungan turunan pada fungsi bilangan real dapat digunakan untuk fungsi bilangan kompleks. Hal ini mencakup aturan jumlah, darab, dan rantai, juga aturan fungsi invers. Banyak fungsi kompleks, seperti eksponensial dan logaritma, memiliki sifat turunan yang mirip dengan versi realnya.
Jika fungsi <math>f</math> terdiferensialkan di keseluruhan domain <math>U</math>, maka fungsi <math>f</math> disebut ''[[fungsi holomorfik]]'' ''di'' <math>U</math>.<ref>Eberhard Freitag, Rolf Busam: ''Funktionentheorie 1'', 4. Auflage, Springer, S. 45.</ref> Fungsi kompleks yang terdiferensialkan di keseluruhan <math>\mathbb C</math> disebut [[fungsi entire]]. Fungsi holomorfik memiliki beberapa sifat yang unik. Sebagai contoh, [[teorema Picard]] menyimpulkan bahwa [[Citra (matematika)|citra (range)]] dari fungsi entire hanya dapat berupa: {{nowrap|<math>\mathbb{C}</math>,}} {{nowrap|<math>\mathbb{C}\setminus\{z_0\}</math>,}} atau <math>\{z_0\}</math> untuk suatu {{nowrap|<math>z_0\in\mathbb{C}</math>.}} Hasil ini dapat digunakan untuk menyimpulkan bahwa, jika fungsi kompleks <math>f</math> tidak pernah menghasilkan nilai <math>z</math> maupun nilai <math>w</math>, maka <math>f</math> adalah fungsi konstan.
== Turunan untuk fungsi bernilai vektor ==
▲[[Berkas:Vector-valued function-2.png|jmpl|Grafik dari fungsi bernilai vektor <math>\mathbf r(z) = (2\cos z,\, 4\sin z,\, z)</math>yang berbentuk [[heliks]]. Panah menandakan vektor yang dihasilkan fungsi di <math>z=19{,}5</math>. ]]Sebuah [[fungsi bernilai vektor]] <math>\mathbf y</math>
▲== Turunan untuk fungsi multivariabel ==
{{See also|Kalkulus multivariabel}}
Pembahasan pada bagian-bagian sebelumnya hanya memperhatikan fungsi dengan ''satu'' variabel. Fungsi yang memetakan vektor ke vektor maupun vektor ke bilangan juga dapat memiliki turunan. Tetapi, garis singgung pada grafik fungsi tersebut belum tentu unik, karena ada banyak arah yang mungkin untuk membuat garis tersebut. Oleh karena itu, perumuman turunan diperlukan untuk jenis fungsi ini.
===
==== Turunan parsial ====
Baris 315 ⟶ 357:
: <math>\frac{df_{a_1,\ldots,a_{i-1},a_{i+1},\ldots,a_n}}{dx_i}(a_i) = \frac{\partial f}{\partial x_i}(a_1,\ldots,a_n).</math>
Ekspresi ini juga menunjukkan bahwa perhitungan turunan parsial dapat disederhanakan menjadi perhitungan turunan satu variabel.
Turunan parsial juga memainkan peran penting dalam pembahasan terkait fungsi bernilai vektor. Misalkan <math>\mathbf f(x_1,\,\dots,\,x_n)</math> sebagai fungsi bernilai vektor. Jika semua turunan parsial <math>\tfrac{\partial \mathbf f}{\partial x_j}</math> terdefinisi di titik <math>\mathbf a = (a_1,\,\dots,\,a_n)</math>, turunan-turunan parsial ini mendefinisikan sebuah vektor
Baris 325 ⟶ 367:
==== Turunan berarah ====
{{Main|Turunan berarah}}
[[Berkas:
Jika <math>f</math> adalah fungsi bernilai real di <math>\R^n</math>, maka turunan parsial <math>f</math> mengukur variasi turunan dalam arah sumbu koordinat. Sebagai contoh, jika <math>f</math> adalah fungsi dari <math>x</math> dan <math>y</math>'','' maka turunan parsial <math>f</math> mengukur variasi di <math>f</math> dalam arah <math>x</math> dan <math>y</math>. Tapi, turunan <math>f</math> tidak mengukur secara langsung variasi <math>f</math> pada setiap arah lainnya, contohnya di sepanjang garis diagonal <math>y = x</math>. Ini diukur menggunakan turunan berarah. Misalkan vektor
Baris 334 ⟶ 376:
: <math>D_{\mathbf{v}}{f}(\mathbf{x}) = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(\mathbf{x} + h\mathbf{v}) - f(\mathbf{x})}{h}}.</math>
Dalam beberapa kasus, menghitung atau menaksir turunan berarah akan lebih mudah setelah panjang vektor diubah. Proses ini seringkali dilakukan dengan mengubah suatu masalah menjadi perhitungan berupa turunan berarah dalam arah satuan vektor. Sebagai contoh, misalkan
: <math>\frac{f(\mathbf{x} + (k/\lambda)(\lambda\mathbf{u})) - f(\mathbf{x})}{k/\lambda}
Baris 376 ⟶ 418:
\end{align}</math>
Rumus tersebut menyarankan bahwa <math>f'(\mathbf{a})</math> merupakan transformasi linear dari ruang vektor <math>\R^n</math> ke ruang vektor <math>\R^m</math>. Bahkan rumus ini dapat membuat sebuah turunan yang tepat dengan mengukur galat pada hampirannya. Asumsi bahwa galat pada rumus hampiran linear dibatasi oleh hasil kali dari konstanta dengan <math>\left \| \mathbf{v} \right \|</math>,
=== Kaidah untuk turunan fungsi multivariabel ===
