Turunan: Perbedaan antara revisi

Dalam [[matematika]], '''turunan''' atau '''derivatif''' dari sebuah fungsi adalah cara mengukur sensitivitas perubahan nilai fungsi terhadap perubahan pada nilai variabelnya[[variabel]]nya. Sebagai contoh, turunan dari posisi sebuah benda bergerak terhadap waktu mengukur [[kecepatan]] benda bergerak ketika waktu berjalan. Turunan adalah alat penting dalam [[kalkulus]].

Turunan sebuah fungsi satu variabel di suatu titik, jika itu ada, adalah [[kemiringan]] dari [[garis singgung]] dari grafik fungsi di titik tersebut. Garis singgung adalah [[Hampiran linear|hampiran (aproksimasi) linear]] terbaik dari fungsi di sekitar titik tersebut. Konsep turunan dapat diperumum untuk fungsi multivariabel. Dalam perumuman ini, turunan dianggap sebagai [[transformasi linear]], dengan translasi yang sesuai, menghasilkan hampiran [[linear]] dari grafik fungsi multivariabel tersebut. [[Matriks Jacobi]] adalah [[Matriks (matematika)|matriks]] yang merepresentasikan transformasi linear terhadap suatu [[Basis (aljabar linear)|basis]] yang ditentukan. Matriks ini dapat ditentukan dengan [[turunan parsial]] dari variabel-variabel independen. Pada fungsi multivariabel bernilai real, matriks Jacobi tereduksi menjadi [[Gradien|vektor gradien]].

Secara informal, turunan dari sebuah [[Fungsi (matematika)|fungsi]] {{math|1=''y'' = ''f''(''x'')}} dengan variabel {{math|''x''}} adalah ukuran dari rasio perubahan nilai {{math|''y''}} terhadap perubahan nilai variabel {{math|''x''}}. Jika {{math|''x''}} dan {{math|''y''}} adalah [[bilangan real]], dan jika grafik fungsi {{math|''f''}} diplot terhadap {{math|''x''}}, besar turunan dari fungsi ini pada sembarang titik menandakan kemiringan dari grafik fungsi pada titik tersebut.[[Berkas:Wiki_slope_in_2dWiki slope in 2d.svg|thumb|Kemiringan dari fungsi linear {{math|''y'' {{=}} ''f''(''x'') {{=}} ''mx'' + ''b''}} adalah <math>m=\tfrac{\Delta y}{\Delta x}</math>]]Kasus sederhana dari fungsi {{math|''f''(''x'')}} adalah [[Fungsi linear (kalkulus)|fungsi linear]] yang memiliki persamaan {{math|''y'' {{=}} ''f''(''x'') {{=}} ''mx'' + ''b''}}, dengan bilangan real {{math|''m''}} dan {{math|''b''}}. Kemiringan dari fungsi ini, {{math|''m''}}, dinyatakan dengan

[[Berkas:Tangent_animationTangent animation.gif|jmpl|Garis sekan yang berubah menjadi garis singgung ketika <math>\Delta x \to 0</math>.]]

[[Berkas:Absolute_valueAbsolute value.svg|ka|jmpl|Fungsi nilai mutlak bersifat kontinu, namun tidak dapat didiferensiasi di {{math|''x'' {{=}} 0}} karena garis sekannya tidak menghasilkan kemiringan yang sama ketika dihitung dari kiri dan dari kanan.]]

[[Berkas:Tangent_function_animationTangent function animation.gif|jmpl|Turunan di berbagai titik berbeda pada suatu fungsi terdiferensialkan. Pada kasus ini, besar turunannya sama dengan:<math>\sin \left(x^2\right) + 2x^2 \cos\left(x^2\right)</math>]]

Notasi Newton untuk turunan juga disebut sebagai notasi dot/[[titik]]. Notasi ini menggunakan titik yang diletakkan di atas nama fungsi, untuk merepresentasikan turunan terhadap waktu. Jika <math>y = f(t)</math>, maka

masing-masing menyatakan turunan pertama dan turunan kedua dari <math>y</math>. Notasi Newton saat ini hanya digunakan untuk turunan terhadap waktu atau terhadap [[panjang busur]], yang umum ditemukan dalam [[persamaan diferensial]] di [[fisika]] dan [[geometri diferensial]].<ref>{{Cite book|last=Evans|first=Lawrence|year=1999|title=Partial Differential Equations|url=https://archive.org/details/partialdifferent0019evan|publisher=American Mathematical Society|isbn=0-8218-0772-2|pages=[https://archive.org/details/partialdifferent0019evan/page/63 63]}}</ref><ref>{{Cite book|last=Kreyszig|first=Erwin|year=1991|url=https://archive.org/details/differentialgeom0000krey|title=Differential Geometry|location=New York|publisher=Dover|isbn=0-486-66721-9|pages=[https://archive.org/details/differentialgeom0000krey/page/n16 1]}}</ref> Notasi Newton, malangnya, sulit digunakan untuk turunan tingkat tinggi (turunan ke-4 atau lebih), dan tidak dapat digunakan untuk fungsi multivariabel.

