Turunan: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
k Perbaikan untuk PW:CW (Fokus: Minor/komestika; 1, 48, 64) + genfixes |
Add 1 book for Wikipedia:Pemastian (20231010)) #IABot (v2.0.9.5) (GreenC bot |
||
| (5 revisi perantara oleh 2 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 3:
[[Berkas:Tangent to a curve.svg|jmpl|[[Grafik fungsi]] (warna hitam) dan [[garis tangen]] pada fungsi (warna merah). [[Kemiringan]] dari garis tangen sama dengan turunan fungsi pada titik tersebut.]]
Dalam [[matematika]], '''turunan''' atau '''derivatif''' dari sebuah fungsi adalah cara mengukur sensitivitas perubahan nilai fungsi terhadap perubahan pada nilai
Turunan sebuah fungsi satu variabel di suatu titik, jika itu ada, adalah [[kemiringan]] dari [[garis singgung]] dari grafik fungsi di titik tersebut. Garis singgung adalah [[Hampiran linear|hampiran (aproksimasi) linear]] terbaik dari fungsi di sekitar titik tersebut. Konsep turunan dapat diperumum untuk fungsi multivariabel. Dalam perumuman ini, turunan dianggap sebagai [[transformasi linear]], dengan translasi yang sesuai, menghasilkan hampiran [[linear]] dari grafik fungsi multivariabel tersebut. [[Matriks Jacobi]] adalah [[Matriks (matematika)|matriks]] yang merepresentasikan transformasi linear terhadap suatu [[Basis (aljabar linear)|basis]] yang ditentukan. Matriks ini dapat ditentukan dengan [[turunan parsial]] dari variabel-variabel independen. Pada fungsi multivariabel bernilai real, matriks Jacobi tereduksi menjadi [[Gradien|vektor gradien]].
Proses menemukan turunan disebut '''diferensiasi'''. Kebalikan proses ini disebut dengan ''[[antiturunan]]''. [[Teorema fundamental kalkulus]] menyatakan hubungan diferensiasi dengan [[integral|integrasi]]. Turunan dan integral adalah dua operasi dasar dalam kalkulus satu-variabel.
Baris 159:
=== Notasi Newton ===
Notasi Newton untuk turunan juga disebut sebagai notasi dot/[[titik]]. Notasi ini menggunakan titik yang diletakkan di atas nama fungsi, untuk merepresentasikan turunan terhadap waktu. Jika <math>y = f(t)</math>, maka
: <math>\dot{y}</math>   dan   <math>\ddot{y}</math>
masing-masing menyatakan turunan pertama dan turunan kedua dari <math>y</math>. Notasi Newton saat ini hanya digunakan untuk turunan terhadap waktu atau terhadap [[panjang busur]], yang umum ditemukan dalam [[persamaan diferensial]] di [[fisika]] dan [[geometri diferensial]].<ref>{{Cite book|last=Evans|first=Lawrence|year=1999|title=Partial Differential Equations|url=https://archive.org/details/partialdifferent0019evan|publisher=American Mathematical Society|isbn=0-8218-0772-2|pages=[https://archive.org/details/partialdifferent0019evan/page/63 63]}}</ref><ref>{{Cite book|last=Kreyszig|first=Erwin|year=1991|url=https://archive.org/details/differentialgeom0000krey|title=Differential Geometry|location=New York|publisher=Dover|isbn=0-486-66721-9|pages=[https://archive.org/details/differentialgeom0000krey/page/n16 1]}}</ref> Notasi Newton, malangnya, sulit digunakan untuk turunan tingkat tinggi (turunan ke-4 atau lebih), dan tidak dapat digunakan untuk fungsi multivariabel.