Baris 385 ⟶ 427:
== Turunan pada sistem bilangan hiperreal ==
Dalam matematika, bilangan hiperreal adalah sebuah cara memaknai besaran [[tak hingga]] dan [[infinitesimal]] (tak hingga kecilnya tapi tidak nol). Hiperreal adalah perumuman dari himpunan bilangan real <math>\mathbb R</math>, dan mencakup bilangan-bilangan yang lebih besar daripada <math>1+1+\dots+1</math> (untuk sembarang terhingga banyaknya suku). Pada sistem bilangan ini, turunan fungsi real <math>y = f(x)</math> di titik real <math>x</math> dapat didefinisikan sebagai [[Bayangan (matematika)|bayangan]] perbandingan {{math|{{sfrac|∆''y''|∆''x''}}}} untuk [[infinitesimal]] {{math|∆''x''}},
== Perumuman ==
Baris 393 ⟶ 435:
* Perumuman penting mengenai turunan melibatkan [[fungsi kompleks]] dari [[Bilangan kompleks|variabel kompleks]], seperti fungsi (dengan domain) bilangan kompleks <math> \C </math> ke <math> \C </math>. Gagasan turunan fungsi kompleks diperoleh dengan menggantikan variabel real dengan variabel kompleks melalui definisi berikut: Jika '''<math> \C </math>''' diidentifikasi sebagai <math>\R^2</math> dengan menulis bilangan kompleks <math>z</math> sebagai <math>x + iy</math>, maka sebuah fungsi terdiferensialkan dari <math> \C </math> ke <math> \C </math> pasti terdiferensialkan sebagai sebuah fungsi dari <math>\R^2</math> ke <math>\R^2</math> (dalam artian bahwa semua turunan parsial juga ada), tetapi kebalikannya tidak benar pada umumnya: turunan kompleks hanya ada jika turunan real merupakan ''linear kompleks'' dan turunan kompleks memaksakan kaitannya antara turunan parsial yang disebut sebagai [[persamaan Cauchy–Riemann]] – lihat [[fungsi holomorfik]].
* Perumuman lainnya melibatkan fungsi antara [[Manifold mulus|manifold terdiferensialkan atau manifold mulus]]. Secara intuitif, manifold <math>M</math> dikatakan sebagai ruang yang dapat dihampiri mendekati setiap titik <math>x</math> melalui sebuah ruang vektor yang disebut sebagai [[ruang garis singgung]]: contoh prototipikalnya adalah [[permukaan mulus]] di <math>\R^3</math>. Turunan (atau diferensial) dari peta (terdiferensialkan) <math>f\colon M \to N</math> di antara manifold, di sebuah titik <math>x</math> di ''<math>M</math>'', merupakan [[peta linear]] dari ruang singgung ''<math>M</math>'' di <math>x</math> ke ruang singgung <math>N</math> di <math>f(x)</math>, sehingga turunan fungsi menjadi sebuah peta antara [[berkas garis singgung]] ''<math>M</math>'' dan <math>N</math>. Definisi tersebut merupakan bentuk dasar dalam [[geometri diferensial]], dan definisi tersebut mempunyai banyak kegunaan – lihat [[Pushforward (diferensial)|''pushforward'']] dan [[Pullback (geometri diferensial)|''pullback'']].
* Diferensiasi juga dapat didefinisikan sebagai pemetaan antara [[ruang vektor]] [[Dimensi (ruang vektor)|dimensi takhingga]], seperti [[ruang Banach]] dan [[ruang Fréchet]].
* Salah satu kekurangan turunan biasa adalah bahwa ada sangat banyak sekali fungsi yang tidak terdiferensialkan. Namun ada cara memperluas gagasan turunan sehingga semua [[fungsi kontinu]] dan fungsi lainnya dapat diturunkan melalui konsep yang dikenal sebagai [[turunan lemah]]. Tujuannya adalah agar memasukkan fungsi kontinu dalam sebuah ruang yang lebih besar yang disebut ruang [[Distribusi (matematika)|distribusi]], dan tujuan ini hanya mengharuskan bahwa fungsi "rata-rata" terdiferensialkan.
* Pengenalan dan studi mengenai banyak topik yang serupa dalam aljabar dan topologi diilhami melalui sifat-sifat turunan — sebagai contoh, lihat [[aljabar diferensial]].
* Definisi turunan yang ekuivalen diskret adalah [[beda hingga]]. Dalam [[kalkulus skala waktu]], studi mengenai kalkulus diferensial disatukan dengan kalkulus beda hingga.
* Lihat pula [[turunan aritmetika]].▼
== Lihat pula ==
Baris 416 ⟶ 457:
* [[Sejarah kalkulus]]
* [[Teorema Radon–Nikodym]]
* [[Turunan fraktal]]
* [[Turunan Hasse]]
Baris 462 ⟶ 504:
*[[Khan Academy]]: [https://www.khanacademy.org/math/differential-calculus/taking-derivatives/intro_differential_calc/v/newton-leibniz-and-usain-bolt "Newton, Leibniz, and Usain Bolt"]
*{{MathWorld|title=Derivative|id=Derivative}}
* [http://www.wolframalpha.com/calculators/derivative-calculator/ Online Derivative Calculator] from [[Wolfram Alpha]].
[[Kategori:Analisis matematika]]
[[Kategori:Fungsi
[[Kategori:Kalkulus diferensial]]
[[Kategori:Kelajuan]]
|