Perhitungan menunjukkan bahwa <math>f'(x)=2|x|</math> adalah fungsi yang terdiferensialkan namun tidak memiliki turunan di nol. Jika suatu fungsi dapat diturunkan {{math|''k''}} kali berturut-turut dan turunan ke-{{math|''k''}}-nya bersifat kontinu, maka fungsi tersebut merupakan anggota [[Kemulusan (matematika)|kelas keterdiferensialan]] {{math|''C^k''}}.

Jika fungsi <math>f</math> terdiferensialkan di keseluruhan domain <math>U</math>, maka fungsi <math>f</math> disebut ''[[Fungsi holomorfik|''fungsi holomorfik]]'']] ''di'' <math>U</math>.<ref>Eberhard Freitag, Rolf Busam: ''Funktionentheorie 1'', 4. Auflage, Springer, S. 45.</ref> Fungsi kompleks yang terdiferensialkan di keseluruhan <math>\mathbb C</math> disebut [[fungsi entire]]. Fungsi holomorfik memiliki beberapa sifat yang unik. Sebagai contoh, [[teorema Picard]] menyimpulkan bahwa [[Citra (matematika)|citra (range)]] dari fungsi entire hanya dapat berupa: {{nowrap|<math>\mathbb{C}</math>,}} {{nowrap|<math>\mathbb{C}\setminus\{z_0\}</math>,}} atau <math>\{z_0\}</math> untuk suatu {{nowrap|<math>z_0\in\mathbb{C}</math>.}} Hasil ini dapat digunakan untuk menyimpulkan bahwa, jika fungsi kompleks <math>f</math> tidak pernah menghasilkan nilai <math>z</math> maupun nilai <math>w</math>, maka <math>f</math> adalah fungsi konstan.

[[Berkas:Vector-valued_functionvalued function-2.png|jmpl|Grafik dari fungsi bernilai vektor <math>\mathbf r(z) = (2\cos z,\, 4\sin z,\, z)</math>yang berbentuk [[heliks]]. Panah menandakan vektor yang dihasilkan fungsi di <math>z=19{,}5</math>. ]]Sebuah [[fungsi bernilai vektor]] <math>\mathbf y</math> dengan variabel real, adalah fungsi yang memetakan [[bilangan real]] (ril) ke suatu vektor di suatu [[ruang vektor]] <math>\R^n</math>. Fungsi bernilai vektor dapat dibagi menjadi fungsi-fungsi koordinatnya, <math>y_1(t),\, y_2(t),\, \dots,\, y_n(t)</math>. Hal ini mengartikan fungsi <math>\mathbf y</math> dapat ditulis sebagai <math>\mathbf y(t) = (y_1(t),\,y_2(t),\,\dots,\,y_n(t))</math>. Contoh dari fungsi bernilai vektor adalah [[Persamaan parametrik|kurva parametrik]] di <math>\R^2</math> atau <math>\R^3</math>. Fungsi-fungsi koordinat adalah fungsi bernilai real, mengakibatkan definisi turunan dapat diterapkan bagi mereka semua. ''Turunan dari fungsi'' <math>\mathbf y(t)</math> didefinisikan sebagai sebuah [[Vektor (matematika)|vektor]], disebut vektor singgung, yang koordinatnya adalah nilai turunan dari semua fungsi koordinatnya. Dengan kata lain,<math display="block">\mathbf{y}'(t) = (y'_1(t), \ldots, y'_n(t)).</math>Bentuk tersebut dapat dihasilkan dari menghitung<math display="block">\mathbf{y}'(t)=\lim_{h\to 0}\frac{\mathbf{y}(t+h) - \mathbf{y}(t)}{h},</math>dengan mengasumsikan limit dari fungsi tersebut ada. Sebagai contoh, bila <math>\mathbf y(t)</math> adalah vektor yang menandakan posisi suatu partikel pada waktu <math>t</math>, turunan <math>\mathbf y'(t)</math> dapat dipandang sebagai vektor [[kecepatan]] dari partikel pada waktu <math>t</math>.

Ekspresi ini juga menunjukkan bahwa perhitungan turunan parsial dapat disederhanakan menjadi perhitungan turunan satu variabel.

[[Berkas:Directional_derivative_contour_plotDirectional derivative contour plot.svg|jmpl|[[Garis kontur|Plot kontur]] dari fungsi <math>f(x, y)=x^2 + y^2</math>. Vektor gradien ditandai oleh warna hitam, dan vektor unit <math>\mathbf{u}</math> yang dikali dengan turunan berarah <math>f</math>dalam arah <math>\mathbf{u}</math> ditandai wana jingga. Vektor gradien lebih panjang daripada vektor turunan berarah, karena vektor gradien menunjuk pada arah dengan perubahan nilai fungsi paling besar.]]