Aljabar asosiatif: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Membuat halaman baru Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan. |
||
| (2 revisi perantara oleh 2 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{about|jenis tertentu dari [[Aljabar (teori gelanggang)]]| aljabar di atas [[gelanggang komutatif]]|penggunaan lain dari istilah "aljabar"|Aljabar (disambiguasi)}}
{{Short description|1 = Struktur aljabar dengan (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd dan (a)(bc) = (ab)(c)}}
{{
Dalam [[matematika]], '''aljabar asosiatif''' adalah [[struktur aljabar]] dengan operasi penjumlahan, perkalian yang kompatibel (diasumsikan sebagai [[sifat asosiatif|asosiatif]]), dan [[perkalian skalar]] dengan elemen [[Bidang (matematika)|bidang]]. Operasi penjumlahan dan perkalian ''A'' dengan struktur [[gelanggang (matematika)|gelanggang]]; operasi penjumlahan dan perkalian skalar bersama-sama memberikan ''A'' struktur dari [[ruang vektor]] di atas ''K''. Dalam artikel ini kita juga akan menggunakan istilah [[aljabar
'''Aljabar komutatif''' adalah aljabar asosiatif yang menggunakan perkalian [[komutatif]] atau ekuivalen, aljabar asosiatif yang juga merupakan [[gelanggang komutatif]].
Baris 19:
untuk ''x'' ∈ ''A''. Perhatikan bahwa elemen 1 adalah sama dengan.
Maka, ''A'' adalah modul-''R'' dengan [[peta bilinear|bilinear-''R'']] [[operasi biner]] ''A'' × ''A'' → ''A'' memiliki sifat asosiatif dan identitas.
Jika ''A'' termasuk komutatif (sebagai gelanggang) maka disebut ''[[aljabar komutatif|aljabar-R komutatif]]''.
Baris 72:
* [[Aljabar bebas|Aljabar-''R'' bebas]] pada himpunan ''E'' adalah aljabar dari 'polinomial' dengan koefisien dalam ''R'' dan tak tentu tidak komuter yang diambil dari himpunan ''E''.
* [[Aljabar tensor]] dari modul-''R'' secara alami adalah aljabar-''R''. Hal yang sama juga berlaku untuk hasil-hasil seperti [[aljabar eksterior|eksterior]] dan [[aljabar simetris]]. Berbicara secara kategoris, [[funktor]] yang memetakan modul-''R'' ke aljabar tensor [[adjoin kiri]] ke funktor yang mengirimkan aljabar-''R'' ke modul-''R'' yang mendasari (struktur perkalian).
* Gelanggang berikut digunakan dalam teori [[gelanggang-λ]]. Gelanggang komutatif ''A'', misalkan <math>G(A) = 1 + tA[\![t]\!],</math> himpunan [[deret pangkat]] formal dengan suku konstanta 1. Merupakan gru0 abelian dengan operasi grup yaitu perkalian deret pangkat. Kemudian gelanggang dengan perkalian, dilambangkan dengan <math>\circ</math>, sehingga <math>(1 + at) \circ (1 + bt) = 1 + abt,</math> ditentukan dengan aksioma gelanggang. Identitas aditif adalah 1 dan identitas perkaliannya adalah <math>1 + t</math>. Then <math>A</math> memiliki struktur kanonik aljabar-<math> G(A) </math> oleh homomorfisme gelanggang
::<math>\begin{cases} G(A) \to A \\ 1 + \sum_{i > 0} a_i t^i \mapsto a_1 \end{cases}</math>
:Di sisi lain, jika ''A'' adalah gelanggang-λ, maka ada homomorfisme gelanggang
Baris 80:
=== Teori Representasi ===
* [[Aljabar pembungkus universal]] dari [[aljabar Lie]] adalah aljabar asosiatif yang digunakan untuk mempelajari aljabar Lie.
* Jika ''G'' adalah grup dan ''R'' adalah gelanggang komutatif maka himpunan fungsi dari ''G'' hingga ''R'' dengan bentuk hingga dan aljabar-''R'' dengan konvolusi sebagai perkalian. [[Gelanggang grup|Aljabar grup]] dari ''G''. Konstruksi adalah titik awal untuk penerapan studi grup (diskrit).
* Jika ''G'' adalah [[grup aljabar]] (misalnya [[grup Lie kompleks]]), maka [[gelanggang koordinat]] dari ''G'' adalah [[Aljabar hopf]] ''A'' yang bersesuaian dengan ''G''. Struktur ''G'' menjadi struktur ''A''.
Baris 98:
== Konstruksi ==
;Subaljabar: Subaljabar aljabar-''R'' dari ''A'' adalah [[himpunan bagian]] dari ''A'' yang merupakan [[subgelanggang]] dan [[submodul]] dari ''A''. Artinya, harus ditutup dengan penjumlahan, perkalian gelanggang, perkalian skalar, dan harus mengandung elemen identitas ''A''.
;Aljabar hasil bagi: Misalkan ''A'' dari aljabar-''R''. Gelanggang-teori [[ideal (teori gelanggang)|ideal]] ''I'' dari ''A'' secara umum adalah modul-''R'' karena ''r'' · ''x'' = (''r''1<sub>''A''</sub>)''x''. [[Gelanggang hasil bagi]] ''A'' / ''I'' struktur dari sebuah modul-''R'' dari aljabar-''R''. Oleh karena itu, gambar homomorfik gelanggang dari ''A'' juga merupakan aljabar ''R''.
;Produk langsung: Produk langsung dari aljabar-''R'' adalah produk langsung teori gelanggang. Ini menjadi aljabar-''R'' dengan perkalian skalar.
| |||