Turunan: Perbedaan antara revisi

Dalam [[matematika]], '''turunan''' atau '''derivatif''' dari sebuah fungsi adalah cara mengukur sensitivitas perubahan nilai fungsi terhadap perubahan pada nilai variabelnya[[variabel]]nya. Sebagai contoh, turunan dari posisi sebuah benda bergerak terhadap waktu mengukur [[kecepatan]] benda bergerak ketika waktu berjalan. Turunan adalah alat penting dalam [[kalkulus]].

Turunan sebuah fungsi satu variabel di suatu titik, jika itu ada, adalah [[kemiringan]] dari [[garis singgung]] dari grafik fungsi di titik tersebut. Garis singgung adalah [[Hampiran linear|hampiran (aproksimasi) linear]] terbaik dari fungsi di sekitar titik tersebut. Konsep turunan dapat diperumum untuk fungsi multivariabel. Dalam perumuman ini, turunan dianggap sebagai [[transformasi linear]], dengan translasi yang sesuai, menghasilkan hampiran [[linear]] dari grafik fungsi multivariabel tersebut. [[Matriks Jacobi]] adalah [[Matriks (matematika)|matriks]] yang merepresentasikan transformasi linear terhadap suatu [[Basis (aljabar linear)|basis]] yang ditentukan. Matriks ini dapat ditentukan dengan [[turunan parsial]] dari variabel-variabel independen. Pada fungsi multivariabel bernilai real, matriks Jacobi tereduksi menjadi [[Gradien|vektor gradien]].

Notasi Newton untuk turunan juga disebut sebagai notasi dot/[[titik]]. Notasi ini menggunakan titik yang diletakkan di atas nama fungsi, untuk merepresentasikan turunan terhadap waktu. Jika <math>y = f(t)</math>, maka

masing-masing menyatakan turunan pertama dan turunan kedua dari <math>y</math>. Notasi Newton saat ini hanya digunakan untuk turunan terhadap waktu atau terhadap [[panjang busur]], yang umum ditemukan dalam [[persamaan diferensial]] di [[fisika]] dan [[geometri diferensial]].<ref>{{Cite book|last=Evans|first=Lawrence|year=1999|title=Partial Differential Equations|url=https://archive.org/details/partialdifferent0019evan|publisher=American Mathematical Society|isbn=0-8218-0772-2|pages=[https://archive.org/details/partialdifferent0019evan/page/63 63]}}</ref><ref>{{Cite book|last=Kreyszig|first=Erwin|year=1991|url=https://archive.org/details/differentialgeom0000krey|title=Differential Geometry|location=New York|publisher=Dover|isbn=0-486-66721-9|pages=[https://archive.org/details/differentialgeom0000krey/page/n16 1]}}</ref> Notasi Newton, malangnya, sulit digunakan untuk turunan tingkat tinggi (turunan ke-4 atau lebih), dan tidak dapat digunakan untuk fungsi multivariabel.

[[Berkas:Vector-valued function-2.png|jmpl|Grafik dari fungsi bernilai vektor <math>\mathbf r(z) = (2\cos z,\, 4\sin z,\, z)</math>yang berbentuk [[heliks]]. Panah menandakan vektor yang dihasilkan fungsi di <math>z=19{,}5</math>. ]]Sebuah [[fungsi bernilai vektor]] <math>\mathbf y</math> dengan variabel real, adalah fungsi yang memetakan [[bilangan real]] (ril) ke suatu vektor di suatu [[ruang vektor]] <math>\R^n</math>. Fungsi bernilai vektor dapat dibagi menjadi fungsi-fungsi koordinatnya, <math>y_1(t),\, y_2(t),\, \dots,\, y_n(t)</math>. Hal ini mengartikan fungsi <math>\mathbf y</math> dapat ditulis sebagai <math>\mathbf y(t) = (y_1(t),\,y_2(t),\,\dots,\,y_n(t))</math>. Contoh dari fungsi bernilai vektor adalah [[Persamaan parametrik|kurva parametrik]] di <math>\R^2</math> atau <math>\R^3</math>. Fungsi-fungsi koordinat adalah fungsi bernilai real, mengakibatkan definisi turunan dapat diterapkan bagi mereka semua. ''Turunan dari fungsi'' <math>\mathbf y(t)</math> didefinisikan sebagai sebuah [[Vektor (matematika)|vektor]], disebut vektor singgung, yang koordinatnya adalah nilai turunan dari semua fungsi koordinatnya. Dengan kata lain,<math display="block">\mathbf{y}'(t) = (y'_1(t), \ldots, y'_n(t)).</math>Bentuk tersebut dapat dihasilkan dari menghitung<math display="block">\mathbf{y}'(t)=\lim_{h\to 0}\frac{\mathbf{y}(t+h) - \mathbf{y}(t)}{h},</math>dengan mengasumsikan limit dari fungsi tersebut ada. Sebagai contoh, bila <math>\mathbf y(t)</math> adalah vektor yang menandakan posisi suatu partikel pada waktu <math>t</math>, turunan <math>\mathbf y'(t)</math> dapat dipandang sebagai vektor [[kecepatan]] dari partikel pada waktu <math>t</math>.