=== Notasi Euler ===
Baris 182:
*: <math> \frac{d}{dx}x^a = ax^{a-1}.</math>
*: <math> \frac{d}{dx} x^a = \frac{d}{dx}x \cdot a \cdot x^{a-1}</math>
* ''[[Turunan implisit]]<ref>{{Cite web|date=2021-01-02|title=3.4: Implicit Differentiation|url=https://math.libretexts.org/Bookshelves/Calculus/Book%3A_Elementary_Calculus_(Corral)/03%3A_Topics_in_Differential_Calculus/3.04%3A_Implicit_Differentiation|website=Mathematics LibreTexts|language=en|access-date=2022-11-05}}</ref>'':
Contoh 1: mencari turunan ''dy/dx'' ''dari'':<blockquote><math>x^3+3x+2=y^2</math></blockquote>dapat dilakukan dengan cara berikut:<blockquote><math>\rightarrow \quad \frac{d}{dx}(x^3+3x+2) = \frac{d}{dx}(y^2)
Baris 216 ⟶ 215:
*: <math> \frac{d}{dx}\ln(x) = \frac{1}{x},\qquad x > 0.</math>
*: <math> \frac{d}{dx}\log_a(x) = \frac{1}{x\ln(a)},\qquad x, a > 0</math>
* ''[[Fungsi trigonometri]]'':
*: <math> \frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x).</math>
*: <math> \frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x).</math>
*: <math> \frac{d}{dx}\tan(x) = \sec^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} = 1 + \tan^2(x).</math>
* ''[[Fungsi invers trigonometri]]'':
*: <math> \frac{d}{dx}\arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\qquad -1<x<1.</math>
Baris 232 ⟶ 229:
* ''Aturan konstanta'':
*: <math>f'(x) = 0. </math> untuk <math>f(x)</math> berupa fungsi konstan.
* ''[[Linearitas diferensiasi|Kaidah jumlah]]'':
*: <math>(\alpha f + \beta g)' = \alpha f' + \beta g' </math> untuk semua fungsi {{Math|''f''}} dan {{Math|''g''}}, dan untuk semua bilangan real ''<math>\alpha</math>'' dan ''<math>\beta</math>''.
* ''[[Kaidah darab]]'':
*: <math>(f\cdot g)' = f'\cdot g + f\cdot g' </math> untuk semua fungsi {{Math|''f''}} dan {{Math|''g''}}. Aturan ini mencakup kasus yang istimewa, yakni fakta bahwa <math>(\alpha \cdot f)' = \alpha \cdot f'</math> dengan <math>\alpha</math> berupa konstanta. Karena menurut aturan konstanta, <math>(\alpha \cdot f)' = \alpha \cdot f' + \alpha' \cdot f = \alpha \cdot f' + 0 \cdot f = \alpha \cdot f'</math>.
* ''[[Kaidah hasil-bagi]]'':
*: <math>\left(\frac{g}{h} \right)' = \frac{g'\cdot h - g\cdot h'}{h^2}</math> untuk semua fungsi <math>g</math> dan <math>h</math>, di semua titik <math>x</math> di <math>I</math> yang memenuhi <math>h(x) \ne 0</math>. Pada kasus <math>g</math> berupa fungsi konstan bernilai <math>1</math>, akan didapatkan hubungan <math>\left(\frac{1}{h} \right)' = \frac{-h'}{h^2}</math>
* ''[[Aturan rantai]]'' untuk komposisi fungsi:
*: Jika fungsi <math>h</math> terdiferensialkan pada [[selang (matematika)|selang]] <math>I_1</math>, dan fungsi <math>g</math> terdiferensialkan pada selang <math>I_2 = h(I_1)</math> (<math>I_2</math> adalah citra dari <math>I_1</math> yang dihasilkan fungsi <math>h</math>), maka komposisi fungsi <math>g\circ h </math> terdiferensialkan di <math>I_1</math> dan
*: <math>(g\circ h)'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x). </math>
* ''Kaidah fungsi invers'':
*: Jika fungsi <math>f</math> bersifat [[bijektif]], dan <math>f^{-1}</math> adalah invers dari fungsi tersebut, maka
Baris 278 ⟶ 270:
: <math>f(x) = \begin{cases} +x^2, & \text{jika }x\ge 0 \\ -x^2, & \text{jika }x \le 0.\end{cases}</math>
Perhitungan menunjukkan bahwa <math>f'(x)=2|x|</math> adalah fungsi yang terdiferensialkan namun tidak memiliki turunan di nol. Jika suatu fungsi dapat diturunkan {{math|''k''}} kali berturut-turut dan turunan ke-{{math|''k''}}-nya bersifat kontinu, maka fungsi tersebut merupakan anggota [[Kemulusan (matematika)|kelas keterdiferensialan]] {{math|''C<sup>k</sup>''}}.
