Wikipedia

Daftar identitas trigonometri: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnya
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
Dedhert.Jr (bicara | kontrib)
16.176 suntingan
Tag: Suntingan visualeditor-wikitext
Ainisanr (bicara | kontrib)
45 suntingan
Fitur saranan suntingan: 2 pranala ditambahkan.
 
(10 revisi perantara oleh 5 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 3:
[[Trigonometri]] merupakan salah satu cabang matematika yang mempelajari sudut dalam segitiga siku-siku (yang dijelaskan secara geometri). Identitas trigonometri merupakan salah satu fungsi trigonometri dimana rumus tersebut memiliki hasil yang sama bila diuji suatu nilai [[Variabel (matematika)|variabel]]. Identitas berikut ini sangatlah penting dan berguna dalam komputasi yang elusif.
 
Daftar ini menjelaskan dasar-dasar fungsi, invers fungsi, beserta nilai sudut istimewa pada fungsi trigonometri. Dan juga mengenai jumlah dan perkalian sudut. Mengenai daftar identitas fungsi invers juga dimasukkan ke dalam halaman ini. Terdapat bukti-bukti mengenai rumus-rumus di bawah. Meski begitu, halaman ini hanya menjelaskan bukti singkat pada rumus dan adapula yang tidak. Untuk melihat bukti, lihat [[Bukti identitas trigonometri]]. Berikut adalah [['''daftar identitas trigonometri]]'''.
 
== Fungsi dasar trigonometri ==
Baris 22:
: <math>\csc A = \frac{1}{\sin A} = \frac{c}{a} </math>.
 
Keenam fungsi trigonometri di atas memiliki grafik, dengan ranah dan kisaran pada setiap dari mereka adalah berbeda, terutama periodenya. Tanpa basa-basi, berikutBerikut adalah daftar fungsi trigonometri yang ditabelkan, dengan periode, ranah, kisaran, beserta visualisasi grafik fungsi.
{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:1em auto 1em auto;"
!Fungsi
Baris 34:
|<math>(-\infty,\infty)</math>
|<math>[-1,1]</math>
|[[Berkas:Sine_one_periodSine one period.svg|400x400px]]
|-
![[kosinus]]
Baris 40:
|<math>(-\infty,\infty)</math>
|<math>[-1,1]</math>
|[[Berkas:Cosine_one_periodCosine one period.svg|400x400px]]
|-
![[tangen]]
|<math>\pi</math>
|<math>x \neq \frac{\pi}{2} +n\pi</math>
|<math>(-\infty,\infty)</math>
|[[Berkas:Tangent-plot.svg|400x400px]]
Baris 56:
![[kosekan]]
|<math>2\pi</math>
|<math>x \neq \frac{\pi}{2} +n\pi</math>
|<math>(-\infty,-1] \cup [1,\infty)</math>
|[[Berkas:Cosecant.svg|400x400px]]
Baris 79:
Berikut adalah fungsi invers trigonometri, dengan ranah dan kisarannya, antara lain:
{{DomainsImagesAndPrototypesOfTrigAndInverseTrigFunctions}}
[[Komposisi fungsi]] trigonometri dengan invers fungsinya sendiri akan sama dengan menuliskan suatu variabel. Dengan kata lain (tinjau <math>f</math> adalah fungsi),
 
