Turunan: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
k Menghapus Kategori:Fungsi dan pemetaan; Menambah Kategori:Fungsi matematika menggunakan HotCat |
Add 1 book for Wikipedia:Pemastian (20231010)) #IABot (v2.0.9.5) (GreenC bot |
||
(13 revisi perantara oleh 4 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 3:
[[Berkas:Tangent to a curve.svg|jmpl|[[Grafik fungsi]] (warna hitam) dan [[garis tangen]] pada fungsi (warna merah). [[Kemiringan]] dari garis tangen sama dengan turunan fungsi pada titik tersebut.]]
Dalam [[matematika]], '''turunan''' atau '''derivatif''' dari sebuah fungsi adalah cara mengukur sensitivitas perubahan nilai fungsi terhadap perubahan pada nilai
Turunan sebuah fungsi satu variabel di suatu titik, jika itu ada, adalah [[kemiringan]] dari [[garis singgung]] dari grafik fungsi di titik tersebut. Garis singgung adalah [[Hampiran linear|hampiran (aproksimasi) linear]] terbaik dari fungsi di sekitar titik tersebut. Konsep turunan dapat diperumum untuk fungsi multivariabel. Dalam perumuman ini, turunan dianggap sebagai [[transformasi linear]], dengan translasi yang sesuai, menghasilkan hampiran [[linear]] dari grafik fungsi multivariabel tersebut. [[Matriks Jacobi]] adalah [[Matriks (matematika)|matriks]] yang merepresentasikan transformasi linear terhadap suatu [[Basis (aljabar linear)|basis]] yang ditentukan. Matriks ini dapat ditentukan dengan [[turunan parsial]] dari variabel-variabel independen. Pada fungsi multivariabel bernilai real, matriks Jacobi tereduksi menjadi [[Gradien|vektor gradien]].
Proses menemukan turunan disebut '''diferensiasi'''. Kebalikan proses ini disebut dengan ''[[antiturunan]]''. [[Teorema fundamental kalkulus]] menyatakan hubungan diferensiasi dengan [[integral|integrasi]]. Turunan dan integral adalah dua operasi dasar dalam kalkulus satu-variabel.
Baris 12:
== Pendahuluan ==
Secara informal, turunan dari sebuah [[Fungsi (matematika)|fungsi]] {{math|1=''y'' = ''f''(''x'')}} dengan variabel {{math|''x''}} adalah ukuran dari rasio perubahan nilai {{math|''y''}} terhadap perubahan nilai variabel {{math|''x''}}. Jika {{math|''x''}} dan {{math|''y''}} adalah [[bilangan real]], dan jika grafik fungsi {{math|''f''}} diplot terhadap {{math|''x''}}, besar turunan dari fungsi ini pada sembarang titik menandakan kemiringan dari grafik fungsi pada titik tersebut.[[Berkas:
: <math>m=\frac{\text{perubahan nilai } y}{\text{perubahan nilai } x} = \frac{\Delta y}{\Delta x},</math>
Baris 40:
=== Asal-usul definisi ===
[[Berkas:
Salah satu cara umum untuk menyatakan cara diferensiasi yang intuitif ke dalam definisi yang matematis adalah dengan mendefinisikan turunan sebagai [[limit]] dari perbandingan dua bilangan real.<ref>Spivak 1994, chapter 10.</ref> Pendekatan ini dapat dijabarkan sebagai berikut.
Baris 93:
[[Berkas:Right-continuous.svg|ka|jmpl|Fungsi tangga tidak memiliki turunan pada titik berwarna merah, karena fungsi tidak kontinu di titik tersebut.]]
Fungsi <math>f</math> yang terdiferensialkan di suatu titik <math>a</math>, juga akan bersifat [[Fungsi kontinu|kontinu]] di titik tersebut. Sebagai contoh dari sifat ini, misalkan {{math|''f''}} adalah [[Fungsi tangga Heaviside|fungsi tangga]] yang menghasilkan nilai 1 untuk semua {{math|''x''}} kurang dari nilai {{math|''a''}}, dan menghasilkan nilai yang berbeda, misalnya 10, untuk semua nilai {{math|''x''}} yang lebih besar atau sama dengan {{math|''a''}}. Fungsi {{math|''f''}} tidak dapat memiliki turunan di titik {{math|''a''}}. Untuk nilai {{math|''h''}} yang negatif, titik {{math|''a'' + ''h''}} akan terletak di sisi rendah dari fungsi tangga, menjadikan garis sekan dari {{math|''a''}} ke {{math|''a'' + ''h''}} akan sangat curam; dan semakin curam saat {{math|''h''}} menuju nol. Sedangkan nilai {{math|''h''}} yang positif, maka {{math|''a'' + ''h''}} terletak pada sisi tinggi dari fungsi tangga, sehingga garis sekan dari {{math|''a''}} ke {{math|''a'' + ''h''}} tidak memiliki kemiringan (datar). Alhasil garis-garis sekan tidak menuju besar kemiringan yang sama, mengakibatkan nilai limit dari persamaan beda tidak ada.
