Teorema Pythagoras: Perbedaan antara revisi

 

:<math>a^2 + b^2 = c^2 ,</math>

Dua kotak besar yang ditunjukkan pada gambar masing-masing berisi empat segitiga identik, dan satu-satunya perbedaan antara dua kotak besar adalah bahwa segitiga diatur secara berbeda. Oleh karena itu, ruang putih dalam masing-masing dari dua kotak besar harus memiliki luas yang sama. Menyamakan luas ruang putih menghasilkan teorema Pythagoras, Q.E.D.

 

 

== Bentuk-bentuk teorema lainnya ==

 

== Bukti teorema lainnya ==

 

=== Bukti menggunakan segitiga serupa ===

Bukti ini didasarkan pada [[Kesebandingan (matematika)|Kesebandingan]] sisi-sisi dari dua segitiga yang sama, yaitu, pada kenyataan bahwa [[rasio]] dari setiap dua sisi yang sesuai dari segitiga yang sama adalah sama terlepas dari ukuran segitiga.

 

 

:<math> \frac{BC}{AB}=\frac{BH}{BC} \text{ dan } \frac{AC}{AB}=\frac{AH}{AC}.</math>

Peran bukti ini dalam sejarah adalah subjek banyak spekulasi. Pertanyaan mendasarnya adalah mengapa Euclid tidak menggunakan bukti ini, tetapi menemukan yang lain. Salah satu dugaan adalah bahwa bukti dari segitiga yang sama melibatkan teori proporsi, topik yang tidak dibahas sampai nanti dalam ''Elemen'', dan bahwa teori proporsi membutuhkan pengembangan lebih lanjut pada waktu itu.<ref>{{Harv|Maor|2007|p=[https://books.google.com/books?id=Z5VoBGy3AoAC&pg=PA39&dq=%22why+did+Euclid+choose+this+particular+proof%22&hl=en&ei=WckoTLv4JIKknQecwvWoAQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CCUQ6AEwAA#v=onepage&q=%22why%20did%20Euclid%20choose%20this%20particular%20proof%22&f=false 39]}}</ref><ref name="Hawking">{{cite book|url=https://books.google.com/?id=3zdFSOS3f4AC&pg=PA12|title=God created the integers: the mathematical breakthroughs that changed history|author=Stephen W. Hawking|publisher=Running Press Book Publishers|year=2005|isbn=0-7624-1922-9|location=Philadelphia|page=12}} This proof first appeared after a computer program was set to check Euclidean proofs.</ref>

 

[[Berkas:Illustration_to_Euclid's_proof_of_the_Pythagorean_theorem.svg|jmpl|Bukti dalam ''Elemen'' Euclid]]

Secara garis besar, berikut adalah bagaimana bukti dalam ''[[Elemen Euclid|Elemen]]'' [[Euclid]] berasal. Persegi besar dibagi menjadi persegi panjang kiri dan kanan. Sebuah segitiga dibangun yang memiliki setengah luas persegi panjang kiri. Kemudian segitiga lain dibangun yang memiliki setengah luas persegi di sisi paling kiri. Dua segitiga ini terbukti kongruen, membuktikan bahwa persegi ini memiliki area yang sama dengan persegi panjang kiri. Argumen ini diikuti oleh versi yang sama untuk persegi panjang kanan dan persegi yang tersisa. Menempatkan dua persegi panjang bersama-sama untuk mereformasi alun-alun pada sisi miring, luasnya sama dengan jumlah luas dari dua kotak lainnya. Detailnya mengikuti.

 

# Jika dua segitiga memiliki dua sisi yang satu sama dengan dua sisi yang lain, masing-masing untuk masing-masing, dan sudut yang dimasukkan oleh sisi yang sama, maka segitiga adalah kongruen ([[sisi-sudut-sisi]]).

# Luas persegi panjang sama dengan produk dari dua sisi yang berdekatan.

# Luas kotak sama dengan produk dari dua sisinya (mengikuti dari 3).

Selanjutnya, setiap bujur sangkar terkait dengan kongruen segitiga dengan segitiga lain yang terkait pada gilirannya dengan salah satu dari dua persegi panjang yang membentuk kuadrat bawah.<ref>See for example [http://www.slu.edu/classes/maymk/GeoGebra/Pythagoras.html Pythagorean theorem by shear mapping] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20161014165156/http://www.slu.edu/classes/maymk/GeoGebra/Pythagoras.html|date=2016-10-14}}, Saint Louis University website Java applet</ref>

[[Berkas:Illustration_to_Euclid's_proof_of_the_Pythagorean_theorem2.svg|jmpl|Ilustrasi termasuk garis baru]]

Buktinya adalah sebagai berikut:

 

 

=== Bukti Einstein dengan diseksi tanpa penataan ulang ===

[[Albert Einstein]] memberikan bukti dengan pembedahan di mana potongan-potongan tidak perlu dipindahkan.<ref>{{Cite journal|last=|first=|year=|title=Fraktal, Kekacauan, Hukum Kekuasaan: Menit dari Surga yang Tak Terbatas. Perusahaan Kurir. hlm. 3–4|url=https://en.wiki-indonesia.club/wiki/Special:BookSources/0486134784|journal=Wikipedia|language=en|volume=|issue=|pages=|doi=}}</ref> Alih-alih menggunakan persegi pada sisi miring dan dua persegi pada kaki, kita dapat menggunakan bentuk lain yang mencakup sisi miring, dan dua bentuk serupa yang masing-masing mencakup satu dari dua kaki alih-alih sisi miring (lihat [[Teorema Pythagoras#Figur serupa di tiga sisi|Figur serupa di tiga sisi]]). Dalam bukti Einstein, bentuk yang mencakup sisi miring adalah segitiga siku-siku itu sendiri. Diseksi terdiri dari menjatuhkan tegak lurus dari sudut sudut kanan segitiga ke sisi miring, sehingga membelah seluruh segitiga menjadi dua bagian. Kedua bagian tersebut memiliki bentuk yang sama dengan segitiga siku-siku asli, dan memiliki kaki-kaki dari segitiga asli sebagai sisi miringnya, dan jumlah area mereka adalah segitiga asli. Karena rasio luas segitiga siku-siku dengan kuadrat sisi miringnya sama untuk segitiga serupa, maka hubungan antara luas ketiga segitiga tersebut juga berlaku untuk kuadrat sisi-sisi segitiga besar.

 

: <math>\int y \, dy=\int x \, dx\,,</math>

 

 

: <math>y^2=x^2+C.</math>

 

Ini lebih merupakan bukti intuitif daripada yang formal: ini dapat dibuat lebih ketat jika batas yang tepat digunakan sebagai pengganti ''dx'' dan ''dy''.

 

== Lihat pula ==

* [[Teorema terakhir Fermat]]

* [[Hukum jajaran genjang]]

 

== Bacaan Lebih Lanjut ==

* {{cite book|last= Siswono|first=Tatang Yuli Eko|authorlink=|coauthors=Netty Lastiningsih|title=Matematika 2 SMP dan MTs untuk Kelas VIII|year= 2007|publisher= Esis/Erlangga|location= Jakarta|id= ISBN 979-734-666-8 }} {{id icon}}

 

{{Reflist}}

 

== Pranala luar ==

{{Commons category}}

 

[[Kategori:Segitiga|Pythagoras]]

[[Kategori:Geometri segitiga]]

[[Kategori:Geometri bidang Euclidean]]