=== Polinomial Taylor dengan sisa ===
Baris 315 ⟶ 307:
== Turunan untuk fungsi bernilai vektor ==
[[Berkas:Vector-valued function-2.png|jmpl|Grafik dari fungsi bernilai vektor <math>\mathbf r(z) = (2\cos z,\, 4\sin z,\, z)</math>yang berbentuk [[heliks]]. Panah menandakan vektor yang dihasilkan fungsi di <math>z=19{,}5</math>. ]]Sebuah [[fungsi bernilai vektor]] <math>\mathbf y</math> dengan variabel real, adalah fungsi yang memetakan [[bilangan real]] (ril) ke suatu vektor di suatu [[ruang vektor]] <math>\R^n</math>. Fungsi bernilai vektor dapat dibagi menjadi fungsi-fungsi koordinatnya, <math>y_1(t),\, y_2(t),\, \dots,\, y_n(t)</math>. Hal ini mengartikan fungsi <math>\mathbf y</math> dapat ditulis sebagai <math>\mathbf y(t) = (y_1(t),\,y_2(t),\,\dots,\,y_n(t))</math>. Contoh dari fungsi bernilai vektor adalah [[Persamaan parametrik|kurva parametrik]] di <math>\R^2</math> atau <math>\R^3</math>. Fungsi-fungsi koordinat adalah fungsi bernilai real, mengakibatkan definisi turunan dapat diterapkan bagi mereka semua. ''Turunan dari fungsi'' <math>\mathbf y(t)</math> didefinisikan sebagai sebuah [[Vektor (matematika)|vektor]], disebut vektor singgung, yang koordinatnya adalah nilai turunan dari semua fungsi koordinatnya. Dengan kata lain,<math display="block">\mathbf{y}'(t) = (y'_1(t), \ldots, y'_n(t)).</math>Bentuk tersebut dapat dihasilkan dari menghitung<math display="block">\mathbf{y}'(t)=\lim_{h\to 0}\frac{\mathbf{y}(t+h) - \mathbf{y}(t)}{h},</math>dengan mengasumsikan limit dari fungsi tersebut ada. Sebagai contoh, bila <math>\mathbf y(t)</math> adalah vektor yang menandakan posisi suatu partikel pada waktu <math>t</math>, turunan <math>\mathbf y'(t)</math> dapat dipandang sebagai vektor [[kecepatan]] dari partikel pada waktu <math>t</math>.
== Turunan untuk fungsi multivariabel ==
Baris 365 ⟶ 357:
: <math>\frac{df_{a_1,\ldots,a_{i-1},a_{i+1},\ldots,a_n}}{dx_i}(a_i) = \frac{\partial f}{\partial x_i}(a_1,\ldots,a_n).</math>
Ekspresi ini juga menunjukkan bahwa perhitungan turunan parsial dapat disederhanakan menjadi perhitungan turunan satu variabel.
Turunan parsial juga memainkan peran penting dalam pembahasan terkait fungsi bernilai vektor. Misalkan <math>\mathbf f(x_1,\,\dots,\,x_n)</math> sebagai fungsi bernilai vektor. Jika semua turunan parsial <math>\tfrac{\partial \mathbf f}{\partial x_j}</math> terdefinisi di titik <math>\mathbf a = (a_1,\,\dots,\,a_n)</math>, turunan-turunan parsial ini mendefinisikan sebuah vektor
Baris 512 ⟶ 504:
*[[Khan Academy]]: [https://www.khanacademy.org/math/differential-calculus/taking-derivatives/intro_differential_calc/v/newton-leibniz-and-usain-bolt "Newton, Leibniz, and Usain Bolt"]
*{{MathWorld|title=Derivative|id=Derivative}}
* [http://www.wolframalpha.com/calculators/derivative-calculator/ Online Derivative Calculator] from [[Wolfram Alpha]].
[[Kategori:Analisis matematika]]
| |||