[[Berkas:
Tetapi, bahkan jika fungsi kontinu di suatu titik, fungsi tersebut mungkin tidak terdiferensialkan di sana. Sebagai contoh, fungsi [[nilai mutlak]] {{math|''f''(''x'') {{=}} {{abs|''x''}}}} bersifat kontinu di {{math|''x'' {{=}} 0}}, namun tidak terdiferensialkan di titik itu. Jika {{math|''h''}} positif, maka kemiringan dari garis sekan dari 0 ke {{math|''h''}} bernilai 1, sedangkan jika {{math|''h''}} negatif, maka kemiringan garis sekan dari 0 ke {{math|''h''}} bernilai -1. Bahkan fungsi mulus tidak dapat diturunkan di titik yang garis singgungnya merupakan garis vertikal: Sebagai contoh, fungsi {{math|''f''(''x'') {{=}} ''x''<sup>1/3</sup>}} tidak terdiferensialkan di {{math|''x'' {{=}} 0}}.
Baris 101:
== Turunan sebagai sebuah fungsi ==
[[Berkas:
Misalkan {{math|''f''}} adalah fungsi yang memiliki turunan di setiap titik di [[Ranah fungsi|domainnya]]. Seseorang dapat mendefinisikan sebuah fungsi yang memetakan setiap titik {{mvar|x}} ke nilai dari turunan {{mvar|f}} di {{mvar|x}}. Salah satu notasi untuk menulis fungsi ini adalah <math>f'</math>, dan disebut sebagai ''fungsi turunan'' atau ''turunan dari'' {{math|''f''}}. Terkadang {{math|''f''}} memiliki turunan pada sebagian besar, tapi tidak semua, titik di domainnya. Fungsi yang nilainya di {{mvar|a}} sama dengan <math>f'(a)</math> kapanpun nilai <math>f'(a)</math> terdefinisi, dan tidak terdefinisi di nilai-nilai yang lainnya, juga disebut turunan dari {{math|''f''}}. Fungsi ini memiliki domain yang lebih kecil daripada domain dari {{math|''f''}}.
Baris 159:
=== Notasi Newton ===
Notasi Newton untuk turunan juga disebut sebagai notasi dot/[[titik]]. Notasi ini menggunakan titik yang diletakkan di atas nama fungsi, untuk merepresentasikan turunan terhadap waktu. Jika <math>y = f(t)</math>, maka
: <math>\dot{y}</math>   dan   <math>\ddot{y}</math>
masing-masing menyatakan turunan pertama dan turunan kedua dari <math>y</math>. Notasi Newton saat ini hanya digunakan untuk turunan terhadap waktu atau terhadap [[panjang busur]], yang umum ditemukan dalam [[persamaan diferensial]] di [[fisika]] dan [[geometri diferensial]].<ref>{{Cite book|last=Evans|first=Lawrence|year=1999|title=Partial Differential Equations|url=https://archive.org/details/partialdifferent0019evan|publisher=American Mathematical Society|isbn=0-8218-0772-2|pages=[https://archive.org/details/partialdifferent0019evan/page/63 63]}}</ref><ref>{{Cite book|last=Kreyszig|first=Erwin|year=1991|url=https://archive.org/details/differentialgeom0000krey|title=Differential Geometry|location=New York|publisher=Dover|isbn=0-486-66721-9|pages=[https://archive.org/details/differentialgeom0000krey/page/n16 1]}}</ref> Notasi Newton, malangnya, sulit digunakan untuk turunan tingkat tinggi (turunan ke-4 atau lebih), dan tidak dapat digunakan untuk fungsi multivariabel.
