Urutan rapi: Perbedaan antara revisi

Setiap himpunan terurut rapi adalah [[isomorfik urutan]] dengan tunggal ke sebuah [[bilangan ordinal]] tunggal, disebut [[tipe urutan]] dari himpunan terurut rapi. Posisi setiap unsur dalam himpunan terurut juga diberikan oleh sebuah bilangan ordinal. Dalam kasus [[himpunan hingga]], operasi dasar [[pencacahan]], untuk mencari bilangan ordinal objek khusus, atau untuk mencari objek dengan sebuah bilangan ordinal khusus, berpadan dengan menunjukkan bilangan ordinal satu oleh satu ke objeknya. Ukuran (jumlah unsur, [[bilangan kardinal]]) himpunan hingga sama dengan tipe urutan. Menghitung dalam sehari-hari berarti biasanya dimulai dari satu, jadi ini menunjukkan untuk setiap objek, ukuran dari ruas awal dengan objek itu sebagai unsur terakhir. Perhatikan bahwa bilangan-bilangan ini lebih dari satu, bilangan ordinal formal menurut urutan isomorfik, karena ini sama dengan bilangan objek lebih awal (yang berpadan dengan menghitung dari nol). Demikian untuk <math>n</math> terhingga, ungkapan "unsur ke-<math>n</math>" mengenai sebuah himpunan teruru rapi membutuhkan konteks untuk mengetahui apakah ini menghitung dari nol atau satu. Dalam sebuah notasi "unsur ke-<math>\beta</math>" dimana <math>\beta</math> dapat juga menjadi sebuah ordinal takhingga, ini akan biasanya hitung dari nol.

Relasi <math>R</math> ini dapat divisualisasikan sebagai berikut:

Pengurutan standar <math>\le</math> mengenai suatu [[Selang (matematika)|selang real]] bukan sebuah pengurutan rapi, karena, contohnya, [[selang buka]] <math>(0,1) \subseteq [0,1]</math> tidak berisi sebuah unsur terkecil. Dari aksioma [[teori himpunan Zermelo–Fraenkel]] mengenai [[teori himpunan]] (termasuk [[aksioma pemilihan]]), salah satunya dapat menunjukkan bahwa ada sebuah urutan rapi dari bilangan real. Juga [[Waclaw Sierpiński]] membuktikan bahwa teori himpunan Zermelo–Fraenkel + [[Hipotesis kontinum rampat]] menyiratkan aksioma pemilihan dan karena itu sebuah urutan rapi dari real. Namun, ini mungkin untuk menunjukkan bahwa aksioma teori himpunan Zermelo–Fraenkel + Hipotesis kontinum rampat sendiri tidak cukup untuk membuktikan keberadaan mengenai sebuah urutan rapi (oleh sebuah rumus) terdefinisikan dari real.<ref>{{cite journal|last=Feferman|first=S.|author-link=Solomon Feferman|year=1964|title=Some Applications of the Notions of Forcing and Generic Sets|url=https://eudml.org/doc/213821|journal=Fundamenta Mathematicae|volume=56|issue=3|pages=325–345|doi=10.4064/fm-56-3-325-345|doi-access=free}}</ref> Namun ini konsisten dengan teori himpunan Zermelo–Fraenkel yang sebuah urutan rapi terdefinisikan dari real ada—contohnya, ini konsisten dengan teori himpunan Zermelo–Fraenkel bahwa [[Aksioma keterbangunan|V=L]], dan ini mengikuti dari teori himpunan Zermelo–Fraenkel + V=L yang sebuah rumus khusus urutan rapi real, atau bahkan suatu himpunan.

Sebuah himpunan bagian taktercacahkan dari bilangan ral dengan pengurutan standar <math>\le </math> tidak dapat menjadi sebuah urutan rapi. Andaikan <math>X</math> adalah sebuah himpunan bagian terurut rapi <math>\R</math> oleh <math>\le</math>. Untuk setiap <math>x</math> dalam <math>X</math>, misalkan <math>s(x)</math> menjadi penerus dari <math>x</math> dalam pengurutan <math>\le </math> pada <math>X</math> (kecuali <math>x</math> adalah unsur terkecil <math>X</math>). Misalkan <math>A = \{ (x, s(x)) \mid x \in X \}</math> yang unsur-unsurnya takkosong dan selang lepas. Masing-masing selang berisi setidaknya satu [[bilangan rasional]], jadi ada sebuah [[fungsi injektif]] dari <math>A</math> ke <math>\Q</math>. Terdapat sebuah injeksi dari <math>X</math> yang dapat dipetakan ke nol setelahnya). Dan ini terkenal bahwa ada sebuah injeksi dari <math>Q</math> ke bilangan asli (yang dapat menjadi terpilih untuk menghindar pencapaian ke nol). Demikian terdapat sebuah injeksi dari <math>X</math> ke bilangan asli yang berarti bahwa <math>X</math> adalah tercacahkan. Di sisi lain, sebuah himpunan bagian takhingga tercacah dari real dapat atau tidak dapat menjadi sebuah urutan rapi dengan standar "<math>\le </math>". Contohnya,