: <math>f(f^{-1}(x)) = x</math> jika dan hanya jika <math>f^{-1}(f(x)) = x</math>
Baris 262:
{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:1em auto 1em auto;"
|<math>\textrm{versin} (\theta) := 2\sin^2\!\left(\frac{\theta}{2}\right) = 1 - \cos (\theta) \,</math><ref name=":1">{{Cite web|title=Abramowitz and Stegun. Page 78|url=https://personal.math.ubc.ca/~cbm/aands/page_78.htm|website=personal.math.ubc.ca|access-date=2021-12-05}}</ref>
|[[Berkas:Versin_plot_2Versin plot 2.svg|300x300px]]
|-
|<math>\textrm{coversin}(\theta) := \textrm{versin}\!\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = 1 - \sin(\theta) \,</math><ref name=":1" />
|[[Berkas:Coversin_plot_2Coversin plot 2.svg|300x300px]]
|-
|<math>\textrm{vercosin} (\theta) := 2\cos^2\!\left(\frac{\theta}{2}\right) = 1 + \cos (\theta) \,</math><ref name=":1" />
|[[Berkas:Vercosin_plot_2Vercosin plot 2.svg|300x300px]]
|-
|<math>\textrm{covercosin}(\theta) := \textrm{vercosin}\!\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = 1 + \sin(\theta) \,</math><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Covercosine|url=https://mathworld.wolfram.com/Covercosine.html|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2021-12-05}}</ref>
|[[Berkas:Covercosin_plot_2Covercosin plot 2.svg|300x300px]]
|-
|<math>\textrm{haversin}(\theta) := \frac {\textrm{versin}(\theta)} {2} = \sin^2\!\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - \cos (\theta)}{2} \,</math><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Haversine|url=https://mathworld.wolfram.com/Haversine.html|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2021-12-05}}</ref>
|[[Berkas:Haversin_plot_2Haversin plot 2.svg|300x300px]]
|-
|<math>\textrm{hacoversin}(\theta) := \frac {\textrm{coversin}(\theta)} {2} = \frac{1 - \sin (\theta)}{2} \,</math><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Hacoversine|url=https://mathworld.wolfram.com/Hacoversine.html|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2021-12-05}}</ref>
|[[Berkas:Hacoversin_plot_2Hacoversin plot 2.svg|300x300px]]
|-
|<math>\textrm{havercosin}(\theta) := \frac {\textrm{vercosin}(\theta)} {2} = \cos^2\!\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 + \cos (\theta)}{2} \,</math><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Havercosine|url=https://mathworld.wolfram.com/Havercosine.html|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2021-12-07}}</ref>
|[[Berkas:Havercosin_plot_2Havercosin plot 2.svg|300x300px]]
|-
|<math>\textrm{hacovercosin}(\theta) := \frac {\textrm{covercosin}(\theta)} {2} = \frac{1 + \sin (\theta)}{2} \,</math><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Hacovercosine|url=https://mathworld.wolfram.com/Hacovercosine.html|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2021-12-05}}</ref>
|[[Berkas:Hacovercosin_plot_2Hacovercosin plot 2.svg|300x300px]]
|}
Selain fungsi yang jarang digunakan, terdapat fungsi trigonometri lainnya. Berikut di antaranya: [[Tali busur (geometri)|tali busur]] disingkat '''crd''', dan '''gd''' mengindikasikan [[fungsi Gudermann]]. Masing-masing dirumuskan sebagai berikut.
Baris 348:
|-
!<math>\sec \theta</math>
|<math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}</math><center></center>
|<math>\frac{1}{\cos \theta}</math>
|<math>\pm\sqrt{1 + \tan^2 \theta}</math>
Baris 365:
 
== Refleksi dan putaran sudut ==
[[Berkas:Unit_Circle_Unit Circle -_symmetry symmetry.svg|al=Unit circle with a swept angle theta plotted at coordinates (a,b). As the angle is reflected in increments of one-quarter pi (45 degrees), the coordinates are transformed. For a transformation of one-quarter pi (45 degrees, or 90 - theta), the coordinates are transformed to (b,a). Another increment of the angle of reflection by one-quarter pi (90 degrees total, or 180 - theta) transforms the coordinates to (-a,b). A third increment of the angle of reflection by another one-quarter pi (135 degrees total, or 270 - theta) transforms the coordinates to (-b,-a). A final increment of one-quarter pi (180 degrees total, or 360 - theta) transforms the coordinates to (a,-b).|ka|jmpl|Transformasi koordinat <math>(a,b)</math> ketika putaran sudut refleksi <math>\alpha</math> bertambah <math>\frac{\pi}{4}</math> radian.]]
Kita dapat menentukan pencerminan dan putaran sudut bila kita meneliti [[satuan lingkaran]]. Berikut adalah tabel-tabel mengenai pencerminan dan putaran sudut.
 
Baris 415:
|<math>\cot(2\pi - \theta) = -\cot(\theta) = \cot(-\theta)</math>
|}
[[Berkas:Unit_Circle_Unit Circle -_shifts shifts.svg|al=Unit circle with a swept angle theta plotted at coordinates (a,b). As the swept angle is incremented by one-half pi (90 degrees), the coordinates are transformed to (-b,a). Another increment of one-half pi (180 degrees total) transforms the coordinates to (-a,-b). A final increment of one-half pi (270 degrees total) transforms the coordinates to (b,a).|ka|jmpl|Transformasi koordinat <math>(a,b)</math> ketika putaran sudut <math>\theta</math> bertambah <math>\frac{\pi}{2}</math> radian.]]
 