=== Notasi Euler ===
Baris 181:
* ''[[Turunan pangkat]]'':
*: <math> \frac{d}{dx}x^a = ax^{a-1}.</math>
*: <math> \frac{d}{dx} x^a = \frac{d}{dx}x \cdot a \cdot x^{a-1}</math>
* ''[[Turunan implisit]]<ref>{{Cite web|date=2021-01-02|title=3.4: Implicit Differentiation|url=https://math.libretexts.org/Bookshelves/Calculus/Book%3A_Elementary_Calculus_(Corral)/03%3A_Topics_in_Differential_Calculus/3.04%3A_Implicit_Differentiation|website=Mathematics LibreTexts|language=en|access-date=2022-11-05}}</ref>'':
Contoh 1: mencari turunan ''dy/dx'' ''dari'':<blockquote><math>x^3+3x+2=y^2</math></blockquote>dapat dilakukan dengan cara berikut:<blockquote><math>\rightarrow \quad \frac{d}{dx}(x^3+3x+2) = \frac{d}{dx}(y^2)
</math>
<math>\rightarrow \quad \frac{d}{dx}x^3 + \frac{d}{dx}3x + \frac{d}{dx}2 = \frac{d}{dx}y^2</math>
<math>\rightarrow \quad 3x^2 + 3 = \frac{d}{dx}\frac{dy}{dy}y^2
</math>
<math>\rightarrow \quad 3x^2 + 3 = \frac{dy}{dx}\frac{d}{dy}y^2
</math>
<math>\rightarrow \quad 3x^2 + 3 = \frac{dy}{dx}2y
</math>
<math>\rightarrow \quad \frac{dy}{dx} = \frac{3x^2 + 3}{2y}</math></blockquote>Contoh 2: mencari turunan ''dx/dy dari'':<blockquote><math>x^3+3x+2=y^2</math></blockquote>dapat dilakukan dengan cara berikut:<blockquote><math>\rightarrow \quad \frac{d}{dy}x^3 + \frac{d}{dy}3x + \frac{d}{dy}2 = \frac{d}{dy}y^2
</math>
<math>\rightarrow \quad \frac{d}{dy}\frac{dx}{dx}x^3 + \frac{d}{dy}\frac{dx}{dx}3x = 2y</math>
<math>\rightarrow \quad \frac{dx}{dy}\frac{d}{dx}x^3 + \frac{dx}{dy}\frac{d}{dx}3x = 2y
</math>
<math>\rightarrow \quad \frac{dx}{dy}3x^2 + \frac{dx}{dy}3 = 2y
</math>
<math>\rightarrow \quad \frac{dx}{dy} = \frac{2y}{3x^2+3}
</math></blockquote>
* Fungsi ''[[Fungsi eksponensial|eksponensial]]'' dan ''[[logaritma]]'':
*: <math> \frac{d}{dx}e^x = e^x.</math>
Baris 187 ⟶ 215:
*: <math> \frac{d}{dx}\ln(x) = \frac{1}{x},\qquad x > 0.</math>
*: <math> \frac{d}{dx}\log_a(x) = \frac{1}{x\ln(a)},\qquad x, a > 0</math>
* ''[[Fungsi trigonometri]]'':
*: <math> \frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x).</math>
*: <math> \frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x).</math>
*: <math> \frac{d}{dx}\tan(x) = \sec^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} = 1 + \tan^2(x).</math>
* ''[[Fungsi invers trigonometri]]'':
*: <math> \frac{d}{dx}\arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\qquad -1<x<1.</math>
Baris 203 ⟶ 229:
* ''Aturan konstanta'':
*: <math>f'(x) = 0. </math> untuk <math>f(x)</math> berupa fungsi konstan.
* ''[[Linearitas diferensiasi|Kaidah jumlah]]'':
*: <math>(\alpha f + \beta g)' = \alpha f' + \beta g' </math> untuk semua fungsi {{Math|''f''}} dan {{Math|''g''}}, dan untuk semua bilangan real ''<math>\alpha</math>'' dan ''<math>\beta</math>''.
* ''[[Kaidah darab]]'':
*: <math>(f\cdot g)' = f'\cdot g + f\cdot g' </math> untuk semua fungsi {{Math|''f''}} dan {{Math|''g''}}. Aturan ini mencakup kasus yang istimewa, yakni fakta bahwa <math>(\alpha \cdot f)' = \alpha \cdot f'</math> dengan <math>\alpha</math> berupa konstanta. Karena menurut aturan konstanta, <math>(\alpha \cdot f)' = \alpha \cdot f' + \alpha' \cdot f = \alpha \cdot f' + 0 \cdot f = \alpha \cdot f'</math>.