=== Putaran sudut ===
Baris 585:
Kita telah memperoleh rumus sudut rangkap dua dan sudut rangkap tiga (pada kotak di samping), maka kita beralih ke sudut <math>n</math>-rangkap, dimana <math>n = 1,2,3\dots</math>. Dengan kata lain, rumus sudut <math>n</math>-rangkap dapat kita pakai untuk nilai <math>n</math> sembarang. Sebagai contoh, ketika <math>n = 2</math>, maka kita memperoleh sudut dua rangkap dan begitu pula seterusnya.
 
Tanpa basa-basi, berikut adalah rumus sudut <math>n</math>-rangkap. Pembuktiannya dapat dilihat di bawah masing-masing rumus.<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Multiple-Angle Formulas|url=https://mathworld.wolfram.com/Multiple-AngleFormulas.html|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2021-11-29}}</ref>
 
: <math>\sin(nx) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\cos^k x \sin^{n-k} x \sin \left(\frac{\pi}{2}(n-k)\right)</math>▼
{{collapse top|title=Klik "tampil" 'tuk melihat bukti}}
Dengan menggunakan definisi eksponensiasi di atas, kita memperoleh
 
:<math>\sin(nx) = \frac{e^{inx} - e^{-inx}}{2i} = \frac{(e^{ix})^n - (e^{-ix})^n}{2i} = \frac{(\cos(x) + i \sin (x))^n - (\cos (x) - i \sin (x))^n}{2i}</math>
 
Dengan menggunakan [[teorema binomial]], kita memperoleh
 
:<math>\sin nx = \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} \frac{\cos^k x (i \sin x)^{n-k} - (\cos^k x (-i \sin x)^{n-k})}{2i}
= \sum_{k=0}^n \cos^k x \sin^{n-k} x \cdot \frac{i^{n-k} - (-i)^{n-k}}{2i}
= \sum_{k=0}^n \cos^k x \sin^{n-k} x \sin \left(\frac{\pi}{2}(n-k)\right)</math>. <math>\blacksquare</math>
{{collapse bottom}}
 
: <math>\cos(nx) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\cos^k x \sin^{n-k} x \cos \left(\frac{\pi}{2}(n-k)\right)</math>
{{collapse top|title=Klik "tampil" 'tuk melihat bukti}}
Dengan menggunakan cara yang serupa,
 
:<math>\cos(nx) = \frac{e^{inx} + e^{-inx}}{2i} = \frac{(e^{ix})^n + (e^{-ix})^n}{2i} = \frac{(\cos(x) + i \sin (x))^n + (\cos (x) - i \sin (x))^n}{2i}</math>
 
Lagi, menggunakan [[teorema binomial]] memperoleh
 
:<math>\cos nx = \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} \frac{\cos^k x (i \sin x)^{n-k} + (\cos^k x (-i \sin x)^{n-k})}{2i}
= \sum_{k=0}^n \cos^k x \sin^{n-k} x \cdot \frac{i^{n-k} + (-i)^{n-k}}{2i}
= \sum_{k=0}^n \cos^k x \sin^{n-k} x \cos \left(\frac{\pi}{2}(n-k)\right)</math>. <math>\blacksquare</math>
{{collapse bottom}}
 
▲: <math>\sin(nx) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\cos^k x \sin^{n-k} x \sin \left(\frac{\pi}{2}(n-k)\right)</math><math>\cos(nx) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\cos^k x \sin^{n-k} x \cos \left(\frac{\pi}{2}(n-k)\right)</math>
=== Metode Chebyshev ===
[[Metode Chebyshev]] adalah [[Algoritma|algoritme]] rekursif yang mencari rumus sudut <math>n</math>-rangkap dengan diketahui nilai ke-<math>(n-1)</math> dan ke-<math>(n-2)</math>. Metode Chebyshev dapat dirumuskan untuk sudut rangkap fungsi sinus dan kosinus.<ref>{{Cite web|title=Cosine, Sine and Tangent of Multiple Angles (Recursive Formula)|url=https://trans4mind.com/personal_development/mathematics/trigonometry/multipleAnglesRecursiveFormula.htm#Recursive_Formula|website=trans4mind.com|access-date=2021-12-02}}</ref>
 
: <math>\begin{aligned}
Baris 642 ⟶ 617:
 
== Penjumlahan dan perkalian fungsi trigonometri ==
Suatu penjumlahan fungsi trigonometri dapat dikonversikan menjadi perkalian fungsi trigonometri. Sebaliknya, perkalian fungsi trigonometri juga dapat dikonversikan menjadi penjumlahan fungsi trigonometri. Tabel berikut menunjukkan perkalian ke penjumlahan suatu fungsi trigonometri dan begitu juga dengan penjumlahan ke perkalian suatu fungsi trigonometri.▼
{| class="wikitable" style="float:right; margin-left:1em; text-align:center; font-size:90%"
!Perkalian ke penjumlahan dan penjumlahan ke perkalian<ref>Abramowitz and Stegun, hlm.&nbsp;72, 4.3.31–33</ref><ref>Abramowitz and Stegun, hlm.&nbsp;72, 4.3.34–39</ref>
Baris 675 ⟶ 649:
|<math>\cos \theta - \cos \varphi = -2\sin\left( \frac{\theta + \varphi}{2}\right) \sin\left(\frac{\theta - \varphi}{2}\right)</math>
|}
▲Suatu penjumlahan fungsi trigonometri dapat dikonversikan menjadi perkalian fungsi trigonometri. Sebaliknya, perkalian fungsi trigonometri juga dapat dikonversikan menjadi penjumlahan fungsi trigonometri. Tabel berikut menunjukkan perkalian ke penjumlahan suatu fungsi trigonometri dan begitu juga dengan penjumlahan ke perkalian suatu fungsi trigonometri.
 
== Kalkulus ==
Baris 689 ⟶ 664:
Limit tersebut dapat dibuktikan melalui fungsi trigonometri tangen rangkap setengah. Untuk limit fungsi trigonometri lainnya, berikut adalah limit fungsi trigonometri beserta dengan pembuktiannya.
 
* <math>\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{bx} = \lim_{x \to 0} \frac{ax}{\sin bx} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{\sin bx} = \frac{a}{b}</math>{{Refn|Sifat berikut juga memiliki beragam limit fungsi trigonometri yang sama dengan <math>\frac{a}{b}</math>. Limit fungsi di antaranya ialah <math>\lim_{x \to 0} \frac{\tan ax}{bx}</math>, <math>\lim_{x \to 0} \frac{ax}{\tan bx} </math>, dan <math>\lim_{x \to 0} \frac{\tan ax}{\tan bx}</math>. Beberapa limit fungsi trigonometri ini serupa juga dengan <math>\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{\tan bx} = \lim_{x \to 0} \frac{\tan ax}{\sin bx}</math>.|group=nb}}
 
Sifat berikut juga memiliki beragam limit fungsi trigonometri yang sama dengan <math>\frac{a}{b}</math>. Limit fungsi di antaranya ialah <math>\lim_{x \to 0} \frac{\tan ax}{bx}</math>, <math>\lim_{x \to 0} \frac{ax}{\tan bx} </math>, dan <math>\lim_{x \to 0} \frac{\tan ax}{\tan bx}</math>. Beberapa limit fungsi trigonometri ini serupa juga dengan <math>\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{\tan bx} = \lim_{x \to 0} \frac{\tan ax}{\sin bx}</math>.
 
=== [[Turunan]] dan [[antiturunan]] ===
Baris 720 ⟶ 693:
== Representasi deret ==
Suatu fungsi trigonometri dapat dikonversikan sebagai deret, dimana bentuk tersebut merupakan representasinya. Deret tersebut dapat merupakan representasi dari [[deret Maclaurin]] datau [[deret Laurent]]. Keterangan mengenai rumus-rumus di bawah, <math>B_n</math> adalah [[bilangan Bernoulli]] dan <math>E_n</math> adalah [[bilangan Euler]].
{{div col|colwidth=30em}}
 
* <math>\sin x = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} x^{2n-1}}{(2n-1)!}</math>
* <math>\cos x = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n} x^{2n}}{(2n)!}</math>
Baris 727 ⟶ 700:
* <math>\sec x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} </math><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Secant|url=https://mathworld.wolfram.com/Secant.html#eqn7|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2021-12-07}}</ref>
* <math>\cot x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}</math><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Cotangent|url=https://mathworld.wolfram.com/Cotangent.html#eqn17|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2021-12-07}}</ref>
{{div col end}}
 
== Lihat pula ==
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Daftar_identitas_trigonometri"