* ''[[Kaidah hasil-bagi]]'':
*: <math>\left(\frac{g}{h} \right)' = \frac{g'\cdot h - g\cdot h'}{h^2}</math> untuk semua fungsi <math>g</math> dan <math>h</math>, di semua titik <math>x</math> di <math>I</math> yang memenuhi <math>h(x) \ne 0</math>. Pada kasus <math>g</math> berupa fungsi konstan bernilai <math>1</math>, akan didapatkan hubungan <math>\left(\frac{1}{h} \right)' = \frac{-h'}{h^2}</math>
* ''[[Aturan rantai]]'' untuk komposisi fungsi:
*: Jika fungsi <math>h</math> terdiferensialkan pada [[selang (matematika)|selang]] <math>I_1</math>, dan fungsi <math>g</math> terdiferensialkan pada selang <math>I_2 = h(I_1)</math> (<math>I_2</math> adalah citra dari <math>I_1</math> yang dihasilkan fungsi <math>h</math>), maka komposisi fungsi <math>g\circ h </math> terdiferensialkan di <math>I_1</math> dan
*: <math>(g\circ h)'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x). </math>
* ''Kaidah fungsi invers'':
*: Jika fungsi <math>f</math> bersifat [[bijektif]], dan <math>f^{-1}</math> adalah invers dari fungsi tersebut, maka
Baris 249 ⟶ 270:
: <math>f(x) = \begin{cases} +x^2, & \text{jika }x\ge 0 \\ -x^2, & \text{jika }x \le 0.\end{cases}</math>
Perhitungan menunjukkan bahwa <math>f'(x)=2|x|</math> adalah fungsi yang terdiferensialkan namun tidak memiliki turunan di nol. Jika suatu fungsi dapat diturunkan {{math|''k''}} kali berturut-turut dan turunan ke-{{math|''k''}}-nya bersifat kontinu, maka fungsi tersebut merupakan anggota [[Kemulusan (matematika)|kelas keterdiferensialan]] {{math|''C<sup>k</sup>''}}.
=== Polinomial Taylor dengan sisa ===
Baris 283 ⟶ 304:
Walaupun (atau tepatnya ''karena'') konsep turunan yang jauh lebih ketat, aturan-aturan perhitungan turunan pada fungsi bilangan real dapat digunakan untuk fungsi bilangan kompleks. Hal ini mencakup aturan jumlah, darab, dan rantai, juga aturan fungsi invers. Banyak fungsi kompleks, seperti eksponensial dan logaritma, memiliki sifat turunan yang mirip dengan versi realnya.
Jika fungsi <math>f</math> terdiferensialkan di keseluruhan domain <math>U</math>, maka fungsi <math>f</math> disebut ''[[
== Turunan untuk fungsi bernilai vektor ==
[[Berkas:Vector-
== Turunan untuk fungsi multivariabel ==
Baris 336 ⟶ 357:
: <math>\frac{df_{a_1,\ldots,a_{i-1},a_{i+1},\ldots,a_n}}{dx_i}(a_i) = \frac{\partial f}{\partial x_i}(a_1,\ldots,a_n).</math>
Ekspresi ini juga menunjukkan bahwa perhitungan turunan parsial dapat disederhanakan menjadi perhitungan turunan satu variabel.
Turunan parsial juga memainkan peran penting dalam pembahasan terkait fungsi bernilai vektor. Misalkan <math>\mathbf f(x_1,\,\dots,\,x_n)</math> sebagai fungsi bernilai vektor. Jika semua turunan parsial <math>\tfrac{\partial \mathbf f}{\partial x_j}</math> terdefinisi di titik <math>\mathbf a = (a_1,\,\dots,\,a_n)</math>, turunan-turunan parsial ini mendefinisikan sebuah vektor
Baris 346 ⟶ 367:
==== Turunan berarah ====
{{Main|Turunan berarah}}
[[Berkas:
Jika <math>f</math> adalah fungsi bernilai real di <math>\R^n</math>, maka turunan parsial <math>f</math> mengukur variasi turunan dalam arah sumbu koordinat. Sebagai contoh, jika <math>f</math> adalah fungsi dari <math>x</math> dan <math>y</math>'','' maka turunan parsial <math>f</math> mengukur variasi di <math>f</math> dalam arah <math>x</math> dan <math>y</math>. Tapi, turunan <math>f</math> tidak mengukur secara langsung variasi <math>f</math> pada setiap arah lainnya, contohnya di sepanjang garis diagonal <math>y = x</math>. Ini diukur menggunakan turunan berarah. Misalkan vektor
Baris 483 ⟶ 504:
*[[Khan Academy]]: [https://www.khanacademy.org/math/differential-calculus/taking-derivatives/intro_differential_calc/v/newton-leibniz-and-usain-bolt "Newton, Leibniz, and Usain Bolt"]
*{{MathWorld|title=Derivative|id=Derivative}}
* [http://www.wolframalpha.com/calculators/derivative-calculator/ Online Derivative Calculator] from [[Wolfram Alpha]].
[[Kategori:Analisis matematika]]
|